全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案word版

1、2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试一、填空题1 .设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数 x有f(x 3) f(x 4)1.又当0 x 7时，f (x) log 2 (9 x),贝I f ( 100)的值为. 一一 22 .若实数x, y满足x 2cosy 1,则x cosy的取值范围是 .22x y3 .在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的万程为： 1 , F为C的上焦点，A为C的右顶点，P 910是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 .4 .若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 o5 .正三棱锥P-ABC中，AB=1

2、 , AP=2,过AB的平面a将其体积平分，则棱 PC与平面a所成角的余弦 值为.6 .在平面直角坐标系 xOy中，点集K (x, y) x,y 1,0,1 .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5的概率为.7 .在 ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若 A ,ABC的面积为J3 ,则3AM AN的最小值为.8 .设两个严格递增的正整数数列an , bn满足：a10 匕0 2017,对任意正整数 n,有an 2 an 1 an, bn 1 2bn，则a b1的所有可能值为 .二、解答题9 .设k,m为实数，不等式 x2 kx m 1对所有x a,b成立.证明：b

3、a 2V2 .x2 x3口10 .设Xi,X2,X3是非负头数，满足Xix2x31,求(x13x25x3)(x1)的年小值和年35大值. _2_211.设复数 Z1,Z2 满足Re(z1)0, Re(z2)0,且 Re(z1 )Re(z2)2 (其中 Re(z)表示复数z 的实部).(1)求Re(ZiZ2)的最小值；(2)求zi 2 *2 2 4 z2的最小值.2017年全国高中数学联赛 A卷二试一.如图，在 ABC中，AB AC, I为 ABC的内心，以 A为圆心，AB为半径作圆 1,以I为圆 心，旧为半径作圆 2，过点B,I的圆3与1, 2分别交于点P,Q (不同于点B).设IP与BQ交于

4、 点R.证明：BR CRa n.a n.二.设数列an定义为a11,an1n 1,2,.求满足arr 3的正整数an n,an n,r的个数.三.将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值 .四.设m,n均是大于1的整数， m n, a1，a2, ,an是n个不超过 m的互不相同的正整数，且.n n2a1，a2, , an互素.证明：对任意实数x ,均存在一个i(1 i n),使彳#|同乂| |乂| ,这里Jm(m 1)表示实数y到与它最近的整数的距离2017年全国高中数学联赛

5、A卷一试答案解:由条件知，尸&+14) = /(x) »所以/(1+7)/(-100) = /(-100+14x7) = /(-2)=1.解：口于I二2gMy 二1.斗 故二力一5斗,1一一I- I由 cos 1 可知 x cos v V I .v 十 IJ L 因 jtt当 x = 1时 +丁T,-I -一一¥.? 门帖有最小值 M这时?可以取三)：当工=旧时-OST有最大值石. 1 一(这时尸可以取笈儿由于，工一1一1的值域是-1.0+小 从而二一COSy的取 信范库是-1, U+I.解：易知5(3, 0), F(O, 1).设P的坐标是(3co双 Ms访佻Hw

6、|o,工，则21J-3 VlOsin I LWasg3.其中丁nrciaii，心n4)=+ f).而.当H -时，四边形6UFF面积的最大值为主叵1()24.解t考虑平稳数口标.若h = 0,则口 = 1"W(M,有之个平稳数.若,则日W1,23匚毛血口卜 有2x3三6个平稳数，若2W&WS.则%匚W(b-1,瓦什并有7*3x3 = 63个平稳数.若b = 9，则见cW依9，有之*2=4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2十6+63 + 4 = 75.姆；设月国PU的中点分别为*一W.则易证平面月氏访就是平面Q.由中线 长公式知5.6.又易知直线产在平囱n上的射影是直线而CM

7、 = 1, KC= 专,所以口1%_人工”故校PC与平而口斫成角的余弦值为止.10解：由条件如加十；：，一 北故2'?44J.V .1,' - IH .K'i- '-，一 X 卜.出 .If 4 田【,由于虫梃卜罔闻必=均可园，所叫码.国 7,进7.一步可得心,阕心力一L从而解工由条件可知：/，%，五均为正整数，且由于'”了>. 512年 故九，LL3；.反复运用4的递推关系知1 一 ' it - 2 j ' j_ _ 3d. I 511卜工打一和八 1 5。-I3u +&/. -214 13/ ：Ug 2lu, j1z因此

8、2皿三弭。=怎j = 51Nb三2a(mt)d34),而 13 x 21 = ,"1" S 4 I .故有仃二 13/2山 13x2A -26/)(motl34|.©另一方面, 注意到WS&T(<3U + 2k,=512&,报8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛 A卷二试答案江明,首先证明以下两个结论.tfl- It内在磬tkq，G、q满足(禺+£网+*qii. = I.注R y区加.由于(鸟怎产、4卜1,由袭蜀定理,存在中设工一6满足cm. + £*, * + r <?. = i .iJ,jF卜面证明，通

