微积分35高阶导数ppt课件

1、 3.5 3.5 高阶导数高阶导数.),()(),()(它它的的可可导导性性点点的的函函数数，仍仍可可以以考考察察内内的的作作为为内内可可导导，则则它它的的导导函函数数在在设设xbaxfbaxfy 1.1.定义定义3.43.4,)()(,)(,)(0000点的二阶导数点的二阶导数在在点的导数为点的导数为在在且称且称点二阶可导点二阶可导在在则称则称点可导点可导在在若若xxfyxxfyxxfyxxfy .)dd,dd,()(00022220表表示示或或或或或或用用xxxxxxxfxyyxf ).()(0)(0)4(xfxfn及及四四阶阶导导数数，三三阶阶导导数数)(0 xf )()()1()( x

2、fxfnn, 3, 2,d)(d)1( nxxfn 二阶以上的导数为高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.并非并非 fnfnxxfxxfxfxxx )()(lim) )(0000求求具具体体的的高高阶阶导导数数.2求求高高阶阶导导的的基基本本方方法法：公公式式都都适适用用。前前面面的的求求导导法法则则和和导导数数).0(),0(,arctan .ffxy 求求设设例例，211xy )11(2 xy，22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 逐逐阶阶求求导导解解42222)1(2)1(2)

3、2()1)(2(xxxxx y y仍为仍为x x的函数的函数完了吗？完了吗？否否! !., 1ln.22dxydyxy求求设设例例 则则求求导导两两边边对对隐隐函函数数方方程程的的,x）求求y , 01 yyyxy,12xyyy 从从而而则则再再求求导导上上式式两两边边关关于于,x）求求y 2223122xyxyyxyyyy .123343xyxyyy 代代入入解解 .,.22yxafy 求求设设例例22xaf ,2222xafxax y22222222xafxaxxafxax y从而从而 .222322222222xafxaaxafxax 2222xax.*22整整体体进进行行求求导导对对中

4、中间间变变量量此此两两符符号号均均表表示示xauf 解解).()(),()()(.2afaxxaxxf 内内存存在在且且连连续续，求求的的某某领领域域在在点点其其中中设设例例 )()()(2xaxxf )()()()(2)(2xaxxaxxf )()()()(2)()(2)(2)(2xaxxaxxaxxxf axafxfafax )()(lim)(axxaxxaxax)()()()(2lim2 )()()(2limxaxxax )(2a 解解)1ln()1(22xyxeyx 练习：求二阶导数：练习：求二阶导数：2223)1(22)2(442)1(:222xxyexxexeykeyxxx 例例.

5、)()(nkynkxy阶阶导导数数的的为为正正整整数数求求 解解)( kxy)()()(nknxy 因此因此,1 kkx)(1 kkxy,23)1()1(xkkyk ,)1(2 kxkk, !)(kyk . 0)1( ky knknxnkkknk, 0,)1()1(阶阶导导数数求求任任意意n. 3 )5(5x例：例：! 5 )13(11x0 例例.cossin阶导数阶导数的的和和求求nxyxy 解解xxcos)(sin )2cos()(sin xx类类似似地地可可得得,2,1,2cos)(cos)( nnxxn)2sin( x)22sin( x)22cos()(sin xx)23sin( x

6、3 , 2 , 1)2sin(sin)( nnxxn ,2sinsin nbaxabaxnn .2coscos nbaxabaxnn推广）推广）.n,431,n 阶阶导导数数写写出出通通常常分分析析结结果果的的规规律律性性合合并并不不要要急急于于阶阶后后或或求求出出阶阶导导数数时时求求 的各阶导数。的各阶导数。求求)0( aeyax.),1ln( .)(nyxy求求设设例例 ，xy 11，2)1(1xy ，3)1(! 2xy ，4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn解解)3 , 2 , 1()()( neaeaxnnax阶导数阶导数的的求求练习）

7、练习）nxeyx xnexnyKey )(：)1! 0, 1()1(!)1()11(1)( nxnxnnn.sin.2阶导数阶导数的的求求例例nxy 从从而而,2cos2121xy )()2(cos21nnxy 解解间接法举例间接法举例.22cos21 nxn 22cos221 nxnxxxy 12111)()()121(nnxy )(1)1(2nx nnxn 1)1( !)1(2解:)(,11nyxxy求求思考：思考： )(,1.nyxay求求已知已知例例 xaxa1)ln()1()()ln(1nnxaxa)1! 0, 1()1()!1()1()1ln(1)(nxnxnnn)1! 0, 1(

8、)1(!)1()1ln(1)1(nxnxnnn)1! 0, 1()(!)1()ln(1)1(nxanxannn解解, )()()()()2(0)()()( nkknkknnxgxfCxgxf);()()()()1()()()(xgxfxgxfnnn 以下两个公式：以下两个公式：求函数的高阶导数常用求函数的高阶导数常用.2)()(,)!( !)0(）叫叫莱莱布布尼尼茨茨公公式式公公式式（其其中中xfxfknknCkn 由例由例1 1知道知道,)()(中有多项式时中有多项式时因此乘积因此乘积xgxfknxnk , 0)()(求它们的高求它们的高.2 ）方方便便用用公公式式（,零零阶导数可能有很多项

9、为阶导数可能有很多项为例例5.,e)30(3yxyx求求设设 解解可得可得因此，由莱布尼茨公式因此，由莱布尼茨公式3, 0)()(3 kxk由由于于)30(3)30()e(xxy xnnx e)1()e ()(由于由于因此因此.e36024e6102e90e23)30(xxxxxxxy )27(3)28(3)29(3)30(3)e ()(0604)e ()(435)e ()(30)e (xxxxxxxx 例例6.0arctan阶阶导导数数点点的的在在求求nxxy 解解, 1)1(2 yx因因此此22)1(2xxy ,112xy ,1阶阶导导数数求求方方程程两两边边关关于于 nx0)2)(1(2)1()1()2()1()(2 nnnynnxynyx)0()2)(1()0()2()( nnynn