多元函数微分学

1、第11章 多元函数微分学 1 本章概述1.1 本章主要教学内容本章知识主要为：多元函数概念及其重极限、连续性；多元函数的偏导数、微分的概念及计算；连续、偏导数存在及可微三者之间的关系；链式规则；偏导数的几何应用，切平面与法向量；方向导数、梯度；隐函数存在性、可微性定理；多元函数最值求法，条件极值与Lagrange乘数法.本章的较多篇幅是讲述偏导数的计算法，尤其是抽象复合函数的一阶、二阶偏导数的计算法，以及由方程确定的隐函数的偏导数的计算法.1.2 本章知识逻辑结构 在以下图表中揭示出本章知识的逻辑关系.箭头前的是必须先学习的知识.隐函数求导法则多元函数极限连续有界闭区域上连续函数的性质偏导数全

2、微分全微分形式不变性极值泰勒公式最值无条件极值区域方向导数梯度多元复合求导法则偏导数几何应用条件极值Lagrange乘数法1.3 在学习本章之前的必修知识学习本章多元函数微分学应该具备一元函数微分学基本知识，空间解析几何基础知识， 具有线性代数基础知识更好.一元函数微分学基本知识具体为： 一元函数概念性质、极限概念及其性质、连续； 闭区间上连续函数的性质； 导数定义, 导数意义；微分、导数的四则运算、复合运算、高阶导数；微分中值定理；泰勒公式； 极值与最值.空间解析几何基础知识具体为：空间直线方程、平面方程和常见的二次曲面等知识.线性代数基础知识具体为：线性方程组解法；行列式及其运算；二次型概

3、念及正定与负定二次型的判别法.( 线性代数不是学习本章的必要条件).1.4 本章对后继章节的影响在学习重积分、曲线积分、曲面积分时都必须先学本章知识. 本章知识与全微分方程有一定的相关性. 1.5 本章的重点 本章的关键点是:偏导数的计算法本章的重点是：多元函数的连续性、偏导数、微分的概念, 连续、偏导数存在及可微三者之间的关系;多元复合函数求导方法；偏导数的几何应用；极值及最值的求法.1.6 本章的难点区域有关概念, 二元函数极限, 全微分概念以及一阶微分形式不变性, 含有抽象函数的复合函数的一阶、二阶偏导数运算, 方程（组）确定的隐函数的一阶、二阶偏导数运算, 方向导数与偏导数间的关系，梯

4、度的意义，无条件极值的充分条件的证明.2 .教学内容提要及教学建议（评注） 2.1 多元函数的基本概念以二元函数为例叙述，可以平行推广到n元函数的内容不再叙述. 2.1.1平面点集有关概念平面点集概念中最常说到的是邻域、区域. 其他的概念在初学时可以不讲.某点的邻域是一个以该点为圆心的开圆盘，即一个开圆盘称为圆心的邻域. 类似于一元函数时的区间，讨论二元函数时常常用到区域. 形象地说，区域就是连成一块的一个平面图形. 不含边界的区域叫开区域，含有全部边界在内的区域叫闭区域. 开区域或闭区域、半开半闭区域我们统称为区域. 区域的严格数学定义为：区域是连通的开集. 所谓连通集，即该集中任意两点都可

5、以用含在该集中的连续曲线连接起来.所谓开集，即该集中的每一点都有一个邻域含在此集中.能被一个圆盘包含的区域称为有界区域，否则称为无界区域. 平面区域相关概念如内点、界点、聚点等建议不要在讲解二元函数概念之前先介绍, 因为对于非数学专业学生来说，学习内点,界点,聚点等这些是很难理解的，容易让学生感到抽象.可以先讲解二元函数的概念,然后几何意义,接着介绍二元函数定义域的求法与表示法,让学生从具体的定义域中感性的认识区域的有关概念,然后接着严格或者通俗的介绍这些概念. 二元函数概念我们把二元函数定义为是从平面点集到实数集的映射. 注意使学生熟悉函数的记号，如函数与自变量的记号无关，f (x, y)既

6、表示函数也表示函数值，函数记为z = f (x,y)时，函数值,可记作或等等.二元函数与一元函数类似，也只与定义域和对应法则有关,而与自变量,因变量用什么字母表示无关. 一元函数可以看成是特殊的二元函数，而把二元函数的一个自变量固定，就得到一元函数.二元函数z = f (x,y)，其图形为空间一张曲面，该曲面在平面上的投影区域就是该函数的定义域. 也可以说该区面的方程是z = f (x,y). 如函数的图形是上半球面，也可以说上半球面的方程是.注：三元及更多元函数的图形不是直观的图形.2.2 二元函数的极限与连续二重极限定义 设函数在区域上有定义,点是的点或边界点.若当动点在内无限趋向时, 总

