专题15二项式定理及数学归纳法(专题)-高考数学(理)考纲解读与热点难点突破Word版含解析

1、专题 15 二项式定理及数学归纳法【高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)二项式定理的简单应用，B级要求；(2) 数学归纳法的简单应用， B 级要求【重点、难点剖析】1 二项式定理(1)二项式定理：(a+b)n= C0an+C1anTb+ danrbr + Cnbn,上式中右边的多项式叫做(a+ b)n的二项展开式，其中Cn(r = 1,2,3 ,，n)叫做二项式系数，式中第 r + 1项叫做展开式的通项，用Tr+i表示，即Tr+i = danTbr；(2)( a+ b)n展开式中二项式系数d(r = 1,2,3 ,，n)的性质：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即Cn=dT

2、;C0+C2+ Cn= 2n; 式+戊+= Cn+C3+= 2n 1.2 二项式定理的应用(1) 求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”(2)二项式展开式的通项公式1+1=dan-rbr是展开式的第r+1项，而不是第r项.3 数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步， 第一步是归纳奠基(或递推基础) 证明当 n 取第一个值n0( n0C N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n=k(k>n0, kCN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从no开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可4 数学归纳法的应用(1) 利用数学归纳法证明代数

3、恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式， 然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论(2) 利用数学归纳法证明三角恒等式时， 常运用有关的三角知识、 三角公式， 要掌握三角变换方法 利用数学归纳法证明不等式问题时，在由 n=k成立，推导n= k+1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n=k+1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式.(5) 解题时经常用到“归纳猜想证明”的思维模式【题型示例】题型一二项式定理的应用【例1】(四川，2,易)设i为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A. - 1

4、5x4 B. 15x4 C. - 20ix4 D. 20ix4【答案】A【解析】: Tr+i = C6xr(i)6一，含 x4 的项为 T5=c6x4i2=- 15x4.【举一反三】(新课标全国I, 10)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为()A. 10 B. 20 C. 30 D. 60解析 Tk+1 = C5(x2 + x)5 kyk,k= 2. C2(x2+x)3y2 的第 r+1 项为 C5C3x2(3 r)xry2, .2(3-r)+r= 5,解得 r= 1,x5y2 的系数为 C5c1 =30.答案 C【变式探究】(1)( 辽宁五校联考)若出+马n展开式中只有第6项的二

5、项式系数最大，则展开 x式的常数项是()A. 360 B. 180C. 90 D . 45(2)( 浙江)在(1 +x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f ( ni n),则f(3,0) +f(2,1) +f(1,2) + f (0,3)=()A. 45 B . 60C. 120D. 210【命题意图】(1)本题主要考查二项展开式的通项、系数问题，对思维能力有一定要求.(2)本题主要考查二项展开式的系数问题，需要考生结合二项式定理进行求解.【答案】(1)B(2)C【解析】(1)展开式中只有第曰项的二项式系数最大则展开式总共11顼所以-1。1逋顶公式为；所以时,常数项为190.由期

6、意知,f 出 l)=C2fiCl%=CiaC24, g3)=C06C% 因此十血 2)+ ftoj 3)=120 J 故选 C.【感悟提升】二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值，这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解.另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点: (1)C nan-rbr是第r + 1项，而不是第r项；(2)运用通项公式 Tr+inCan-rbr解题，一般都需先转化为方程 (组)求出n, r,然后代入通项公式求解；(3)求

7、展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r,再求出所需的某项；有时需先求n,计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.【举一反三】1.(北京，9)在(2 + x)5的展开式中，X3的系数为 (用数字作答).解析 展开式通项为：Tr+i = C525 rxr, 当r=3时，系数为C3 25 3= 40.答案 401 62.(天津，12)在x- 的展开式中，x2的系数为 .X解析 X； 的展开式的通项 Tr+1= c6x6 r=C6x6 2r；4x4x4当62r = 2时，r=2,所以x2的系数为 1 2 15C2C6416.15答案-【变式探究】已知 an=(1 +>/2)n(n

