强烈推荐七年级相交线和平行线的证明精华

1、课 题平行线和相交线的证明题教学目标掌握平行相关证明要领，熟悉几何语言的应用重 点几何语言的描述，因果关系的衔接难 点 证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法：1正确地进行证明，先要探求证明的思路：这有三种方法：一种方法是从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”。有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”，或者也可以顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口

2、，这也叫“两头凑”。 2“执果索因”的方法也就是证明的思维方法中的“综合法”，“由因导果”的方法也就是证明的思维方法中的“分析法”。“两头凑”的方法也就是证明的思维方法中的“分析综合法”。 3“综合法”、“分析法”，“分析综合法”是证明的思维方法中的直接证法。 注：今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法：反证法和同一法。这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们。 八思维方法的训练例1已知如图，AOC为一直线，OB为任一射线，OP平分AOB，OE平分BOC，求证：OEOP。 分析：1、由逆推法分析要证明OEOP，由垂直定义只要证明EOP=90°，而EOP由1、2所组成，只要证

3、明1+2=90°。由于OE，OP分别是BOC和AOB的角平分线，1=BOC，2=AOB，又由于AOC为一直线，AOB+BOC=180°，那么(AOB+BOC)=90°，即1+2=90°。 2由顺推法分析：由AOC为直线推出AOB+BOC=180°，由OP，OE分别为AOB，BOC平分线推得2=AOB，1=BOC，由POE=1+2=(AOB+BOC)推得POE=90°再推得OPOE。 3上述分析中和的两个推理是并列的，因而在证明中先写或没有什么关系，但是和共同的结果，所以必须在和的后面。 证明： （1） （2） （3）POE=1+2（全

4、量等于部分之和） =(AOB+BOC)（等量代换） =×180°（等量代换） =90° OPOE（垂直定义） 整个证明过程由3部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写。 例2、已知如图，AOC，BOD为对顶角，OE平分AOC，OF平分BOD，求证：OE，OF互为反向延长线。 分析：（1）OE，OF互为反向延长线是指EOF为一条直线，即证明E、O、F三点共线。证明这类问题首先要克服视觉给我们带来的干扰，如1和2并不能看成是一对对顶角，因为缺乏构成对顶角的必要条件。OE与OF互为反向延长线，而这一点恰恰是本题证明的目标。 （2）证明E、O、F三点共线通常采用E

5、OF=180°，利用平角定义完成三点共线证明。 （3）为证明EOF=180°，只要证明1+AOF=180°，从已知AOC与BOD为对顶角，可推知A、O、B三点共线：即AOF+2=180°，只要证明1=2，题设中由AOC和BOD为对顶角又可知AOC=BOD，又由OE，OF分别为AOC和BOD平分线，正好创设了证明1=2的条件。 证明：AOC，BOD为对顶角（已知） AOC=BOD（对顶角相等） OE平分AOC，OF平分BOD（已知） 1=AOC，2=BOD（角平分线定义） 1=2（等量之半相等） AOC，BOD为对顶角（已知） AB为直线（对顶角定义） A

6、OF+2=180°（平角定义） AOF+1=180°（等量代换） EOF=180°（等量代换） OE，OF互为反向延长线（平角定义） 九剖析图形结构，挖掘等量关系例3、已知如图，OBOA，直线CD过O点，AOC=20°，求证DOB的度数。 分析：题设中的条件给出了许多的角的关系，由OBOA可知1+2=90°；由CD过O点，可知2+BOD=180°，再由AOC=20°，很容易求得DOB的度数。 解：（不是证明题，不能写“证明”，而写“解”字） OBOA（已知） AOB=90°（垂直定义） 1+2=90°（等

7、量代换） 2=90°-1（等式性质） 直线CD过O点（已知） COD=180°（平角定义） BOD+2=180°（等量代换） BOD=180°-2（等式性质） =180°-(90°-1)（等量代换） =90°+1（等式性质） 1=20°（已知） BOD=90°+20°（等量代换） =110°（等式性质） 答：BOD的度数为110°（求解题最后写答） 例4、已知如图，OAOC，OBOD，AOD=3BOC，求BOC的度数。 分析：由题设条件（AOD=3BOC，这是有关BOC的关系

8、式，由垂直条件可推出）AOB=90°-BOC，COD=90°-BOC，可见AOB，COD都与BOC相关，可运用代数方法，设元，用方程思想解题，直接设BOC=x，用x表示其余的相关角，分析其等量关系，得到关于x的方程，这样做，无论从叙述或思考都比较简捷。 解：设BOC=x AOD=3BOC（已知） AOD=3x 又AOD=AOB+BOC+COD（全量等于部分之和） 3x=AOB+x+COD（等量代换） 2x=AOB+COD（等式性质） OAOC，OBOD（已知） AOB=90°-x，COD=90°-x（垂直定义） 2x=90°-x+90°

9、;-x（等量代换） 4x=180°（等式性质） x=45°即BOC=45° 答：BOC的度数为45°。 十例题： 例1如图所示，直线AB、CD、EF相交于点O，AOC=70°，BOE=80°，求DOF的度数。 精析：AOC、COE、BOE组成一个平角，而AOC、BOE的度数为已知，所以，可以先求出COE的度数，再根据对顶角相等得到DOF的度数。 解：AB是直线（已知）， AOC+COE+BOE=180°（平角的定义）， COE=180°-AOC-BOE AOC=70°，BOE=80°（已知） C