9、过MIL存在一组小仁.一0相足心 且绝对值均不超过m.记f.(C|*冉.,。)=之。1r5,匕心*£；)= £ | 仃 RO*它 一.如聚£a。.那么在ZL,*m»* 1 . TMa > 1 *又因为./+4均为正&-故曲可知存在<0.令c： -r, - a * J =1 +4 - <: 二 L； ” < k 上”.火 H L h2017年全国高中数学联合竞赛一试( B卷)一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分.1 .在等比数列an中，a2 后，a3 %,则a1 a2011的值为. a7 a20172 .设复数

10、z满足z 9 10z 22i,则|z|的值为.3 .设f(x)是定义在R上的函数，若f(x) x2是奇函数，f(x) 2x是偶函数，则f(1)的值为4 .在 ABC中，若sinA 2sinC ,且三条边a,b,c成等比数列，则 cosA的值为.5 .在正四面体 ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE 3, EF 4 ,且EF与平面BCD平行，则 DEF的面积为.6 .在平面直角坐标系 xOy中，点集K ( x, y) | x, y 1,0,1,在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过 2的概率为.7 .设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2 ay2 a2

11、0的焦距为4,则a的值为.8 .若正整数a,b,c满足2017 10a 100b 1000c，则数组(a, b,c)的个数为.二、解答题(本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9 .设不等式|2x a| |5 2x|对所有x 1,2成立，求实数a的取值范围.10 .设数列an是等差数列，数列bn满足bn 20冏2 a2, n 1,2,L .(1)证明：数列bn也是等差数列；(2)设数列an、bn的公差均是d 0,并且存在正整数 s,t,使得as bt是整数，求|a1|的最小 值.22211 .在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1 ： y 4x ,曲线C2: (x

12、4) y 8 ,经过C1上一点P作一条倾斜角为45o的直线l,与C2交于两个不同的点 Q,R,求|PQ| |PR|的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试( B卷)一、(本题满分40分)设实数 a,b,c 满足 a b c 0,令 d max a , b , c,证明：(1 a)(1 b)(1 c) 1 d2二、(本题满分40分)给定正整数 m,证明：存在正整数k,使得可将正整数集 N分拆为k个互不相交的子集 A,A2,L , Ak,每个子集 A中均不存在4个数a,b,c, d (可以相同)，满足 ab cd m.(本题满分50分)如图，点D是锐角 ABC的外接圆 上弧BC的中点，直线

13、DA与圆 过点B,C的切线分别相交于 点P,Q , BQ与AC的交点为X , CP与AB的交点为Y , BQ与CP的交点为T ,求证：AT平分线段XY.四、（本题满分50分）设 a1，a2,L , a201,2,L ,5 , bi,b2,L也。1,2,L,10,集合X (i,j)1 i20,(4 aj)(bi斗）0,求X的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案:8解:9数列an的公比为qa3a233/故a1a2011a?a2017a1a2011q (a122011)2.答案:.5解：设z a bi ,a, bR,由条件得（a 9） bi10a ( 10b 22)i，比较两边实虚部可得9 10a

14、,解得：a10b 221,b进而|z|.,5.3.答案:解：由条件知，f （1）-2(f( 1) ( 1)f( 1) 1, f(1) 2f( 1)两式相加消去f ( 1),可知：2f (1)1 口 即 f(1)24.解：由正弦定理知，a 吧4 2 ,又b c sin C2ac,于是a :b:c 2:72:1 ,从而由余弦定理得:.222a b c acosA 2bc(、.2)2 1222<222 145.解:由条件知,EF平行于BC,因为正四面体 ABCD的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF4, AD AB AE BE 7. 49 16 28. 37 ,由余弦定理得， DE ,

15、AD2 AE2 2AD?AE?cos60o同理有DF .37 .作等腰 DEF底边EF上的高DH ,则EH - EF 2,故DH JDE_EH7 V33, 2于是 S def 1EFgDH 2 33. 236.解：注意K中共有9个点，故在 K中随机取出三个点的方式数为 C9 84种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况:(1)三点在一横线或一纵线上，有 6种情况，(2)三点是边长为1,1, J2的等腰直角三角形的顶点，有4 4 16种情况，(3)三点是边长为 J2, J2, 2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0), (0, 1)的各

16、有一个，共有8种情况.305综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6 16 8 30,进而所求概率为 -84 14227.解：二次曲线方程可写成与 L 1 ,显然必须 a 0,故二次曲线为双曲线，其标准方程为 a a2_y_(a)2X22-1 ,则c (a)2(F, 、22_2(a) a a ,注息到焦距 2c 4 ,可知a a 4 ,又a 0,所以a11722017一8 .解：由条件知c 2,当c 1时，有10 b 20,对于每个这样的正整数b,由100010b a 201知，相应的a的个数为202 10b ,从而这样的正整数组的个数为20(202 10b)b 10(102 2)

