等差数列通项求和及其性质

1、等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式那么这个数列就叫1) 等差数列的定义： 如.果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,6做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。2) 等差数列的判.定方法：(1)定义法：对于数列an ,若an 1 and (常数)，则数列an是等差数列。(2)等差中项：对于数列an，若2an 1an an 2,则数列an是等差数列。3) 等差数列的通项公式:如果等差数列an的首项是a1,公差是d ,则等差数列的通项为a1 (n 1)d。说明：该公式整理后是关于 n的一次函数。n6 N*.通项公式的变形： an=am+(

2、 n- m)d, m2 .等差数列性质 a+ b2.1 等差中项：如果 a, A b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项，且 A=2".2.2 已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前 n项和.(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1+ an= a2+ an-1= a3+ an-2 = -= ak + an k +1 = .*(2)等差数列an中，当 m+ n= p+q 时，am+ an=ap+aq(m, n, p, q N).特别地，若 m+ n= 2p,则 2 ap = am+ an(m n, pCN*).(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a

3、k, ak+m, ak+2m,仍是等差数列，公差为mQk, me N*).(4)若数列 an , bn是公差分别为 d1, d2的等差数列，则数列 pan, an+p, pan + qbn都是等差数列(p, q都是常数)，且公差分别为 pd1, d" pd1 + qd2.2.3 等差数列的单调性当d>0时，数列an为递增数列；当d<0时，数列an为递减数列；当d= 0时，数列an为常数列.3 .等差数列求和(倒序相加法)等差数列的前n项和：Sng1n)Snna1型) dn 2n2说明：对于公式整理后是关于n的没有常数项的二次函数。4 .等差数列求和性质已知an为等差数列，

4、d为公差，S为该数列的前 n项和.(1) Sn, San-Sn, S3n Sn,也成等差数列，公差为nHsni(2) Sn也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的2. 在等差数列an中，Sfcan右项数为偶数 2n,则 Sn = n(ai + a2n) = n( an+ an+i) ； S偶S奇=nd；三-=S 禺 an+1Skn右项数为可数 2n 1,则 Sn-i = (2 n 1) an； S奇S偶=an；不=-.5禺 n 1_Qm-1 am若数列an与 bn均为等差数列，且前 n项和分别是Sn和Tn ,则彳=丁.l2m 1 bm题型一基本量运算【例1】等差数列an中，如果

5、a+a4+ a?=39, aa+ a6+ a9= 27,则数列an前9项的和为（）A. 297 B . 144 C . 99 D . 66【例2】在数列an中，a1=2, 2an+1=2an+1 ,则a®的值为 ()A. 49B . 50 C . 51 D . 52【例3】等差数列前10项的和为140,其中，项数为奇数的各项的和为125,求其第6项.【例4】设Sn是等差数列 an的前n项和，若生 5,则空 ()a3 9S51A . 1 B. 1 C . 2 D .-2【例5】等差数列an中，已知a11, a? a5 4, an33 ,则n为()3(A) 48(B) 49(C) 50(

6、D) 51题型二数列求和与最值问题【例1】已知等差数列的公差 d<0,前n项和记为 S,满足S2o0, S2i<0,则当n =时，S达到最大值.【例2】已知等差数列an中，S3=21, S6=64,求数列 |a n| 的前n项和Tn. S3 1【例3】设S是等差数列an的前n项和.若- = 则三=s7 3S7【例4】等差数列an中，设S为其前n项和，且ai>0, S3=Sii,则当n为多少时，Sn最大?【例5】等差数列an中，已知a1a2a3La10p,an9an8 Lanq,则其前n项和Sn?【过关练习】 已知：等差数列 但门中，a4+af+a5 + a7 = 50,求S2

7、0; 已知：等差数列an中，an=33 3n,求Sn的最大值.课后练习【补救练习】S3 1S61 .设S是等差数列an的前n项和.若q=3,则百=.2 .在数列an中，a = l, a2= 2.数列bn满足 bn = an+i + (- 1)nan, n£N*.1 若数列 an是等差数列，求数列 bn的前6项和S；2 若数列 bn是公差为2的等差数列，求数列 an的通项公式.3 .在等差数列an中，已知a6+a9 + a12+a15 = 34,求前20项之和.【巩固练习】4 .在等差数列an中，已知a1 = 20,前n项和为S,且$o=S5,求当n取何值时，S取得最大值，并求出它的最 大值.【拔高练习】5 .已知数列an的通项公式是an=4n 25,求数列| an|的前n项和.6 .(探索)已知各项均为正数的数列an的前n项和为S,满足8S = a2+4an+3(n6N*