7、是无限的趋向于同一个常数,则称为当时的极限,记作, 或 ().或 , 或 ().上面定义的极限叫二重极限. 二元函数还有一种极限叫二次极限，二者不同.二重极限仍有四则运算、无穷小乘有界量还是无穷小等性质，但没有洛比达法则.二重极限主要先从描述定义出发讲解,这样容易理解二元函数极限的本质,然后再向精确定义过度;要特别强调二元函数若当点在内以任意方式任意方向趋向时, 总是无限的趋向于同一个常数,则称为当时的极限,记作或.其次介绍二元极限与一元函数极限的不同点,让学生理解二元函数极限比一元要复杂,主要是体现的动点趋于的方向与方式上的多样性上.这个其实也是导致多元函数微分学会产生与一元不同的结果的根源

8、所在.一元与二元函数极限的区别方向方式二个方向 (左右)直线方式 ()无穷个方向(四面八方)任意方式(直线, 折线, 曲线等)最后介绍二元函数极限的一些常规的求法及其证明二元函数极限不存在的一些作法.如证明不存在: 一般寻找两条趋于P0的不同的路径(首先考虑直线，其次是其他特殊的曲线)C1;C2若;而,或中有一个不存在,则不存在,例如考虑在原点O(0，0)的极限时，选直线 ，假如有. 若中含有,或A不存在,则不存在.若中不含有,则存在与否不能判断,此时需要选择其它曲线去考虑.因为这些是后面要讨论连续与可偏导,可偏导与可微分之间关系常用的方法.二元连续函数二元函数连续性的定义与一元函数类似.定义

9、 若在区域上有定义且,若有 或则称函数在处连续,或称点是函数的连续点.否则称为为函数的间断点.若在区域上每一点都连续,则称在上连续.或称为上的连续函数.二元连续函数性的性质也与一元函数类似，如：二元连续函数的四则运算及复合运算后仍是连续函数. 二元初等函数在其定义区域内都是连续的.最值定理: 若在有界闭区域上连续,则存在,使得,有4. 介值定理: 若在有界闭区域上连续,则必取介于最大值与最小值之间的任一值. 注：更一般的介值定理是：区域上的连续函数的值域是区间.2.3 偏导数 偏导数的定义偏导数本质上是一元函数的导数.定义 设函数 在点的某邻域内有定义,当固定在,考虑一元函数,若它在处的导数存

10、在,即存在则称此极限值为函数在点处对的偏导数,记作, ,或.类似地，如果极限存在, 则称此极限值为函数在点处对的偏导数, 记作, 或注1：=. 或写用此式求一些分段函数在分段点处的偏导数很方便.注2： 注3：二元函数在某点的连续性与偏导数存在之间没有因果关系如果函数在区域D内每一点处对自变量或的偏导数、 都存在,则这两个偏导数仍是的函数,称它们为函数对自变量或的偏导函数,简称偏导数,分别记作,或, , , 一元函数的变化率就是导数,对于二元函数由于自变量多,研究变化率就显得复杂,为了方便起见,我们仅限于讨论当点沿着平行于坐标轴方向变化时函数的变化率,即固定一个自变量,研究函数对另一个自变量的变

11、化率即偏导数.其本质就是把二元函数当做一元函数去研究变化率. 即 例 设，求. 解 如果先求出偏导函数，再求，可以发现求运算比较繁杂.但若按偏导数定义即把y固定在y=0,则有从而，于是=2 . 偏导数的计算方法由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的导数，故求偏导数并不需要什么新的方法.对于给出具体表达式的显函数来说，在求它对某一自变量的偏导数时,只需将其它自变量看成常数,按照一元函数的求导法则进行求导. 偏导数的几何意义就是曲线Cx：在点处切线对轴的斜率, 即.同理，偏导数的几何意义是曲面S与平面的交线Cy在点处的切线对轴的斜率,即= tanb.2.4 全微分可微、全微分紧接着偏导数之后

