八种经典线性规划例题最全总结(经典)

1、线性规划常见题型及解法由 已 知 条 件 写 出约 束 条 件由 已 知 条 件 写 出约 束 条 件 ，并 作 出可 行 域并 作 出可 行 域 ，进 而 通过 平 移 直线 在 可 行 域内 求 线 性进 而 通过 平 移 直线 在 可 行 域内 求 线 性目 标 函 数 的 最 优 解是 最常见 的题型 ，除 此之外 ，还 有以下 六类 常见题 型。目 标 函 数 的 最 优 解是 最常见 的题型 ，除 此之外 ，还 有以下 六类 常见题 型。一、一、求线性目标函数的取值范围求线性目标函数的取值范围例例 1 1、 若若 x x、 y y 满 足 约 束 条 件满 足 约 束 条 件222

2、xyxy， 则， 则 z=x+2yz=x+2y 的 取 值 范 围 是的 取 值 范 围 是（）A A、 2,62,6B B、 2,52,5C C、 3,63,6D D、 （ 3,53,5解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线l l： x+2yx+2y 0 0， 将， 将l l向 右 上 方 平 移 ， 过 点向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A A（ 2,02,0） 时 ， 有 最 小 值） 时 ， 有 最 小 值2 2， 过 点， 过 点 B B（ 2,22,2） 时 ， 有 最 大 值） 时 ， 有 最 大 值 6

3、6， 故 选， 故 选 A A二、求可行域的面积二、求可行域的面积例例 2 2、不 等 式 组不 等 式 组260302xyxyy表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为（）A A、 4 4B B、 1 1C C、 5 5D D、 无 穷 大、 无 穷 大解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ，解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， ABCABC 的 面 积 即 为 所 求 ， 由 梯 形的 面 积 即 为 所 求 ， 由 梯 形 OMBOMBC C的 面 积 减 去 梯 形的 面 积 减 去 梯 形 OMACOMAC 的 面 积 即 可 ，

4、选的 面 积 即 可 ， 选 B B三、求可行域中整点个数三、求可行域中整点个数例例 3 3、 满 足、 满 足 |x|x| |y|y|2 2 的 点 （的 点 （ x x， y y） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （）A A、 9 9 个个B B、 1010 个个C C、 1313 个个D D、 1414 个个解 ：解 ： |x|x| |y|y|2 2 等 价 于等 价 于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)xyxyxyxyxyxyxyxy 作 出 可 行 域 如 右 图作 出 可 行 域 如

5、 右 图 ， 是 正 方 形 内 部是 正 方 形 内 部 （ 包 括 边 界包 括 边 界 ） ， 容 易 得 到 整容 易 得 到 整点 个 数 为点 个 数 为 1313 个 ， 选个 ， 选 D DxyOxyO22x=2y =2x + y =2BA2x + y 6= 0= 5xy 3 = 0OyxABCMy =2四、求线性目标函数中参数的取值范围四、求线性目标函数中参数的取值范围例例 4 4、已 知已 知 x x、y y 满 足 以 下 约 束 条 件满 足 以 下 约 束 条 件5503xyxyx，使使 z=x+ay(a0)z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有

6、无 数 个 ， 则取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 a a 的 值 为的 值 为（）A A、 、 3 3B B、 3 3C C、 、 1 1D D、 1 1解解 ： 如 图如 图 ， 作 出 可 行 域作 出 可 行 域 ， 作 直 线作 直 线l l： x+ayx+ay 0 0， 要 使 目 标 函 数要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a0)z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解取 得 最 小 值 的 最 优 解有 无 数 个 ， 则 将有 无 数 个 ， 则 将l l向 右 上 方 平 移 后 与 直 线向 右 上 方 平 移 后 与 直 线