8、N)(1)若 an= a+6/2(a, be Z),求证：a 是奇数；(2)求证：对于任意 ne N*都存在正整数k,使得an=M7 +#.【证明】S)由二项式定理,得为二己一段域+比/4)'+亡(仍-+所以占二C十。"或+。：(版)'+=I + 2C：+ 2'C十因为十尸C：十,为偶数，所以a是奇数.由设餐二(1 +/)=升帅6则(1 一/)'二甘一味，所以合一弱=大升肌8(6-打8=(1 +/产(1 一市/二(1-2)当门为偶掰寸P吕=2廿+ >存在片=上使得品=升8而=迎+出手=#+#二L 当门为奇数时F吕=2一1,存在弥=2凡使得田=z+

9、帅=,+也孑=小三十嗜 综上口对于任意门即，都存在正整数上使得&=仁【规律方法】 二项式系数的最大项与展开式系数的最大项不同，本题白第r + 1项的二项式系数是C8,而展开式系数却是 2rd,解题时要分清.【变式探究】已知数列an的首项为 1, p( x) = a1C0(1 -x)n+ a2Cnx(1 x) “一 + a3C2x2(1 x) “-2+ anCnTxnT(1 x) + a+1Cxn(1)若数列an是公比为2的等比数列，求 p( 1)的值；(2)若数列an是公比为2的等差数列，求证：p(x)是关于x的一次多项式.【解析】解法一由题设知，an=2ni.p( -1) =1 C

10、0( 1)0 2n + 2 C n(十1 2 1+22 C2( 1)2 2-2+ + 2n cn( - 1)n 20= C (-2)0 - 2n+Cn(-2)1 - 2n-1 + C2(-2)2- 2'2+-+ Cn( -2)n - 20=( -2+2)n=0.法二 若数列an是公比为2的等比数列，则an=2ni,故p(x)=d(1 -x)n+Cn(2x)(1 -x)n 1+ C2(2 x) 2(1 x)n 2+ CQx)1。-x) +Cn(2x)n = (1 -x)+2xn=(1 +x)n.所以 p(-1) =0.(2)证明 若数列an是公差为2的等差数列，则an=2n1.p(x)

11、=a1C°(1 -x)n+ a2Cnx(1 x)n1 + anCnxn 1 - (1 - x) + an+1Cnxn=C0(1 -x)n+(1 +2)C1x(1 -x)n 1+(1 +4)02x2(1 x)n 2+ (1 +2n)Cxn=C0(1 -x)n+01nx(1 -x)n 1+02x2(1 x)n 2+ Cnxn + 2Cnx(1 -x) n 1 + 202x2(1 x)n 2+Cnxn.由二项式定理知，d(1 x)n+dx(1 x)n1+Cx2(1 x)n 2+ Cnxn = (1 -x) +xn=1. kn!n-1!k 1因为 kCn=k , t r;-= n- r

12、9; r -=nCn 1,k!nk!k-1!nk!'所以 Cx(1 x) n1+2C2x2(1 x) 2+ nCnxn=nC! 1x(1 x) n 1+ nCn 1x2(1 - x)n 2+ nCn11xn=nxC0 1(1 x) n1 + Cn 1x(1 x)n 2+ Cn 1xn1=nx(1 -x) + xn 1 = nx,所以 p(x) = 1 +2nx.即p(x)是关于x的一次多项式.题型二二项展开式中的常数项例2. ( 北京，10,易)在(1 2x)6的展开式中，x2的系数为 .(用数字作答)【解析】 由已知得，Tr+1 = C6( 2x)6-r=C6-(一2产r-x6-r.

