《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)

1、第二章极限与连续单选题1、若xT 0时，函数f（x）为x2的高阶无穷小量，则 =0=（）A 0!B、二C、1D oo【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】 本题考察高阶无穷小.lim = 0根据高阶无穷小的定义，有 z，P单选题2、/优+0）与九-0）都存在是j函数在，一4点处有极限的（A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】 您未答题 【答案解析】pT时.J8 极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若f函数在工 %点处有极限，则必有 %+。）与/偏都存在 .但二者都存在，不一定相等， 所以不一定

2、有极限.单选题3、hm（护一加二（）.Ta、2B、1C、400D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】 您未答题【答案解析】 / n 、 r 丹 + 同一界 n 1附 +n-n - lim ,= lim-,=-1。 值“ +竹必二十桂2单选题4、k如果limx灯口一 二 5,则上二().TT0 X A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】 您未答题【答案解析】上笈口_lim sin - = ilim -=* 二 5、S X界 T9 上根据重要极限，工单选题.4 9 - k - 2 lim=2工+2工+3().A、0B、00C、2D、-2【从题库收藏夹删

3、除】【正确答案】C【您的答案】 您未答题4xa -x-2i 可x/44,lim s= lim77k 2,丑2工+21+3 口232士十一十r?X JT【答案解析】分子分母同除以X2,即单选题6、lim(-)=W1 i-l 工一工 ().A、0B、00C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】 您未答题hm ( ) - lim= hm:= lim (a + 1) = 2答案解析2工一1工一工 11武1一1) 亡 乳工一D “1单选题7、产.+4)-/二 元+20 x = _2网/=设 5 x -，则 +().Ta、2B、2C、+ooD、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的

4、答案】 您未答题sin（2x + 4）sin（2z+4）lim /（ij = lim= 2 lim= 2【答案解析】1+口+工+2芥t-n+ 21+4单选题8、当时,与曲）_等价的无穷小量是（）.A、以B、?c、sm3 x+xd、ln（l+刈【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】 您未答题【答案解析】1 sin x1 由于E / 一 故sinx3与d等价，推广，当 /gTO时，单选题9、xtO时，与等价的无穷小量是（）.A、FB、工C、tD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 【您的答案】 【答案解析1A您未答题litn = 1in! - 1-2s h a由于X -2工，故。-1与-21

5、等价, 推广，当/TO时, 单选题10、./-+ 3函数 1-5x -6工的间断点是（）.A、x=6、X=-1B、x=0、x=6G x=0、x=6、x=-1D x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】由于 9-5?-6x = x（x2-5x0=代6）（计1）,所以1X）的间断点是x=0 , x=6, x=-1.单选题11、+ 1-1、J, X M 0设 10，X =。，则工=。是/的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题 【答案解析】1 广、1 J- + 1 -1 r x +1 1

6、.1111 m f （a） = hm= hm = lim =7,tQ工,tQ工（左仃+1） 7 Vx + 1 +1 2 ,即口）的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.单选题12、hmQ产二计算YT91+ 1（）.A、白B、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】hm （叁尸=呵生匕孕=Hm Q +3）哼司=M（1 +二）号（1 +JKT 工+1 ITS 1+1 E1IS 7+1X+1单选题13、lim Vl-2x =计算ttOA ：-B3C 口D 1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】1lim =lim(l-2xr

7、 = lim(l- 2x)与二量】xtGttO.v-0单选题14、1234加-12 公lim ( I I)nnnn n月,B、 一 1【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题1 2 3 42君-11H【答案解=-) = lim (-) = 1.“Ta Jg Jg处 I -下列各式中正确的是（）.=扈A 一B、limfl-)* -eC、limQ-)K -e-L【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题 【答案解析】A,当TCO时，极限为0 ,错误；1 i一（1-幻河（1-方可上7 B, ttOtT。,错误；D正确.C,女工 i工,错误，单选题16、 arctan x【从

8、题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】工 TOO, LO.单选题18、. 1Inn二i 1 + 自 r （）A 0B、1G不存在，但不是00D oo【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】lim - -1, lim -一二 0,故 lim-不存在且不为oo 1 + 02加+ / 单选题/(x) = d ln(14-x)-1 兀二 019、函数,贝 U x=0 是 f(x)的(A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题sinx【答案解析】lim f(x) = lim二X x InQ +

9、 x)故为可去间断点.单选题20、lim I sin(2x-3) =? + 3xA -1B、2C、1D 0【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】=0sinQ工- 3)为有界函数，故原式二i工，3工i工+ 3单选题21、B -B、C、-4D .【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题1 1t lim（l -3x） = litn（l - Vs = e【答案解析】，八 * jtt。单选题22、下列极限存在的是（）.1B、出叱limsin-c、3 工 1limxsin-D 3 工【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】 1噂 * 1

10、ran-limxsin- = 0当x趋近于0时，工为有界函数，故 川 工极限存在.单选题23、下列变量在工-9的变化过程中为无穷小量的是（）.X 1A、； - I1B、cJM【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】,1sin-工不存在,X 1 - oO1 工 TO, ?-1,111（1+ 工，）T 0. 单选题 24、 r x2-9 lim-5极限乂3丁_ 2x _ 3 =（）A 0 B、2/3 G 3/2 D 9/2 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】r x2-P 隼-3）（区 + 力 r x + 3 6 3 lim =

