因式分解概念及要点

1、因式分解讲解1因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解注意：1.被分解的代数式是多项式。2.分解后的因式是整式。3.结果是积的形式一、辅导内容提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法的掌握。二、学习指导因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。三、考点阐述考点1 提公因式法和公式法常用公式：（1）（2）（3）（4）补充公式：（1）（2）例：下列由左到右的变形，

2、哪一个是因式分解（）A. B. C.D. 练习：下列由左到右的变形，属因式分解的是（）A. B. C. D. 2因式分解的基本方法1）提取公因式法：ma+mb+mc=m（a+b+c）；注意：（1）要提尽，提各项系数的最大公因数和各项相同字母的最低次数（2）一般把首项的“”先提取，此时括号内各项都要变号（3）一般把分数系数先提取，使括号内各项系数尽量为整数（4）当公因式与某一项完全相同时，在提取后这一项应为1，不要漏写（5）当各项中幂的底数为相同多项时，可将公因式提取出来，如果说只相差一个符号，则需变号后化成相同再提取，如b-a化为 -(a-b)例题：（1）多项式6xy218x2y2z+12x3

3、y3z的公因式是_ （2）因式分解：=2）运用公式法：（1）平方差公式： a2b2=（a+b）（ab）；多项式必须是两个整式的平方差或可变形为两个整式的平方差的形式（2）完全平方公式 a2±2ab+b2=（a±b）2；必须有三项，两项是平方项，且符号一致，另一项是两平方项底数的积的2倍注意：（1）在用公式法前，如果有公因式要先提取公因式（2）在第一次用公式法分解后，若还可用平方差或完全平方公式分解，则要继续分解，直到不能再分为止例1 （1）； （2） （3） （4）分析：因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能

4、是多项式，一次提尽。当某项完全提出后，该项应为“1”注意，分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。考点2 十字相乘法x2+（p+q）x+pq型式子因式分解，即：x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）=x（x+p）+q（x+p）=（x+q）（x+p）；三项，分解，交叉相乘，相加得中间项注意：（1）三项如果有公因式要先提取公因式（2）在第一次用十字相乘法分解后，若还能分解，则要继续分解，直到不能再分为止（

5、3）公式中的字母 可以表示数或单项式或多项式例题：因式分解例2 （1） （2）； （3） （4） 分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。考点3 四项和四项以上多项式分解（分组分解法）分组后可直接提公因式或可运用公式法或十字相乘法 例如因式分解例3 （1）； （2）（3）分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式

6、一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。例4 已知、是ABC的三边，且满足，求证：ABC为等边三角形。分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式，即可得证，将原式两边同乘以2即可。考点4 拆项、添项例6 解法一：将常数项8拆成-1+9原式 解法二：将一次项-9x拆成-x-8x原式 解法三：将三次项x3拆成原式 解法四：添加两项原式 考点5 换元法例7 设原式 4因式分解四个注意因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 5因式分解一般