2012.9概率课后复习集(完整编辑版)

1、第一节随机事件一、用集合的形式表示下列随机试验的样本空间与随机事件1.在平整的桌面上随机抛骰子，观察出现的点数，设事件A表示“骰子的点数是奇数”，则样本空间，A 。2.观察某呼叫台一个昼夜接到的呼叫次数，设事件A表示“一个昼夜接到的呼叫次数小于2次”，则样本空间 3.对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数，事件A表示“射击次数不超过 3次”，则样本空间 ，A 二、设A，B，C为三个事件，用 A，B，C的运算关系表示下列各事件:(1)A，B, C都发生:(2)A，B，C都不发生:(3)A发生，B与C不发生:(4)A，B，C中至少有一个事件发生:(5)A，B，C中至少有两个事件发生:(6

2、)A，B，C中恰有一个事件发生:三、若事件A， B， C满足等式A C B C，问A B是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明。一、选择题(1)(2)(3)第二节随机事件的概率（1）设A与B是两个对立事件，且(A)P(A) P(B) 1(C) P(AB) P(A)P(B)P(A) 0, P(B)(B)P(AB)(D)P(A)设A, B为两个互不相容的随机事件,则下列正确的是(A)(C)(C)二、已知P（AA与B互不相容P(AB) P(A) P(B)B是任意两事件，则P(A)P(A)B)0，则下列正确的是（P(B)P(B)P(AB)0.8，P(A)P(A0.5，(B)P(A)P(B)(

3、D)P(AU B)P(A) P(B)B)(B)(D)P(B)三、设A，B为随机事件，且 P（A）0.7，P（AP(A) P(B)P(A) P(B)P(AB)P(AB)0.6，求 P(AB)，P(A B)，B) 0.3，求 P(AB)。P(A B)。第二节随机事件的概率（2）1一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取 3件产品，求其中恰有 1件次品的概率。2.某寝室住有6名学生，求至少有两个同学的生印恰好在同一个月的概率。3.将一枚骰子重复掷 n次，求掷出的最大点数为 5点的概率。4.从0到9这10个数字中不重复的任取 4个数排成一行，求能排成一个四位奇数的概率。5.将8名乒乓球选手分为

4、A,B两组，每组4人，求甲、乙两位选手不在同一组的概率。6 .将5个相同的球放入位于一排的 8个格子中，每格至多放一个球，求3个空格相连的概率。7. 10人中有一对夫妇，他们随意的坐在一张圆桌旁，求该对夫妇正好坐在一起的概率。8 .两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h和2h，求有一艘轮船停靠泊位时需要等待一段时间的概率。第三节条件概率一、已知 P(A) 0.5 , P(B)0.6 , P(B A) 0.8，求 P(AB)。二、有人来访，他坐火车、汽车和飞机的概率分别为0.4，0.5，0.1，若坐火车，迟到的概率是0.1，若坐品被误认为

5、是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率。汽车，迟到的概率是 0.2，若坐飞机则不会迟到，求他迟到的概率。三、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学 习的人?0.02，一个四、某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为一、选择题:(1)设 P(A) 0.8，P(B) 0.7，第四节独立性P(A B) 0.8，则下列结论正确的是(B)P(A B) P(A) P(B)事件A与事件B相互独立

6、(D)事件A与事件B互逆(2)设 0 P(A) 1，0 P(B)1，P(A B)P(A B) 1，则(C)事件A与B互不相容(B)事件A与B互逆事件A与B不相互独立(D)事件A与B相互独立二、已知 P(A), P(B)0.3,P(A B)0.7，(1)若事件A与B互不相容，求;(2)若事件A与B相互独立，求 。80/81，求此射手每次射击的命中三.一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为 率。四、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02 , 0.03 , 0.05 , 0.03 , 假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。第一节

7、随机变量第二节离散型随机变量、填空题151(1 )设随机变量X只能取0, 1, 2，且X取这些值的概率依次为一，一，一，则c =2c 4c 4c(2 ) 批产品共100个，其中有10个次品，以X表示任意取出的2个产品中的次品数，则 X的分布律P ( 0< P<1)，以X表示射击的次数,。(用一个表达式表示)则X的分布律为(3)某射手对一目标射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为。(用一个表达式表示)二、解答题 1. 一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量 X的分布律。(列表格表示)2.某楼有供水龙头5个，调查