12、讲的优点是：便于给出链式规则；便于给出求抽象函数、隐函数的偏导数的各种方法；便于讲述切平面.全微分的概念(1)函数在一点处可微及全微分定义. 定义 设函数在点的某邻域内有定义,若函数在点处的全增量可表示为 其中是仅与点有关,而与无关的常数,则称函数在点处可微分;并称线性函数为函数在点处的全微分,记作, 即 . 对于二元函数，规定自变量的增量为自变量的微分:,.于是. 注 微分dz是自变量增量的线性函数, 容易计算；当很小时，有的误差较小，故dz是函数增量的容易计算又精确的近似值.(2) 函数的微分定义 若在区域内每一点都可微,则称在内可微或称此函数是区域内的可微函数.此时全微分记作. 即一般的

13、， 注 函数的微分是一个形式符号，有时用它较为方便. 可微与连续、偏导数存在之间的关系定理（可微的必要条件）若函数在点可微,则函数在点处连续；函数在点处的偏导数,都存在,且有定理（可微的充分条件）若函数在点的某邻域内偏导数都存在,且,在点处连续,则函数在点处可微 这两个定理的逆命题都不成立.学习微分概念与可微分的必要条件后,建议结合定义补充如下与可微等价的结论.用此定理判定一个函数的可微性时较方便，初学者易于理解掌握. 有了这个结论后对于学习理解可微有积极的帮助. 定理: 若在点处的两个偏导数都存在，在点处满足 则在处可微. 且可微的充分条件可以弱化为:两个偏导数之一连续,函数就可微.定理（可

14、微的充分条件）若函数在点的某邻域内偏导数都存在,且与二者中至少有一个在点处连续,则函数在点处可微证 我们只需证明函数的全增量满足可微的定义.证明思想就是通过插项方法把二元函数化为一元函数处理. 在点的邻域内改变量因且,在内存在,于是一元函数关于在点可导,即可微. (1)同理可得 (2)再由在点连续知 (3)(1)+(2)并将(3)带入,即得而 由于 . 所以,故在点处可微. 此定理的逆命题也不成立.学习完偏导数,可微概念后,及时对它们之间的关系对照一元函数画出关系图,以便学生理解一元函数与二元函数微分学的不同点.连续偏导数连续可微偏导存在二元函数几个概念间的关系下面常见的函数可以成为表述上述关

15、系的重要的例子.例1函数在处可微,但偏导数在处不连续.例2 函数在原点连续, 可偏; 但不可微性.例3 函数在点存在偏导数;但却不连续 例4 函数在点(0, 0)处连续但偏导数不存在注 全微分在近似计算中的应用由全微分的定义可知,若函数在点处可微分,且不全为零, 当都很小时,有近似公式 (*)或写为 . (*)这表示在点邻域内,可以把近似地线性化.右侧就是一次线性逼近,这种逼近可以用来解决复杂近似计算. 学习完微分后,务必要讲解微分的近似计算,因为这才能让学生明白和理解,微分的真正意义是当自变量的改变量很小时,可以用微分近似逼近函数的改变量.2.5 多元复合函数的微分法 2.5.1.链式法则链

16、式法则大体上有两种叙述，条件有所不同，结论也相应不同，但计算偏导数的公式是一样的.差别仅在于如果要求内函数是可微的，则复合函数也可微，如果要求内函数仅是可偏导的，则复合函数也仅是可偏导的.定理1 设,可以构成复合函数.若及在点处对、的偏导数均存在,函数在对应点处可微,则复合函数在点处对的偏导数存在,且有 定理2 设,可以构成复合函数.若及都在点处可微，函数在对应点处可微,则复合函数在点处可微,且有 注 定理中的条件并非必要条件. 注 特别地,当,而,时, 上述两个定理就是一样的，由于复合函数为的一元函数，这时z对的导数称为全导数，应写为.链式法则对多层复合的函数依然成立，对多元函数也依然成立.

17、以三个中间变量为例，定理1是：若,及都在具有对及对的偏导数,函数在对应点处可微,则在点处的偏导数都存在,且有 求抽象复合函数的偏导数，是重点，也是难点，需多作讲解和练习.因为学习了偏导数后,学生会知道偏导数计算与一元函数求导本质上相同.似乎偏导数计算问题我们完满的解决了.其实对于复杂点的函数,或者含有抽象函数时复合函数我们还是很难计算或表达他们的偏导数.如:设空间曲线其上一点的温度为,对的每个值,在点处的温度是复合函数,现在我们想研究沿着路径随时间的变化率.即要求复合函数对的导数.若上述曲线,温度的表达式很复杂,或者干脆这些表达式都不能具体的表达出来,就是一个抽象的式子,那么如何求对的导数?这

