函数及其表示知识点大全例题及解析今年高考题带答案

1、函数及其表示【考纲说明】1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。3、了解简单的分段函数，并能简单应用。4、本部分内容在高考中约占10分。【趣味链接】教室里有40个人（看成集合A），刚好有40张椅子（看成集合B）。如果你们很听话，每人坐一张椅子，就是一对一映射。但是如果你喜欢那个女生，你跑去和她共用一张椅子，也就是两个人都对应着同一张椅子，这就是多对一映射。但是你不可以一个人坐两张椅子，这样很霸道。也就是说你多少个人坐一张椅子都没关系，但是一个人不能坐多张椅子。也就是集合A中的很

2、多元素都可以对应着集合B中的同一个元素，但是集合A中的一个元素不能同时对应着集合B中的多个元素。于是，总的一句话，映射就是集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应。这句话有两个词很重要，一个是任意，另一个是唯一。而函数呢，只要映射当中的集合A和集合B里面的元素都是数就叫做函数了。【知识梳理】1、 函数的概念1、设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为，f表示对应法则。给定一个集合到集合的映射，且。如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象注意：（1）A中元素必

3、须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2、函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意一个，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为。3、函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。显然，值域是集合B的子集。4、函数的三要素：定义域、值域和对应关系。5、区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做。注

4、意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须。6、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：是整式时，定义域是全体实数。是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数。是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1。中，。零（负）指数幂的底数不能为零。若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出。对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。

5、由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义。二、函数的表示方法函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1、图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；2、列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；3、解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。三、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。四、求函数解析式常用的方法 1、待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它

6、适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。2、 换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。3、配凑法已知复合函数的表达式，要求的解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。4、消元法，此方法

7、的实质是解函数方程组消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。5、赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。【经典例题】【例1】（2009山东理）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为（）A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1，故选答案C.【例2】（2009山东文）定义在R上的函数f(x

8、)满足f(x)= ，则f（3）的值为（）A.-1 B. -2 C.1 D. 2【解析】由已知得,故选B.【例3】（2009江西理）函数的定义域为（）ABCD【解析】由.故选C.【例4】（2009四川）已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是( ) A. 0 B. C. 1 D. 【解析】若0，则有，取，则有：（是偶函数，则）由此得于是故选答案A.【例5】（2010福建）下列函数中，与函数有相同定义域的是 ( ) A. B. C. D.【解析】由可得定义域是的定义域；的定义域是0；的定义域是定义域是。故选答案A。【例6】（2010浙江理）对于正实数，记为满足下述条

9、件的函数构成的集合：且，有下列结论中正确的是（）A若，则B若，且，则C若，则D若，且，则【解析】对于，即有，令，有，不妨设，即有，因此有，因此有.故选答案C.【例7】（2011福建）定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（）AB. C. D【解析】根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在上单调递减，注意到要与的单调性不同，故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减；函数在时单调递减；函数在（上单调递减，理由如下y=3x2>0(x<0),故函数单调递增，显然符合题意；而函数，有y=-<0(x<0),故其在（上单调递减，不

10、符合题意，综上选答案C。【例8】（2009北京）已知函数若，则. 【解析】由，无解，故应填.【例9】（2008北京）若函数则不等式的解集为_.【解析】（1）由.（2）由.不等式的解集为，应填【例10】（2008浙江）已知函数，其中（I）设函数若在区间上不单调，求的取值范围；（II）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】（I）因，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；（II）当时有；当时有，因为当时不合题意

11、，因此，下面讨论的情形，记A，B=（）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（）（）；当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；同理，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意.【课堂练习】1、（2009山东）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则（）A.B.C.D.2、（2009全国）函数y=(x0)的反函数是（）A.（x0）B.（x0）C.（x0）D.（x0）3、（2009江西）函数的定义域为（）A.B.C.D.4、（2008全国）设则（）A.B.C.D.5、（2009天津）设函

12、数则不等式的解集是（）A.B. C.D.6、（2010天津）设函数f(x)在R上的导函数为f(x),且2f(x)+xf(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是（）A.B.C.D.7、（2009湖南）设函数在（，+）内有定义，对于给定的正数K，定义函数取函数=。若对任意的，恒有=，则（）A.K的最大值为2 B.K的最小值为2C.K的最大值为1 D. K的最小值为1 2. （2009天津理）已知函数若则实数的取值范围（）A.B.C.D.9、（2008年山东）设函数则的值为（）A.B.C.D.10、（2007福建）已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A. B.C.D.11、（

13、2007安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为 ( )A.(0x2) B. (0x2)C.(0x2)D.(0x2)12、（2007上海）函数的定义域是13、（2006安徽）函数对于任意实数满足条件，若_.14、（2006上海）已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时，.15、（2008安徽）已知函数，则不等式的解集为.16、（2009北京）函数，则，若，则实数的取值范围是.17、（2009江苏）已知集合，若则实数的取值范围是，其中= .18、（2009广东）已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数.（1）若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m

14、的值.（2）如何取值时,函数存在零点,并求出零点.19、（2008江苏）设为实数，函数.（1）若，求的取值范围；（2）求的最小值；（3）设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.20、（2008上海）已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”.（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式.【课后作业】1、若函数是函数的反函数，且，则（）A.B.C.D.22、函数的反函数是（）A.B.C.D.3、设函数在内有定义，对于给定的正

15、数K，定义函数取函数。当=时，函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.4、下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，都有>的是（）A.=B.=C.=D.5、已知函数满足：x4,则；当x4时，则（）A.B.C.D.6、已知函数的反函数为，则（）A.0 B.1 C.2 D.47、已知函数连续，则常数的值是（）A.2B.3C.4D.58、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（）A.B.C.D.9、设，则的定义域为（）A.B.C.D.10、函数的反函数是（）A.B.C.D.11、函数的反函数为（）A.B.C.D.12、定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）

16、  A.    B.  C.    D.13、已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为.14、函数的定义域为.15、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则16、已知函数为上的奇函数，当时，.若，则实数.17、若对于任意a-1,1, 函数f(x) = x+ (a4)x + 42a的值恒大于零,则x的取值范围是.18、设函数.（1）求的单调区间；（2）若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围；（3）试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.19、两县城A和B

17、相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；A B C x （2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的

18、总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由.1、 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；设OP(km) ，将表示成的函数关系式.（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.【参考答案】【课堂练习】1、D 2、B 3、D 4、B 5、

19、A 6、A 7、D 8、A 9、A 10、C 11、B12、13、 -14、15、16、17、418、（1）设，则；又的图像与直线平行又在取极小值，；，设则；（2）由，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点；若，函数有两个零点；当时，方程有一解, , 函数有一零点19、（1）若，则（2）当时，当时，综上（3）时，得，当时，；当时，>0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.20、（1）函数的反函数是而其反函数为故函数不满足“1和性质”（2）设函数满足“2和性质”，而得反函数由“2和性质”定义可知=对恒成立即所求一次函数为（3）设，且点在图像上，则在函数图象上，故，可得，令，则。，即。综上所述，此时，其反函数就是，而，故与互为反函数。【课后作业】1、A 2、C 3、C 4、A 5、A 6、C 7、B 8