因式分解讲义

1、因式分解15a。2 + &2。1的一次项系数b,即aiQa2Gb,那么二次三项式就可以分解为两个因式axG与a?x 叱之积,、提公因式法如多项式am bm cm m(a b c),其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.找公因式的三步：1公因式的系数一一找各因式系数的最大公约数.2公因式的字母一一各因式中相同的字母.3 相同字母指数一一取各字母指数的最低次哥.二、公式法1 .平方差公式：2 2a b a b a b .即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.补充：a2-(b+c) 2= (a+b+c)(a-b-c)2.完全平方公式：oO2

2、 .22a2 2ab b2 a b其中，a 2ab b叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.补充：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2三、十字相乘法在二次三项式ax2 bx c(a 0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a a1 a2,常数项c可以分解成两个因数之积，即 c g c2,把a1 , a2, c, c2排列如下:按斜线交叉相乘，再相加，得到azG,若它正好等于二次三项式ax2 bx c即 ax2 bx c (a1x j)(a2x c2).四.分组分解法分组分解方法比较灵活，其关键在于分组要

3、适当，它的分组原则是：分组后能直接提取公因式；分组后能直接运用公式。5 .换元法将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它， 从而简化运算过程，22分解后要注意将字母还原.例如，X 2X 3,设x y,则原式V 2y 3 y 3 y 1 ,最22 c 2)后再换回来就是 y 2y 3 x 3 x 1 .6 .拆、添项(选讲)将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式.例如：2 2x2 c -x 2 2x44222_(5)(2x + y)(2x y) + (2x + y)_2x 4 x 4x 4 4x x 2 2x

4、.考点：因式分解;二.重难点：十字相乘法；分组分解法；换元法;拆、添项.三.易错点：(1)正确的十字相乘必须满足以下条件:aiC1在上式中，竖向的两个数必须满足关系丽2 a, Ga2 c ；余工向c2两个数必须满足关系*2 a2G b ,分解思路为“看两端，凑中间.(2)因式分解要彻底，直到每一项不能再分解。题型一:提取公因式例1、49a3bc3 14a2b2c2 21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是()22 2_2,22_3, 3A.7abcB.7ab cC.7a bcD.7abc例2、 若实数a、b满足a+b=5, a2b+ab2=-10 ,贝U ab的值是()A.-2B.2C.-

5、50D.50变式1、分解因式：(1) x3 4x2y(2) 4q(1 p)3 2(p 1)222(4) x xy22 xy xy题型二:公式法例1、若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是(A.4B.-4变式1、分解因式： 4 86 10(1) 36b x 9c yC.±2D.±4(x 2y)2 (x 2y)288(3) 81x y22 3a 2b 2a 3b(5) 16x4-1(6) x2+4x-9y 2+4x2-4xy+4y 2+6xz-12yz+9z51题型三：十字相乘例1、把下列多项式因式分解222(1) x 12x 32(2) x 10x 9

6、(3) 5x 6x 82.(4) 6x 5x 25变式1、(1)5x2 3x 222 x2 3x 10(3) 2x2 7xy 3y22 一 _ 2(4) 6x 7xy 5y题型四：分组分解法2ab 6a 3b(3) a2 b2 4a 4b典型例题1、把下列多项式因式分解(1) 4 x2 2x3 x4(2) 4a2(4)9 4a2 4ab b2 16m2 9a2 30ab 25b2,22 c 12(6) m 9 n mn4变式1、把下列多项式因式分解22(1) a 4b 4a 8b 4ab22(2) xy xz y 2yz z51题型三换元法典型例题1、分解因式：(2) x2 4x 3 x2 4

7、x 12，一、2 一，一、 ，56(1) (3p)5(p 3) 14题型四拆项填项法42,x 47x 132x 2x 6 5x典型例题、分解因式:44x 11、分解因式：(1) a5b ab(2) a4(m n) b4(m n)1 m 1 m 1(3) a a162、下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）2_2_2A. x 1B.x 2x 1 C. x x 12D. x 4x 43、把下列多项式因式分解(1)x2 5x 65x(3) x2 x 2一、 2一(4) x 4x 124.因式分解4x? +2旷-2Diy-3t212m 9 n mn45.分解因式：(1)18a3bc45a2b2c

8、2+ 36a2b2;(2)12x3+12x2y3xy2；(3)14x(x-y)-21y(y-x);(4)(x+y)2+ mx+ my;6 .利用因式分解计算：(1)2.39 X 91+156 X2239 X 47(2)39 X 3713X 81(a+b)(a+2b),画出图形,7 .如图，有足够多的边长为 a的大正方形、长为 a宽为b的长方形以及边长为 b的小正方形.(1)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为并根据图形回答(a+b)(a + 2b) =(2)取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为D需要A类卡片张、B类卡片张、C类卡片a2 + 5ab

9、 + 4b2.一张；可将多项式a2 + 5ab+ 4b2分解因式为1.多项式4x2-4与多项式x2-2x+1的公因式是()x+1C.x2- 12D.(x1)B.根据图形，写出一个正确的等式A. x- 122(1)4a 9b(2)25a2 y1616b4.分解因式：(1)9x2(2xy)2;(2)(2x+y)2(x 2y)2;(3) 9(a+b)2-16(a-b)2；(4) 9(3a+2b)2-25(a-2b)2.5.分解因式：(1)x4-16;(2)(a+b)4 (a-b)4.6.利用因式分解计算:(1)492 512；(2)2011_T2220122 201027、在计算(x + y) (x

10、2y) my (nxy) (m、n均为常数)的值时，把 x、y的值代入计算，粗心 的小晨和小红把y的值看错了，但结果都等于 9.细心的小敏把正确的 x、y的值代入计算，结果恰 好也是9为了探个究竟，她又把 y的值随机地换成了 2006,结果竟然还是9.根据以上情况，请你 求出m、n和x的值.8观察：1填空：3 3 5 22 4 4 63 5 5 74 6 6 8322 42用含有n的代数式表示你的猜想：请说明猜想的正确性：家庭利业作业1、如图，从边长为(a+4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为a 1 cm的正方形(a 0),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()2

11、2222A. (2a 5a)cm ; B.(3a 15)cm ; C. (6a 9)cm ; D. (6a 15)cm224B. (a 1) a 2a 1C. a b 2 a2 2ab b222D.2005 2003 20041,、222A. ( m n) m 2mn 2n2C. (1 m)( 1 m) D. (x 1)作业(1)4、分解因式2ma 4ma 4m23 a 2a a，一 222(3) a 4b 4ab c作业3、下列各式能用平方差公式计算的是A. (x 5)( x 5) B. (a 2b)(2a b)作业5、把下列多项式因式分解2(2) 2x 5x 3，八2(4) 2x 5x 7(1) 2x2 5x 2作业6、说明U3 2n 1m3 442n(2n 4)(4 2n)的值与n无关.作业7、分解因式：(1)4x2- 12xy+ 9yx;1