8、表明每一龙头被打开的概率为，求恰有3个水龙头同时被打开的概率。103.设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，求该市在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少?4.已知在5重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1= PX=2,求概率PX=4。第三节随机变量的分布函数(1 )求X的分布函数F(x) ；(2)求概率P X2。一、单项选择题(1)下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是(A) F(x)(C) F(x)丄x扌(1 e0,(B)F(x)1arcta n x二、解答题1.设随机变量x),X的分布函数为F(x)(D)F(x)12ln(1 x)1 x0,A(1 e0,x)，

9、x(1)系数 A ；( 2)P 1 X 3。2.设随机变量X的分布律为：X0123Pk1/163/161/214、单项选择题第四节连续型随机变量1.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有(A) f(x)单调不减(B) F(x)dx 1(C) F( ) 0(D) F(x)f (x)dx2.设A是随机事件，则"P(A) 0”是"A是不可能事件”的(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充要条件(D)无关条件二、填空题1.随机变量X的概率密度为f(x)e X0,0，若 PX0C，则C2.已知 X N(10,32) , PX 0.67，则Y表示对X的

10、三次独立重复观察中事件2x, 0 x 13.设随机变量X的概率密度为f(x) 0,其他，记X1/2出现的次数，贝U PY 2=三、解答题1 X 2,其它，求(1)常数k ； (2) X的分布函数F(x)。kx21.设随机变量X的概率密度为f(x)'02.设某河流每年的最高洪水水位(m)具有概率密度f(x)2/0x，,X 1'，现要修能够防御百年一遇的洪X 1(即遇到的概率不超过0.01 )的河堤，问河堤至少要修多高?3.设K在(0，5)内服从均匀分布，求方程4x 2 4Kx K 20有实根的概率。10004.某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度fx(X)x20，

11、x 1000，现有一大批其他此种管子(设各电子管损坏与否相互独立),任取5只，问其中至少有 2只寿命大于1500小时的概率是多少?X （以C记）是一个随机变量,5.将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，液体的温度X N（90,0.42）,求液体的温度 X保持在8991C的概率。（2.5） 0.9938，其中（x）表示标准正态分布的分布函数）第五节 随机变量的函数的分布1.设离散型随机变量 X的分布律为-20.30.2 D.l 0.4求丫 X21的分布律。2.设随机变量X U (0,1)，求丫 eX的概率密度函数fY(y)。3.设随机变量X U (2,3)，求丫 X3的概率密度函数fY(

12、y)。4.设随机变量X - N(0,1)，求丫 X2的概率密度函数fY(y)。1.设随机变量（X,Y）的联合分布律为求(1)常数 a ; (2) PX0, Y2. 一箱子装有100件产品,其中一、X1第一节二维随机变量0。X-10100-OT(L180.151O.OSa0.2二、三等品分别为 80件,10件，10件.现从中随机抽取一件，记1,若抽到一等品;0, 其他.X2 0,若抽到二等品;其他.求随机变量（X1,X2）的联合分布律.3.设随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x, y) A(Barctan x)(Carctan y)x, y求常数A,B,C的值；(2 )求(X,Y)的联合概

13、率密度函数f (x, y)。4.设随机变量(X ,Y)的联合概率密度函数为 f(X, y)k(6 X y),0 ,0 X 2,0其他.4, (1)求常数k ；(2 )求 PX 1,Y3。,x 0,y 0, ,其他.ke (3x 2y)5.设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)0PX Y。(1 )求常数k ; (2)求(X,Y)的联合分布函数 F(x,y) ; ( 3)1.完成下列表格:第二节边缘分布1 e 0.5x e0.5y e 0.5(x y) x 0 v 02 .设(X,Y)的联合分布函数为 F(x,v)' y '，求(X,Y)的边缘分0,其他布函数FX（X

