第五章定积分的性质1ppt课件

1、对定积分的补充规定对定积分的补充规定:（1）当当ba 时时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(. 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小说明说明定积分的性质定积分的性质一、基本内容一、基本内容 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广

2、到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 banibainiidxxfdxxf11)()(性质性质2 2 babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数). 证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质1+性质性质2 得：得： badxxgxf)()( babadxxgdxxf)()( 推广：推广： baninibaiiiidxxfkdxxfk11)()(即线性组合的定积分等于定积分的线性组合即线性组合的定积分等于定积分的线性组合说明定积分也具有线性运算性质说明定积分也具有线性运算

3、性质假假设设bca badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 假设假设, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)(那么那么 cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性） 性质性质3 3dxba 1dxba ab .性质性质5 5非负性）非负性）如如果果在在区区间间, ba上上0)( xf， 则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if),

4、2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf 性质性质4 4例例 1 1 比比较较积积分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小. ,)(xexfx 令令0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性质性质5 5的推论：（比较定理）的推论：（比较定理）则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba （1）如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（2）dxxfba )(dxxfba )(. )(ba 说明：

5、说明： 可积性是显然的可积性是显然的.|)(xf|在在区区间间,ba上上的的 解解设设M及及m分分 别别 是是 函函 数数)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，则则 )()()(abMdxxfabmba . .证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）例例 2 2 估估计计积积分分dxxx 24sin的的值值. 解解,sin)(xxxf 2,4 x性质性质6 6估值定理）估值定理）2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx

6、)(xf在在2,4 上单调下降上单调下降,故故4 x为极大点，为极大点，2 x为极小点为极小点,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx0 如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 积分中值公式积分中值公式证证)()()(abMdxxfabmba Mdxxfabmba )(1由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7定积分中值定理）定积分中值定理）在在区区间间,

7、ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。例例 3 3 设设)(xf可导，且可导，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim. 解解 由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xxd

8、ttfttxx 2)(3sin使使),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）典型问题典型问题（估计积分值；（估计积分值；（不计算定积分比较积分大小（不计算定积分比较积分大小思考题思考题 定定积积分分性性质质中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积，则则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上也也可可积积。这这一一性性质质之之逆逆成成立立吗吗？为为什什么么？二、小结二、小结 由由)()(xg

9、xf 或或)()(xgxf在在,ba上可上可积，不能断言积，不能断言)(),(xgxf在在,ba上都可积。上都可积。 为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0, 1)( 为为无无理理数数，为为有有理理数数xxxg1, 0)(显显然然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上上可可积积，但但)(),(xgxf在在1 , 0上上都都不不可可积积。例例思考题解答思考题解答练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、 如果积分区间如果积分区间 ba ,被点被点c分成分成 bcca,与与，则，则定积分的可加性为定积分的可加性为 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(

10、在在上的最大值与最小值分别为上的最大值与最小值分别为Mm与与，则，则 abdxxf)(有如下估计式：有如下估计式：_ _ _；3 3、 时时当当ba ，我们规定，我们规定 badxxf)(与与 abdxxf)(的关的关系是系是_；4 4、 积分中值公式积分中值公式 badxxf)()(,)(baabf 的几何意义是的几何意义是 _ _；5 5、 下列两积分的大小关系是：下列两积分的大小关系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 证明：证明： babadxxfkdxxkf)()(（是常数

11、是常数k）. .三、三、 估计下列积分估计下列积分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、证明不等式：四、证明不等式： 2121dxx . .六六、用用定定积积分分定定义义和和性性质质求求极极限限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2 2. .、 40sinlim xdxnn. .七七、设设)(xf及及 baxg,)(在在上上连连续续，证证明明：1 1、 若若 在在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 则则 在在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若若在在 ba ,上上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒恒等等于于，则则 badxxf0)( ；3 3、 若若在在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，则则在在 )()(,xgxfba 上上 . .一、一、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(； 3 3、