18、就需要学习的复合函数的链式法则.这个也就是为什么还要学习这个法则的原因.由于多元复合求导法则是微分学的基础,所以要加强这个地方的训练.要求学生要掌握该法则.记忆可以通过与一元复合求导法则对比,介绍记忆方法;即一般所谓的树形图形法. 然后通过习题介绍应该注意的事项.其次要提醒学生, 多元复合求导法则主要用在含有抽象函数求偏导时.可以用该法则把复合函数求导问题表示出来.当不含有抽象函数时,一般采用直接求偏导数就可以,若此时使用复合函数求导法则,有时反而复杂化. 一阶全微分形式的不变性 若可微，也可微，则函数与复合函数的微分相等，即不论作为的自变量; 还是作为复合函数的中间变量,均有 这一性质称为一

19、阶全微分形式的不变性利用一阶全微分形式不变性,可以证明不论是自变量,还是中间变量下列全微分的四则运算法则都成立.定理 设可微分,则亦可微分,且有(1) (2) 特别有.(3) 我们常常是在不知不觉中就用到了一阶全微分形式不变性.2.6 隐函数微分法2.6.1. 一个方程的情形 ( 1) 由方程所确定的一元隐函数的存在性、可微性定理 (隐函数存在定理)设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数,且,，则存在点某一邻域，和唯一一个定义在上的、有连续导数的函数,它满足及在的恒等式,且有 . 常称函数为由方程确定的隐函数. 此定理本身不易理解. 定理条件中应强调，可结合定理结论中的导数公式来理解、记忆此条件

20、.(2) 由方程所确定的二元隐函数的的存在性、可微性定理 若函数在点的某一邻域内具有连续偏导数,且,则存在点某一邻域，和唯一一个定义在上的、有连续偏导数的二元隐函数,它满足及在的恒等式，且有 , .常称函数为由方程确定的隐函数. 2.6.2. 方程组的情形定理 设,均在点的某一邻域内对各个变量具有连续偏导数,且,;且偏导数构成的行列式,则方程组在点的某一邻域内能唯一确定一组具有连续偏导数的函数,它们满足及恒等式,且有, , 隐函数求导法方法1 利用隐函数导数公式 ，或 , .或, , 方法2 方程(组)两边同时求(偏)导，再解出所求(偏)导数.方法3方程(组)两边同时求微分，解出隐函数的微分，

21、再解出所求(偏)导数.隐函数求导其实是复合函数求导的应用,隐函数求导在关于微分学在几何方面有一些重要的应用. 如曲线由一般方程,给出时,就可以方便的求出其切线与法平面.以及曲面的切平面与法线求法.对于隐函数求导法，要强调方法1（直接套用隐函数求(偏)导数公式）与另两种方法的区别，即作为隐函数的那个变量在求导时是自变量还是中间变量. 要特别注意它们的求导树形图的区别. 例如三元方程所确定的二元隐函数公式求导法（方法1）关系为 直接求导法（方法2）关系为隐函数直接求导法树形图公式法多元隐函数树形图即: 用公式法求偏导数时,中的所有变量都是独立的自变量.而对于用直接法求偏导数时,即对方程两边求偏导时

22、,中的是独立自变量,但须看成的函数. 采用方法3（两边同时求微分）时，实际上用到了一阶全微分形式不变性，即使对于复合结构比较复杂的函数，以及出比较难以分清变量之间的关系时，是很有用的，出错的可能性较小一些. 对于方程组确定的隐函数情形，也是如此.对于涉及含有抽象复合函数与隐函数求导问题,建议用方程组模式处理,或者微分形式不变性的方法处理,这样可以避免出现计算错误, 避免学生难以区分自变量与中间变量问题.避免中间变量的关错综复杂的关联关系. 这两种方法是处理这种问题比较有效的方法.例如,四元方程组满足以函数存在定理,可以确定一般采用直接对方程组两端分别对自变量;求偏导数,只需把其中的看作的隐函数