14、）。3 .二维随机变量（X,Y）在以原点为圆心的单位圆上服从均匀分布，试求（X,Y）的联合概率密度函数和边缘概率密度函数 fx（X）。4.二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(X, y) (1 2X)(12y)/4, 0 X 1,0,其他y 1,，求(X,Y)的边缘概率密度函数fx (X)。5.设二维随机变量(X ,Y)的联合概率密度函数为f(X, y)4.8y(20x),0 X 1,其他X,，求(X,Y)的边缘概率密度函数fx(x)。第三节条件分布第四节随机变量的独立性1二维随机变量（X,Y）的联合分布律为0100.30.210.40.1试求在丫 = 1的条件下X的条件分布律。2.设X和丫相

15、互独立且有相同的分布（如右图所示），则下列正确的是-11Pi1/21/2(A)(B)P XY 1(C)PX Y 1/2( D)PXY 1/43 .设X和丫是两个相互独立的随机变量,X在（0,1 ）内服从均匀分布，丫的概率密度为fY(y)1 y/2e20,y 0, , （1 ）求（X,Y）的联合概率密度函数；（2）设关于a的二次方程为y 02a 2Xa Y 0,求此方程有实根的概率。4 .随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x, y)e(x y)0,o,y其他0 , ( 1 )求条件概率密度fxY(x| y)；(2 )说明X与丫的独立性。5.随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为21 2

16、f(x,y)"0,y 1,其他,(1)求条件概率密度函数fYix (y|x)；3(2)求条件概率PY -| X4第五节两个随机变量的函数的分布1 .设（X,Y）的联合分布律为:01200.250.10.310.150.150.05求：（1）Z X Y的分布律;(2) V min(X,Y)的分布律。i,y 0,x y 1;. _其他.，求ZX Y的概率密6x2 .设随机变量（X,Y）的概率密度为f（X, y） 0 '度。3.设X和丫相互独立，其概率密度分别为fx(X)1,0,0 X 1,2y,其他，fY(y)0,0 y 1,，求其他，Z X Y的概率密度。e y 0 x y4.

17、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)'卄/J ，求Z X Y的概率密度。0, 其他.第一节数学期望1 .设X的分布律为:求(1) E(X) ; (2) E(X2)。-2-1 0 1P0. 1C.4C.30.22 .设(X, Y)的联合分布律为:已知E(X2 Y2)2.4，求常数a,b之值。0LD. L0. 10. £tj2a. 23.设X的概率密度为f(X)kxa,0x1;0,卄宀 其中k，a 0,又已知E(X) 0.75，求k，a的值。 其匕.4.设X的分布函数为F(x)31葺,x0,x a，其中 a 0,求 E(X)。X a5.设(X,Y)服从在A上的均匀分布，

18、其中A为X轴，y轴及直线X y 10所围成的区域，求E( 3X 2Y)。6.国际市场每年对我国某种商品的需求量X是一个随机变量，它在2000,4000（单位：吨）上服从均匀分布，若每售出一吨，可得外汇 3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元，问应组织多少货 源，才能使期望收益最大。第二节方差、单项选择题(1 )对于任意两个随机变量X和丫,若 E(XY) E(X) E(Y)y(A) D(XY) D(X) D(Y)(B) D(X Y) D(X) D(Y)(C) X和Y独立(D) X和Y不独立(2)设 X ()，且 E (X 1) X(A) 1(B) 2(C) 3(D) 0(3)设X,Y

19、相互独立且X N(7, 9)，Y N(3,4)，则2X Y服从下列哪个分布(A) N(11,14)(B)N(11,32)(C) N(11,40)(D) N(11,4)二、填空题(1 )已知 X N( 2,0.42),则 E(X 3)2 =2(2 )设 E(X) 4 , E(X )18，贝U D(2X 5)(3)设 X N(10,0.6),Y N(1,2)，且 X 与丫相互独立，则 D(3X Y)，则 D(X)=1x2 2x 1(4)设X的概率密度为 f(x) j=e(5)设随机变量 X1,X2,X3相互独立，其中 X1 U 0,6 ,X2 N(0,22),X3服从参数为 =3的泊松分布，记 Y