13、令6-r=2,得r=4,所以丁5=C4(-2)2x2= 60x2,故 x2 的系数为 60.【答案】60【举一反三】(课标I , 14,易)(2x+5)5的展开式中，x3的系数是 .(用数字填写答案)【解析】(2x+7)5 的展开式的通项 Tr+ 1=C5(2x)5-r (Yx)r=25-r C5x5 ：.令 5-1 = 3,解得 r = 4.，x3 的系数为 25404 = 2X5=10.【答案】10【变式探究】(湖南，6)已知 小一15的展开式中含x|的项的系数为30,则a =()A.艰B.艰 C. 6 D. 6解析的展开式通项界n二C5r二%ly/ x2=( 1)"胃一广， 则

14、 r=l."二/oCS=30j ：m二 一心故选 口一答案D【变式探究】使得3x+ + (nC N+)的展开式中含有常数项的最小的 x xn为()A. 4 B. 5C. 6 D. 7解析 展开式的通项公式为Tk+ i=d(3x)k+ k=Cn3n-kxn 要由n等=0得n = 5k,所以当xfx222k=2时，n有最小值5,选B.答案 B一一x- J, x<0, 一 , 【举一反三】 设函数f(x)=x ， ，则当x>0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为(一而，x>0.A. 20 B. 20C. 15 D. 15解析 当x>0时，ff(x) = x+，x

15、= Jx7x的展开式中，常数项为C620.所以选A.答案 A题型三二项式定理的综合应用例3. ( 山东,12,易)若ax2+25的展开式中x5的系数是80,则实数a =15一一 r 一20 5r 20- 5r【解析】ax2+jx展开式的通项为Tr+1=c5(ax2)5rx 1= C5a5rx包，令202区=5,得 r=2.所以 C5a3=-80,解得 a=-2.【答案】-2【举一反三】(天津，10,易)x21 81的展开式中x7的系数为.(用数字作答)【解析】 方法一：由组合原理得, c式'二一5&力的系数为一 5后方法二：；"】二0(邑)，T“i=C- 1)噂？城令

16、 16-3A=7,得击=3lJ3CixT=-56x,/的系麴为一跖一【答案】-56【变式探究】(陕西，4)二项式(x+ 1)n(nC N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A. 4 B. 5C. 6 D. 7解析由题意易得：Cn2=15,cn2=C2=15,即 n(n21)=15,解得n=6.答案 C【变式探究】(湖北，2)若二项式2x+a 7的展开式中4的系数是84,则实数a=()xxA. 2B.5/4C. 1 D*a r1解析 Tr+1 = Cz (2x)7 r x = 27-rc7arx27_7.令 2r- 7=3,则 r = 5.由 22 C5a5= 84 得 a= 1,故选 C

17、.答案 C【举一反三 【(浙江，5)在(1 + x)6(1 + y)4的展开式中,记乂1项的系数f(m, n),则f(3, 0)+ f(2,1) + f(1, 2) + f(0, 3)=()A. 45 B. 60 C. 120D. 210解析 在(1+x)6的展开式中，xm的系数为C在(1 + y)4的展开式中，yn的系数为C4,故f(m,n)=CmCn.从而 f(3, 0) = C6= 20, f(2, 1)=C6c4=60, f(1, 2)=C6C2=36, f(0, 3)=C3=4,故选C.答案 C题型四数学归纳法的应用例4、(湖北理，22, 14分)已知数列an的各项均为正数，1 nb

18、n=n1 + n an(nCN+), e为自然对数的底数.(1)求函数f(x) = 1 + x ex的单调区间，并比较 1 + nn与e的大小;(2)计算处，些竺，由此推测计算b1b2bn的公式，并给出证明; a1 aa2 a1a2a3a1a2an1令Cn=(aia2an)另数列an,Cn的前n项和分别记为3,Tn,证明：Tn<eS.-I【解析】 式动的定义域为(一8, +8), F 5 = Le当产即ZOB尢单调递熔 当 W<C,即心。时,色的单调递遍.故的单调递增区间为( 80),单调递减区间为(0+8).当 “>。时/(j)<rto)=o,即 i+MI 得即fl