23、.最后解所得线性方程组.将方程组两边分别关于求偏导,由复合函数求导的链式法则有解该方程组就可得到.同理将方程组两边分别关于求偏导, 由复合函数求导的链式法则有解该方程组就可得到的表达式.如上的这种求偏导数的方法也就方程组求导法.注: 使用方程组求导法求方程组确定隐函数的导数时,隐函数中自变量个数=方程组中所含变量个数方程组中所含方程的个数.2.7 切平面、法线和切线、法平面在曲面的一个点处求出切平面、法线，可以用切平面和法线构成该点处的一个直角坐标系，该点附近的小片曲面就可以近似看成切面上的一片. 切线、法平面同理. 曲面的切平面与法线求法设曲面的一般方程为.其中,函数在该点可微，且偏导数不同

24、时为零.定理 设曲面的方程为,.函数在处可微且偏导数不同时为零. 则曲面上任意一条通过且在处光滑曲线，其在的切线都在下述平面上 此平面称为曲面S在出的切平面.过切点且与切平面垂直的直线称为法线，曲面S在处的法线方程为 注 定理仅适用于曲面方程由一般方程给出情况. 曲面由显函数方程给出时,在点处的切平面为法线方程为 对于而言,在点的切平面为,即 由此给出微分的几何解释. 空间曲线一般方程下其切线与法平面求法若曲线由一般方程表处,可以将其看作参数方程，比如以x为参数，上述方程组确定两个隐函数，的参数方程为：，.上与参数相对应的点处的切线方程是 法平面方程为 还有另一个求法：求出曲面和曲面在某点的切

25、平面，这两个切平面的交线就是该点处的切线.2.8 高阶偏导数 定义 如果在区域D内的偏导数与仍可求偏导,则称它们的偏导数为函数的二阶偏导数,按照对变量求偏导次序的不同,二阶偏导数共有以下四个： , , , ，其中偏导数通常称为二阶混合偏导数.类似地可以定义更高阶的偏导数,例如混合偏导数,再对求偏导数是二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.定理 (求高阶偏导数与次序无关定理)若函数的二阶混合偏导数和在区域D内连续,则在该区域D内必有 .即连续的二阶混合偏导数与其求导次序无关对于含有抽象函数求高阶偏导数,学生容易对复合结构产生一些偏差,再此要特别强调含有抽象函数计算高阶偏导数时与计算一阶偏导数时

26、函数的复合结构关系（树形图）是完全一致的，或者多元函数求偏导后其复合结构不变.即复合函数树形图解若设,在对一阶偏导数求二、三阶偏导数时,仍是以为中间变量,为自变量的复合函数,即复合关系或复合树形图不变.2.9方向导数与梯度2.9.1.方向导数方向导数的定义有两种，有微小差别.定义1 设在点的某邻域内有定义,为一个向量,其单位向量为.在以为始点沿着方向的射线上任取一点P0Ph(h足够小使)，若极限存在,则称此极限为函数在点处沿着方向的方向导数,记作或,即.定义2设在点的某邻域内有定义,为一个向量,其单位向量为.过作与平行的直线(有向直线),在上任取一点且.若极限P0Ph存在,则称此极限为函数在点

27、处沿着方向的方向导数,记作或,即.方向导数与偏导数的关系为：按定义1，函数在某点沿指定方向的方向导数本质是函数在该点沿着指定方向的单侧变化率，而偏导数是函数沿着平行于坐标轴正向的变化率,即双侧变化率.故在某点M沿平行于坐标轴的方向导数都存在也不能推断出偏导数存在;但反之，偏导数存在时，在点M沿坐标轴正负向的方向导数都存在，且满足=-(M)，其中l表示坐标轴正向，即l是x或y. 总之，按定义1，函数在点M处偏导数存在,则在点M沿坐标轴正向的方向导数存在，且二者相等，反之不真.即有（按定义1）：偏导数存在 沿坐标轴正向的方向导数存在.只有在时,偏导数才存在.按定义2，函数在点M处偏导数存在等价于在

28、点M沿坐标轴正向的方向导数存在，且二者相等. 即这时可以认为偏导数是方向导数的特殊情况，或者方向导数是偏导数的推广.这时总有 .两个定义的比较：有相同的计算公式（见下）；但方向导数存在的范围前者大于后者；前者是沿射线的变化率，后者是沿直线的变化率；前者与偏导数不一致，后者不一致；前者适应实际情况，便于应用，后者以偏导数为特例，可以将偏导数和方向导数统一解释为沿直线的变化率，有利于初学者的理解学习.方向导数的计算定理1 若函数在点处可微分,则函数在该点沿着任一方向的方向导数都存在,且有其中是方向的单位向量.注 三元函数的方向导数可类似定义和计算.如类似于定义1，在空间一点处沿着方向的方向导数为