7、x+yx+y 5 5 重 合 ， 故重 合 ， 故 a=1a=1， 选， 选 D D五、求非线性目标函数的最值五、求非线性目标函数的最值例例 5 5、 已 知已 知 x x、 y y 满 足 以 下 约 束 条 件满 足 以 下 约 束 条 件220240330 xyxyxy， 则则 z=xz=x2 2+y+y2 2的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 （）A A、 1313， 1 1B B、 1313， 2 2C C、 1313，45D D、13，2 55解解 ： 如 图如 图 ， 作 出 可 行 域作 出 可 行 域 , ,x x2 2+y+

8、y2 2是 点是 点 （ x x， y y） 到 原 点 的 距 离 的到 原 点 的 距 离 的平 方 ， 故 最 大 值 为 点平 方 ， 故 最 大 值 为 点 A A （ 2,32,3 ） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 即） 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ， 即|AO|AO|2 2=13=13，最 小 值 为 原 点 到 直 线最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x2x y y 2=02=0 的 距 离 的 平 方的 距 离 的 平 方 ，即 为即 为45， 选， 选 C C六、求约束条件中参数的取值范围六、求约束条件中参数的取值范围例例 6 6、 已 知已 知 |2

9、x|2x y y m|m| 3 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 （ 0,00,0） 和和 （ 1,11,1） ， 则则 m m 的 取 值 范 围 是的 取 值 范 围 是（）A A、 （ -3,6-3,6）B B、 （ 0,60,6）C C、 （ 0,30,3）D D、 （ -3,3-3,3）解 ：解 ： |2x|2x y y m|m| 3 3 等 价 于等 价 于230230 xymxym由 右 图 可 知由 右 图 可 知3330mm, ,故故 0 0 m m 3 3， 选， 选 C CO2x y = 0y2x y + 3 = 0 x +

10、 y = 5x y + 5 = 0Oyxx=32x + y - 2= 0= 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA七、比值问题七、比值问题当目标函数形如当目标函数形如yazxb时时, ,可把可把 z z 看作是动点看作是动点( , )P x y与定点与定点( , )Q b a连线的斜率，这样目标函数的最值就转连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为化为 PQPQ 连线斜率的最值。连线斜率的最值。例例已知变量已知变量x x，y y满足约束条件满足约束条件x xy y2 20 0，x x1 1，x xy y7 70 0，则则y yx x的取值范围是的取值范围是（）. .（A A） 9

11、 95 5，6 6 （B B） （，9 95 5 66，）（C C） （，3 3 66，）（D D） 3 3，6 6 解析解析y yx x是可行域内的点是可行域内的点M M（x x，y y）与原点）与原点O O（0 0，0 0）连线的斜率，当直线）连线的斜率，当直线OMOM过点（过点（5 52 2，9 92 2）时，）时，y yx x取得取得最小值最小值9 95 5；当直线；当直线OMOM过点（过点（1 1，6 6）时，）时，y yx x取得最大值取得最大值 6 6. . 答案答案 A A八、线性规划应用八、线性规划应用例例 1 1、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品、某工厂利用两种燃料生产

12、三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品现需要三种产品A、B、C各各 5050 吨吨、6363 吨吨、6565 吨吨问如何使用问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？两种燃料，才能使该厂成本最低？分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A、B、C又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单

13、的线性规划问题一般都可以有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解利用二元一次不等式求在可行域上的最优解解：设该厂使用燃料甲解：设该厂使用燃料甲x吨，燃料乙吨，燃料乙y吨，甲每吨吨，甲每吨t 2元，元，则成本为则成本为)32(32yxttytxz因此只须求因此只须求yx32 的最小值即可的最小值即可又由题意可得又由题意可得x、y满足条件满足条件.65135,6397,50510yxyxyx作出不等式组所表示的平面区域（如图）作出不等式组所表示的平面区域（如图）由由.6397,50510yxyx得得)11

14、56,1127(A由由.65135,6397yxyx得得)2370,23117(B作直线作直线032 yxl：，把直线，把直线l向右上方平移至可行域中的点向右上方平移至可行域中的点B时，时，234442370323117232yxz最小成本为最小成本为t23444答：应用燃料甲答：应用燃料甲23117吨，燃料乙吨，燃料乙2370吨，才能使成本最低吨，才能使成本最低说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？例例 2 2、 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉

15、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9 9 克、咖啡克、咖啡 4 4 克、糖克、糖 3 3 克，乙种饮料每杯含奶粉克，乙种饮料每杯含奶粉 4 4 克、咖克、咖啡啡5 5 克克、糖糖 1010 克克已知每天原料的使用限额为奶粉已知每天原料的使用限额为奶粉 36003600 克克、咖啡咖啡 20002000 克克、糖糖 30003000 克克如果甲种饮料每杯能获如果甲种饮料每杯能获利利0.70.7 元元，乙种饮料每杯能获利乙种饮料每杯能获利 1.21.2 元元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯每天应配制两种饮料各多少杯能获利最

16、大？能获利最大？分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组只要能正确地抽象出不等分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案式组，即可得到正确的答案解：设每天配制甲各饮料解：设每天配制甲各饮料x杯、乙种饮料杯、乙种饮料y杯可获得最大利润，利润总额为杯可获得最大利润，利润总额为z元元由条件知：由条件知：yxz2 . 17 . 0变量变量x、y满足满足. 0, 0,3000103,200054,360049yxyxyxyx作出不等式组所表示的可行域（如图）作出不等式组所表示的可行域（如图）作直线

17、作直线02 . 17 . 0yxl：，把直线，把直线l向右上方平移至经过向右上方平移至经过A点的位置时，点的位置时，yxz2 . 17 . 0取最大值取最大值由方程组：由方程组：. 0200054, 03000103yxyx得得A点坐标点坐标)240,200(A答：应每天配制甲种饮料答：应每天配制甲种饮料 200200 杯，乙种饮料杯，乙种饮料 240240 杯方可获利最大杯方可获利最大高考真题练习高考真题练习1.1.（20102010 年浙江理年浙江理 7 7）若实数x，y满足不等式组330,230,10,xyxyxmy 且xy的最大值为 9，则实数m （A）2（B）1（C）1（D）2解析解

18、析：将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选 C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题2.(20092.(2009 年陕西理年陕西理 11)11)若 x，y 满足约束条件1122xyxyxy ，目标函数2zaxy仅在点（1，0）处取得最小值，则 a的取值范围是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A) （1，2 ）(B) （4，2 ）(C)( 4,0(D)( 2,4)答案：答案：B B 解析：解析：根据图像判断，目标函数需要和1xy，22xy平行，由图像知函数 a 的取

19、值范围是（4，2 ）3.(20093.(2009 年山东理年山东理 12)12) 设 x，y 满足约束条件0, 002063yxyxyx，若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为 12，则23ab的最小值为().A.625B.38C.311D. 4x22yO-2z=ax+b3x-y-6=0 x-y+2=【解析】【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z（a0，b0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点（4,6）时,目标函数 z=ax+by（a0，b0）取得最大 12,即 4a+6b=12,即 2a+3b=6, 而23ab=23 2

20、3131325()()26666abbaabab,故选 A.【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求23ab的最小值常用乘积进而用基本不等式解答4.4.（20092009 年安徽理年安徽理 7 7）若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是（A）73（B）37（C）43（D）34高.考.资.源.网 解析解析 ：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABC由3434xyxy得 A（1，1） ，又 B（0，4） ，C（0，43）SABC=144(4) 1233 ，设ykx与34xy的交点为 D，则由1223BCDSS ABC知12Dx ，52Dy 5147,2233kk选 A。5.(20085.(2008 年山东理年山东理 12)12)设二元一次不等式组2190802140 xyxyxy ，所表示的平面区域为M，使函数(01)xyaaa，的图象过区域M的a的取值范围是（）A13，B210，C2 9，D 10 9，解：解：C,C,区域M是三条直线相交构成的三角形（如图）显 然1a ， 只 需 研 究 过(1,9)、(3,8)两 种 情 形 ，19a 且38a 即29.a6.(6.(20102