19、+ 工Jbi(2) -= 1 - 1+ta111= 1 + 1 = 2;b1b2b1b2=. = 2 a1a2a1a21+2 2=(2 +1)2= 32;b1b2b3b1b2a1a2a32加b3-=3 - 3 a31 31+3 =(3+1)3=43.3由此推测：署U =(n+Dn. 卜面用数学归纳法证明.当n= 1时，左边=右边=2,成立.假设当n=k(k>1, kCN+)时，成立,G=(k+1)k.当户"1 时,bk+Ik+D 1+ 士k+ 1ak+1,b1b2 bkbk+1 b1b2 bk 由归纳假设可得aFi =kbk+ 1ak+i= (k+ 1)k (k+1) 1+ 上

20、k+1= (k+2)k+1所以当n=k+1时，也成立.综上，可知对一切正整数 n都成立.(3)证明：由Cn的定义，算术一几何平均不等式，b的定义及得Tn= Cl + C2+C3+ Cn1111=(a。彳+ (8182)2+ (aa2a3)3+ (aa2an) n1111(b) 1 (bbO 2 (bb2b3) 3(bb2bn) n=2+3+4+ +nT!b1 b1 + b2 b + b2+ b3b1 + b2+ + bn7 1X2 +2X3 +3X4h+ n (n+ 1)-1,1,11 I1,1(n+1)-bi 1X2+2X3 + +n(n+1)+ b2 2X3+3X4 + +1+ + bnn

21、 (n+1)=b111 n+ 11n+ 1+ + bn117n n+1b1b2<Y + 2+- +bnn=1 +1 ad 1 + 1 a2+ 11- an 12n<ea1+ea2+ + ean = e$.即 Tn<eS.【变式探究】等比数列an的前n项和为Si,已知对任意的nCN+,点（n, Sn）均在函数y=bx+ r（b>0且bw b, r均为常数）的图象上.（1）求r的值；(2)当b = 2时，记bn = 2(log 23 + 1)( n C M),证明：对任意的n C M,不等式bd 1b2+ 1b1,b2bn+ 1丁g 成乂.【解析】（1）由题意，Sn=bn+

22、r,当 n>2 时，S1 = bnT+r.所以 an=Sn-Sn 1=bn 1（b-1） .由于b>0且b*1,所以n>2时，an是以b为公比的等比数歹U.又 a1 = b+r, a2=b(b1),a2. b b 1,.一= b,即=b,解得 r = 1.a1b+ r(2)证明：由(1)知 a-2-L,2口+12门1.因此九二2力5Elk),2+1 4+1 所证不等式为岩,牛JnZ当的1时，左式=右式=业左式右式，所以结论成立.假设n= k( k> 1,ke N+)时结论成立，即4+142k+ 1 d-F> 邓+1,则当n=k+1时，2k2+1 4+12k+12k

23、+ 3i7r2k+32k+ 32 . 4 2k , 2 k+1 - >«k+ 1 . 2kTi- = 2k+11要证当n= k+1时结论成立,只需证2k+ 32派工1即证2k+3由基本不等式知2k+3k+1 + k+27kT1k+2 成立,.,2k+ 3r 故 21k j 封 Y k + 2成乂,所以，当n=k+1时，结论成立., _ ,b +1由可知，ne NM不等式b1b2+ 1b2bn+ 1成立.【感悟提升】 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证门=卜+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.【变式探究】记N*.(1)求 an；X 一 2十dix x21+或1+了的展开式中，x的系数为an, x的系数为bn,其中nC1Pq*(2)是否存在常数p, q(pvq),使bn=3 1 + 了 1 + ,对n N, n>2恒成立？证明你的结论.t解折】仁)根娓妥3式乘法运算法则,得1 1 1_ 1 戋=5+3+'"+矛=i 一亍17(2)计算得缶=一比=布.代入瓦=如小+3解得下面用数学归纳法证明 瓦邛一