29、. 梯度(1)定义 若函数在点处可微分,则称向量为在点处的梯度向量,简称为梯度,记作或,即.梯度的简单几何应用梯度与等值线（面）的关系：函数在点的梯度与过点的等值线(的切线)垂直.且的方向是从函数值较小的等值线指向较大的等值线.函数在点的梯度与过点的等值面(的切平面)垂直.且的方向是从函数值较小的等值面指向较大的等值面.梯度概念要给学生讲解清楚以下几点:(1) 梯度它是一个向量, 而且是定义域中的向量，其方向指向函数在处增长最快(或方向导数取最大)的那个方向;其模为在处沿此方向的方向导数(方向导数的最大值). 这一点在初学时不易理解，需多加解释.(2)是在处减少最快的方向,在这个方向的方向导数

30、为(3)与梯度正交的方向是函数变化率为0的方向.(4) 梯度与过点的等值线(切线)或等值面(切平面)垂直.且的方向是从函数值较小的等值线(面)指向较大的等值线(面).即等直面与梯度的关系:曲面上点的法向量,若取“”表示增大方向，若取“”表示减少方向.通过等值面(线)的简单介绍,可以使得学生们理解某些常见封闭曲面外(或内)法线的求法.这点对于求函数沿着曲面外(内)法线的方向导数有很大的帮助.克服学生难以求解外内法线的迷惑.对于后面第二型曲面积分计算也会有一定的帮助.例如: 求曲面上点处沿外法线方向的方向.此时,曲面外法线的方向为.而曲面内法线的方向为.2.10 二元函数的泰勒公式定理 设二元函数

31、在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, ,则有其中记号表示【注】一阶泰勒公式若引入矩阵乘法也可以写成其中实对称阵叫做在点的Hessian阵. 一般阶泰勒公式为 其中表示按照二项公式展开后再把放到每一项的后面.2.11多元函数的极值与最值2.11.1 二元函数的无条件极值(1) 极值的定义定义 设函数在点的某邻域内有定义,若,恒有 (或), 则称函数在点处取得极大(小)值, 点称为函数的极大(小)值点;极大值与极小值统称为极值; 极大值点与极小值点统称为极值点.若严格不等号<(或>) 成立，称为严格极大(小)值. (2) 函数取极值的条件定理1 (必要条件) 设函数在点有偏导数,且在点处

32、取得极值,则有和 即此定理与一元函数情形相似，容易理解和证明.取极值的充分条件有以下两个.定理2 函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数,且.令则 () 当时, 函数在点处有极值,且当时,是函数的严格极小值;当时是函数的严格极大值. () 当时,不是函数的极值; 证明定理2前可以先复习线性代数中的二次型正定、负定的判别法。如：实对称阵正定各阶顺序主子式均大于零. 实对称阵负定奇数阶顺序主子式小于零,偶数阶顺序主子式大于零.若在学习多元函数微分学前未学习线性代数时,只能采取一般教材的配成完全平方的办法去处理显然，定理2的条件并非必要的，即：函数f (x, y)在点(x0, y0)的某邻域内连续，在

33、点(x0, y0)有一阶、二阶偏导数，但没有连续的一阶、二阶偏导数. 当点(x0, y0)是驻点且满足AC-B2 >0及A0时，不一定是极值点.例 容易验证下面函数f (x, y)连续，在点(0，0)有一阶、二阶偏导数，但没有连续的一阶、二阶偏导数，点(0，0)是驻点且满足AC-B2 >0及A0，但(0，0)不是极值点. 点(0, 0)不是极值点.类似于一元函数情形，也有用一阶偏导数给出的取极值的充分条件，如下定理3 设 f (x, y)在点(x0, y0)的某邻域中可微，且 fx (x, y)(x-x 0)+ f y (x, y) (y - y 0)0，(>0)则f (x0

34、, y0)是极小值(严格极小值)注：在(x0, y0)点只须连续，不必可微.定理3的条件不易验证，故不常用.无条件极值充分条件的两个定理，即定理2，3，建议课堂可不证明定理2，（因为是个难点），不讲定理3（因为不好用）.若要证明定理2，可以采用线性代数的矩阵正定与负定理论证明,这样做比较简单容易理解.既克服了一般常规证法的烦琐，又避免了不证的尴尬.定理2的证 因为,即由二元函数的泰勒公式由于在内有二阶连续偏导数,所以, 在连续.由于,故矩阵正定,所以,恒有二次型由连续函数的性质,可知存在点的某个邻域,使当,且, 时,恒有.于是有.所以是函数的极小值. 同理当,时,矩阵负定,是函数的极大值.而当