17、112017. 一2017当 c 2时，由 20 b ，知，b 20,进而 200 a 201,10010故a 200,201 ,此时共有2组(a,b,c).综上所述，满足条件的正整数组的个数为572 2 574.9 .解：设t2X ,则t 2,4，于是|t a| |5 t |对所有t 2,4成立，由于22_|t a| |5 t| (t a) (5 t) ,(2t a 5)(5 a) 0,对给定实数a,设f(t) (2t a 5)(5 a),则f (t)是关于t的一次函数或常值函数，注意t 2,4,一、八 f(2) ( 1 a)(5 a) 0因此f (t) 0等价于，解得3 a 5f(4) (

18、3 a)(5 a) 0所以实数a的取值范围是3 a 5.2210.斛：(1)设等差数列an的公差为 d ,则 bn 1bn(an2an3an1 ) (an1an2 an)所以数列bn也是等差数列(2)由已知条件及(1)的结果知:3d2因为d 0,2bnan 1an 2 an(an d)(an2d)2an3dan2d2an1一,这样329若正整数s,t满足asasbtbtai(s1)da1(t 1)d2al记 l 2al从而| a1 |又当a139s t 231.181 .时，有a118Z ,且 18ai3(311)1是一个非零的整数,故 118aJ 1,综上所述,11.解:设(x 4)2化简可

19、得:b3| a1 |的最小值为11811718182P(t2,2t),则直线l的方程为-2 2(x 2t t )8,_ 2_2_22x 2(t 2t 4)x (t由于1与C2交于两个不同的点，故关于y x 2tt2,代入曲线C2的方程得,一 2_ 一2t)8 0 ,x的方程的判别式为正，计算得,(t2 2t)2 8(t2 2t)(t2 2t)(t2 2t 8) t(t2)(t 2)(t 4),因此有 t ( 2,0) U (2,4),2.设Q,R的横坐标分别为 x1,x2,由知，Xi X2 t 2t12_ 24, XiX2-(t2t)28)，因此，结合l的倾斜角为45 o可知,t4 4t2-2

20、_28 (t 2)4,由可知,t2 2 ( 2,2)U(2,14),故(t2 2)2 0, 4)U (4,196),从而由得:注1 ：利用2C2的圆心到l的距离小于 C2的半径，列出不等式|一三一匚| 2及，同样可以求得中t的范围.注2：更简便的计算| PQ g PR |的方式是利用圆募定理，事实上，C2的圆心为M (4,0),半径为 _2222_2242_r 2、2 ,故 | PQ gPR| | PM | r (t 4)(2t)(22) t 4t 8.加试试卷答案一、证明：当d 1时，不等式显然成立以下设0 d 1,不妨设a,b不异号，即ab 0,那么有一一92O因此(1 a)(1 b)(1

21、 c)| |(1 c)(1 c) 1 c2 1 c 1 d2二、证明：取 k m 1,令 A xx i(modm 1),x N , i 1,2,L ,m 1设 a,b,c,d A ,则 ab cd i ?i i ?i 0(mod m 1),故m 1 ab cd ,而m 1m,所以在 Ai中不存在4个数a,b,c,d ,满足ab cd mAYYB- AX证明：首先证明YX/ BC ,即证工XC连接BD,CD ,因为S与？SS ABC SABCABPS ACQS ，D ABP所以21 “1 八八AC?CQsin ACQ -AC?BCsin ACB1 八八八 1 八AB?BCsin ABC AB?B

22、Psin ABP2 21 八八-AC?AQsin CAQ2 1 八AB?APsin BAP 2由题设，BP,CQ是圆 的切线，所以ACQ ABC , ACB ABP,又CAQ DBC DCBBAP_AB?AQ(注意D是弧BC的中点)，于是由知 AC ?APCQ 厂 BP因为CAQBAP ,所以BAQ于是S _° ABQS ACP1 -八-AB?AQsin2 BAQ1 -AC?APsin CAP 2AB?AQ AC?AP=S而一SBCQBCP1 “-BC?CQsin BCQ2 1 一BC?BPsin CBP 2CQBP由，,得 SABQS CBQS ACPS BCP即 SABQS CBQS ACPS BCPS ABQAX S ACP AYS CBQXC ' S BCP YB为 AX AY故 XC YB设边BC的中点为AX CM BY .M ,因为？ 1 , XC MB YA所以由塞瓦定理知,AM ,BX , CY三线共点，交点即为 T ,故由YX / BC可彳# AT平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的正整数(a