10、OE=30°， CD、EF相交于点O（已知） COE与DOF是对顶角（对顶角的定义） COE=DOF（对顶角相等） DOF=30°。 例2如图所示，直线AB与CD相交于O点，OE平分AOC，射线OFCD于点O，且BOF=24°，求COE的度数。 解：OFCD，BOF=24°， AOC=180°-COF-BOF =180°-90°-24° =66° 又OE平分AOCCOE=AOC =×66° =33° 即COE的度数为33°。 以下两题和平行有关，等学习平行之后再看。

11、例3如图所示，AB/EF，求证：BCF=B+F。 精析：过点C作CD/AB，则B=1，由平行公理还可推出CD/EF， 2=F，有BCF=B+F。 证明：过点C作CD/AB， 则B=1（两条线平行，内错角相等） AB/EF（已知），CD/AB CD/EF（平行公理推论） F=2（两直线平行，内错角相等） 1+2=B+F即BCF=B+F。 例4如图所示，已知ABBC于B，EF分别交AC、BC于E、F，A+AEF=180°，求证：EFBC。 精析：由A与AEF互补可推得AB/EF，然后由ABBC可推出EFBC。这样就把推论两条直线垂直的问题转化成证明两条直线平行的问题。 证明：A+AEF=

12、180°（已知） AB/EF（同旁内角互补，两直线平行） B=EFC（两直线平行，同位角相等） ABBC（已知） B=90°（垂线定义） EFC=90°（等量代换） EFBC（垂线定义）。课堂练习：1、 平行线之间的基本图DBCAFE1、如图已知，.分别是、的角平分线，是两条角平分线的交点；求证：.2、已知AB/CD，此时、和的关系又如何？你能找出其中的规律吗？3、将题变为如下图：AB/CD此时、和的关系又如何？你能找出其中的规律吗？4、如图，AB/CD，那么有什么关系？2、 两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】1.已知：如图，CD平分ACB，ACDE，D

13、CE=FEB，求证：EF平分DEBADFBEC3、已知：如图2-96,DEAO于E,BOAO,FCAB于C，1=2,求证：DOAB. 3、如图，已知EFAB，3=B，1=2，求证：CDAB。 4、已知ADBC，FGBC，垂足分别为D、G，且1=2，猜想BDE与C有怎样的大小关系？试说明理由.三、两组平行线构造平行四边形1已知：如图，AB是一条直线，C = 1，2和D互余，BEFD于G求证：ABCD ABCDEF1423(第22题)2、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，1=2，C=D，求证DFAC 3、如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上， 且1=3，P=T，求证：M=R。四、证特

14、殊角图7图81、ABCD，BAC的平分线和ACD的平分线交于点E，则AEC的度数是2、，直线与、分别相交于、两点，平分，过点作垂足为，若30，则_3、如图，已知：DEAC，CD平分ACB ，EF平分DEC，1与2互余，求证：DGEF.4已知：如图，ABDE，CM平分BCE，CNCM求证：B2DCN5.如图已知直线ab，AB平分MAD，AC平分NAD，DEAC于E，求证：1=2 MNADBCb21aE4、 求证：三角形内角之和等于180°五、寻找角之间的关系1、如图2-97,已知：1=2，3=4，5=6.求证:ADBC. 2、已知，如图，BCE、AFE是直线，ABCD，1=2，3=4。

15、求证：ADBE。ADBCEF1234C图10123ABDF3如图12，ABD和BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，1 +2 = 90°求证：（1）ABCD； （2）2 +3 = 90°E六、翻折1、如图1，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D，C的位置若EFB55°，则AED的度数为 。A2、如图2，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则B的度数等于 。21BCEDBCFCDA图1 3、如图（1），已知矩形，将沿对角线折叠，记点的对应点为，若=20°，则DBC=的度数为 _。（第1题）CADCB20° ABCD第16题C 4、如

16、图，在RtABC中，C90°，A20°按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C处，则BDC=_5、（2010江苏宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中四个三角形的周长之和为 6. 如图是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图.（1）若DEF=200，则图中CFE度数是多少？ （2）若DEF=，把图中CFE用表示.AEBFCD图AEBFCD图AEBFCD七、综合证明：1已知，如上左图，ADBC，DAAB，DB平分ADC，ABD30°，求C的度数. 2已知，如上中图，DBFGEC，ABD60°，ACE3

17、6°，AP平分BAC，求PAG的度数.3已知，如上右图，AD平分BAC，点F在BD上，FEAD交AB于G，交CA的延 长线于E，求证：AGEE.【作业】1.如下左图，EBDC，C=E，请你说出A=ADE的理由。2.如上中左图AD是EAC的平分线，ADBC，B=30 o， 求EAD、DAC、C的度数。3已知BOC与AOB互为邻补角，又OD、OE分别是AOB、BOC的平分线，若AOB=80°，求DOE的度数4如上中右图，ABAB，BCBC，BC交AB于点D，B与B有什么关系？为什么？5如上右图，已知ABCD，试再添上一个条件，使1=2成立6. 已知：如图，AB，CD，EF三直线相交于一点O，且OEAB，COE=20°，OG平分B