35、时,不定,从而导致不定号,故不取极值.学习二元函数极值时，应结合对照一元函数极值的有关定理与求法. 但要注意二元函数的极值要比一元函数的复杂，例如，函数f (x, y)在沿过点M(x0, y0)的每一条直线上都在M取极小值，但M不一定是f (x, y)的极小值点.例：f (x, y)=( x-y2)(6x-y2)，M(0, 0). 事实上： f (x, kx)= x2(1-k2x)(6-k2x)，显然(0, 0)是极小值点. f ( 0, y)= y4，显然(0, 0)也是极小值点.但是，f (1.5y2, y)=4 y4 >0，f (0.5y2, y)= - y2 <0，(0,

36、0)不是极小值点.这是因为在每一条直线上，M(0, 0)是极小值点的邻域是不一样的，直线越垂直，邻域越小，即邻域长度是不一致的，而2中邻域是一致的.(3 ) 极值求法程序求具有二阶连续偏导数的二元函数的极值，一般程序为1) 解方程组在定义区域内求函数的一切驻点； 2) 对于每一个驻点,求出相应的二阶偏导数的值A、B和C； 3) 由的符号,根据充分条件判定是否是极值,是极大值还是极小值.学生很容易掌握这个程序的算法，但未必能清楚理解其中的逻辑思维，学生容易把驻点当成极值点，例如：试证明: 点（3，2）是函数极值点.学生往往只知道求出偏导数,然后把点(3,2)代入偏导数中,验证偏导数为零.就下结论

37、说该点是极值点. 依然把驻点当成了极值点了.因此，我们应强调上述求法程序三步都不可缺少. 二元函数的最大值与最小值二元函数求最值时，用不到极值，这与一元函数不一样. 在一元函数中有如下结论:当在区间内连续且只有唯一极值点,则是最值点，且当是函数的极大(小)点时, 就是的最大(小)值点.但对于二元函数该结论不成立.这说明二元函数最值理论并不能平移照搬一元函数最值理论.例如: 求函数图形在区域 上的最大值点.解 令在内求出唯一驻点.对于驻点容易判别且则是唯一的极大值点.那么这个极大值点是否为函数在上的最大值点？实际他本身并不是函数的最大值点。我们不难求出函数在上的最大值点为.由此可见多元可微函数在

38、区域内只有唯一的一个极大（小）值点，则这个极值点也未必就是最大值点.能够确定二元函数有最值的，常用的只有一种情况，即：有界闭区域上的连续函数必有最大值和最小值. 当我们想说明函数的最值存在时，基本都要化为这种情况. 最值点与极值点的比较：极值点必在区域内取到，最值点不必；在区域内取到的最值点必是极值点，在边界上取到的最值点不是极值点. 因此，最值点只有三种可能：边界点、区域内的驻点和不可微点. 由此亦得下面的最值求法.函数在有界闭区域上的最大值、最小值的求法：1）先求出在区域内的一切可能极值点或不可微点，及其该点处的函数值；2）再求出在区域的边界上的最大值、最小值；3）将这些函数值进行比较,其

39、中最大者就是函数在上的最大值,最小者就是函数在D上的最小值在解有关最值的应用题时，须注意两个问题：一是最值的存在性往往说由问题的实际意义知道最值存在，进而由于目标函数可微及驻点唯一，得出结论，此唯一的驻点就是所求的最值点. 建议在适当的时机，比如在举第一个例子时，或举例结束后，说明“由问题的实际意义知道最值存在”时，问题一般是可以化为有界闭区域上连续函数的最值问题，因而最值存在. 二是构造出的目标函数要给出定义域，此定义域由问题的实际意义确定，也可以根据解题需要适当扩大. 如不说明定义域，可能会引出歧义. 见下例. 例 求双曲柱面上的到原点最近的点.解 我们寻找柱面上的到原点最近的点，就是求目