20、 X1 2X2 3X3，则 D(Y)=(6 )设 X ()，且 PX 1 PX 2，则 E(X)(7)设 X B(n, p)，且 E(X) 12 , D(X) 8，则 n(8 )设E(X) 2,D(X) 4，则由切比雪夫不等式知P| X 2| 4三、解答题1.在每次试验中，事件 A发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计：在1000次试验中，事件 A发生的次数X在400600之间的概率.02.已知随机变量X的密度函数为f(X)ax2 bx c,0,和r 1 又已知 E(X) 0.5,D(X)0.15 ,其他求 a, b,c oy x其它1,求 D(X)，D(Y) o12y23.设(X,Y)的

21、概率密度为f(x,y) 0 '第三节协方差与相关系数一、单项选择题(1 )设X与丫的相关系数0,则(A) X与丫相互独立(B)X与丫不一定相关(C) X与丫必不相关(D)X与丫必相关(2 )设X与丫的期望和方差存在，且D(X Y) DX DY,，则下列说法不正确的是(A) D(X Y) DXdy(B) E(XY) EX EY(C) X与Y不相关(D) X与Y独立(3)设X,Y是随机变量，则“ X与丫不相关”是“ X与丫相互独立”的(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充要条件(D)无关条件二、解答题1.已知随机变量X与丫都服从二项分布 B (20，0.1)，并且X与丫的相关系数

22、XY=0.5，试求X Y的方差及X与2Y X的协方差。X，求：常数k ；2.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)= k,0 X :00, 其他 E XY 及 Cov(X,Y)。第四节矩协方差矩阵第五节二维正态分布1.设随机变量X在区间（a,b）上服从均匀分布，求 k阶原点矩和三阶中心矩。2.已知随机变量XN（1,9）, Y N（0,16）,且X与丫的相关系数为X 0.5 .（ 1 ）求随机变量X YXZ。Z -的数学期望和方差 ；（2）求随机变量 X与Z的相关系数32第一节大数定律第二节 中心极限定理1.设供电网有1000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼

23、此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。2.利用中心极限定理确定当投掷一枚均匀硬币时，需投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4到0.6之间的概率不小于 90% 。3.一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量,它取1元,1.2元,1.5元各值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5，若售出300只蛋糕，求收入至少为400元的 概率。4.由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ，为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在

24、正常工作，求整个系统能正常运行的概 率。第六章样本及抽样分布一、填空题2(1 )设 Xj, ,X6为总体 X N(0,1)的一个样本，Y (Xj X2 X3)(X4 X5 X6)2，且 cY 服从 2分布，则c72 2 (2 )设Xj, X7为总体X - N(0,0.5 )的一个样本，贝U P( Xii J4)X2 X2 L(3)已知Xi,L ,Xi5是取自N(0, 2)的样本，则丫 一一2(人；Xj； LXjQ "xl/)二、设Xj，Xn是来自正态总体 N( ,2)的样本，试求样本方差S2丄* X)2的数学期n j i j望及方差。第一节点估计 第二节估计量的评选标准一、设总体X具

25、有分布律X123P22 (1 )(1 )2其中（01）为未知参数，已知取得了样本值Xi1，X22，X31.试求的矩估计值和极大似然估计值。二、设总体 X服从正态分布 N(0,1)，Xi ,X2是从此总体中抽取的一个样本.试验证下面三个估计量:3-Xi 1X2都是的无偏估计，并2 22113门）?-Xi3X2 ,（2） ?21X1 -X2，（3）指出哪一个估计量最有效。设总体X的概率密度为0x1, 其它.Xi,X2, ,Xn是来自总体X的样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。第三节 区间估计 第四节 正态总体参数的区间估计1.某批钢球的重量 XN( ,4),从中抽取了一个容量为 n 16的样本且测得 X 22.5, s 3.98 (单位:g)，试在置信度10.95下，求出的置信区间.2.设有一组来自正态总体 N（ ,2）的样本观测值:0.497 , 0.506 , 0.518 , 0.524 , 0.488 , 0.510 , 0.510 , 0.515 , 0.512 ,已知 0.01，求的置信区间；2未知，求 的置信区间。（设置信度为0.95）3.某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位:kg): 42.542.743.042.343.444.544.04