40、标函数在约束条件下的最小值问题.如果从条件中解出代入到目标函数中去就变成了求函数的最小值问题.,但点不在柱面上的.因此时对应的.问题出现了奇怪的结论. 但若从条件中解出代入到目标函数中变成函数时,求出的点,此时却是双曲柱面到原点的最近点.这里就是因为没有考虑定义域. x的变化范围是x2 1，y、z的变化范围是全体实数，因此按第一种做法，在定义域中没有驻点，其最值只能在边界上取到，即在时取到，这样考虑到定义域，问题就没有什么奇怪了.条件极值与Lagrange乘数法(1)条件极值问题的提法求函数的极值,这里的自变量除了限制在内外,还要求满足约束条件.一般条件极值的形式:在条件组限制下,求目标函数的

41、极值.(2)条件极值的几何解释因为,在几何上表示空间曲面,而条件为平面上的一条曲线.则条件极值就是在上何处取得极值. (3)条件极值的求法求条件极值时都要把约束条件化去，具体有两种方法:方法1： 化为无条件极值(减变量法)从约束条件中解出某个变量为其他变量的函数,然后代入到目标函数中去,就把条件极值转化为无条件极值. 一般是一个约束方程可减少一个变量.方法2：拉格朗日(Lagrange)乘数法(增变量法). 以一个约束条件为例，解法如下：欲求目标函数在条件下的极值,其步骤如下： 作拉格朗日(Lagrange)函数: .其中常称为Lagrange乘数，实际是新增加的变量，从而将二元函数的条件极值

42、问题转化为三元函数的无条件极值问题 求的驻点以及不可微点. 解下方程组得驻点. 判定. 首先确定最值存在性，往往是由问题的实际意义知道最值存在，或由有界闭区域上连续函数的最值定理. 如果中解出的点只有一组x0, y0及l, 则其中就是所要求的最值点，如果中解出的点有多组，则比较其目标函数值即可得出最值Lagrange乘数法求约束条件极值(最值)的重要性： 一是思想方法新.我们一般都是认为变量越少越好，容易想到通过消去一个变量来去掉约束条件，不易想到这种通过增加变量来去掉约束条件的方法.二是简便、有效. 用替换法将条件极值化为无条件极值,一般情况下并不可行.如自变量较多,约束条件多的情况,就很难

43、行得通.有时甚至产生一些不必要的麻烦.三是保留所有的原始变量，求到的结果整齐对称.具体讲Lagrange乘数法时，除了选含有一个约束条件的极值问题去讲解以外，最好也能讲含有多个约束条件的例题,以便使学生明白Lagrange函数的做法.下面的例子就是一个典型的题目.例 设旋转抛物面被平面截成一个椭圆,求此椭圆上的点到原点的最长与最短距离.分析 椭圆上的点的坐标为,则它到原点的距离为.因点既在抛物面上又在平面上,所以该问题是在约束条件,下,求目标函数的最大值与最小值.解 为计算简便,令,作拉格朗日函数解方程组 可得.这是两个可能极值点,由问题的几何意义知道,存在最小值与最大值.而.故原点到椭圆上的

44、最长距离为,最短距离为3典型例题例1.设，求分析：如果先求出偏导函数，再求，可以发现求运算比较繁杂.因为遇到的是幂指函数求导问题。但若理解了偏导数定义问题就变得简单了. 因.例2. 证明函数在点存在偏导数;但却不连续 证 （1）因不存在，故在点(0, 0)处不连续.（2）由偏导数定义，有=,同理可得，.故函数在点的两个偏导数均存在该例表明：(1)尽管函数在点处的两个偏导数均存在,但并不能保证它在该点是连续的,这是二元函数与一元函数的重要区别之一.同时该例子也提示我们(2)二元分段(片)定义的函数在分界点求偏导数仍然要用偏导定义求.例3 讨论函数在点(0, 0)处的连续性与偏导数的存在性解 因为

45、 ，故在点(0, 0)处连续但是,由于同理也不存在该例表明:二元函数在某点的连续性与偏导数存在之间没有因果关系例3 证明函数在原点连续,可偏导；但不可微.解 因 ，而，由无穷小与有界量乘积为无穷小知，故在点(0, 0)处不连续.由偏导数定义，有=,同理可得，.故函数在点的两个偏导数均存在若在原点可微分，则由微分定义知道应有即 其中. 而 .于是 不存在，与假设矛盾.故该函数在原点处不可微分.由本例可知二元函数在点处连续,可偏导,并不能保证函数在(0,0)处全微分不存在也说明了偏导数存在时，其线性组合未必就是微分dz.例4证明 函数在处可微,但偏导数在处不连续.证 由定义容易知道,.而故在原点处可微.当时,有而不存在,所以偏导数在原点处不连续.,由对称