11、lim = lim= - = -x-3x2 - 2x-3 jct3（K-3）0C +1） x-3 2 + 1 4 2单选题 25、1函数f（x）=的所有间断点是（）A、x=0B、x=1G x=0, x=-1D x=0, x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题0,无意【答案解析】x=1时，分母为0,无意义。x=0时，分子的指数分母为 义。单选题lim J 二26、极限 1-ao （）.A、ooB、0C、1D、+8【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】lim ,-lim - = u-CO00参见教材 P4850. （ 2015年4月真题）单选题/

12、=27、函数工（工-1）（1-2）的所有间断点为（）.A、X =0, X = 1B、X = 0, X =2C、x = 1, x = 2D、X = 0, x= 1, x= 2【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题（2015年4月真【答案解析】本题考查间断点，由定义可知答案为D。参见教材P64.题）单选题28、设函数 f （x） =2X2, g（X）= sinX,则当 X一0 时（）.A、f （X）是比g （X）高阶的无穷小量B、f（X）是比g （X）低阶的无穷小量C、f（X）与g（X）是同阶但非等价的无穷小量D、f （x）与g （x）是等价无穷小量【从题库收藏夹删除】【正确答案】

13、A【您的答案】您未答题【答案解析】当X - 0时，sinX和X是等价无穷小量，2X2是X的高阶无穷小量.所以选择A.参见教材 P5961。（2014年4月真题）单选题-Ax + atx2在X = 2处连续，则（）a、a = 1, b = 4b、a = 0, b =4C、a = 1, b = 5d、a = 0, b= 5【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】在X = 2点连续，那么在这一点左右极限相等，且等于该点函数值. 所以有 3x2-4 + a= b= x+ 2,解得 a = 0, b = 4,选 B.参见教材 P6364。（2014年4月真题）单选题sinte3

14、0、若函数4,x=0b在x = 0处连续，则常数 k=（A、1B、2C、3D、4【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】 sin fa . fcsinfa 一. sinfcr lim= lim= jtlim在X = 0点连续，因此4To X10 丘 HT。因此选择D.参见教材 P6364。（2014年10月真题）单选题工+2y 31、函数 支一1）的间断点的个数为（）.A、 1B、2C、3D、4【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】解得x= 1.因此选择B.参见教材 P64。（2014年10月真题）单选题+2f j 1时，下列变量为无穷小量

15、的是（）。IA、：B如川G二D 二1；【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题cos(l-x)-cosO = lX 【答案解析】当时，1-1, ln(l+-ln2,11!工今1口1二球 参见教材P59。单选题34、 1+2lim -=极限12 X -4 =().A -2B、0C、2D + oo【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】工+2 .X+2.1lim =lim= lim= doe (工+2)(7-2) e”2参见教材P48。单选题35、丫+- /(另二上+函数, 工T的所有间断点是().A 0B、-1C、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答

16、案】您未答题【答案解析】P64。根据间断点的定义可知，工二，二二1均是函数的间断点。参见教材单选题2 工+1hm36、极限 I 三一1 =().A 0B、1C、2D 3【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】 等于最高次项的系数之比。故选 Bo单选题37、极限住一女”3) 的所有间断点为().A、x=-1B、x=2C、x=2D x=2, x=3【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】当x=2, x=3时，f(x)没有意义，所以极限 的所有间断点为2, 3 故选D。单选题r 29+1lim：=38、极限().A 01B、4C、2D 00【从题库

17、收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】 等于最高次项的系数之比。故选 C。参见教材P52。单选题/W =、工丁39、函数/+3工一 4的全部间断点为().A x= 1 及 x=4B、x= 1 及 x= 4C、x=1 及 x= 4D x=1 及 x=4【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】X +3x-4 (X-1)(x4-4)当x=1, x= 4时，f(x)没有意义，所以函数的全部间断点为 x=1, x= 4。故选C。参见教材P64。解答题40、极限丹。_=_ F =.【从题库收藏夹删除】【正确答案】您未答题则1-2寸=1面(出()可 =/【您的答

18、案】【答案解析】解答题41、sinxlim极限小(l + r)ln(l+ x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】1【您的答案】您未答题【答案解析】sini. sinxsin Ihm= lim= lim解答题42、fe1 cos2r, riO/(x)=1讨论函数 。+3尸，m 在x =0处的连续性.【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 吗/=/ = /(0)_1_妈外)二则(1+如行二J寸 所以/ (工)在X =0处连续。【您的答案】您未答题解答题43、hm(y =4, 设 x-r 求 a.【从题库收藏夹删除】【正确答案】hm(-) = hm(-) = lim(l+-)* = hm(l + )x-a

19、 f 彳-4 f x-s f x-a=二)五 .(i+士)正* 二/良ttkX一口x-a故* = 4na = ln2.【您的答案】您未答题解答题44、计算 *M(l+siii2x)【从题库收藏夹删除】【正确答案】.-1.婷如-1团 112K-2x, -2x sm 2x 一2xum = hm = - lim ln(l + sin 2x)才to+ -2x ln(l + sin 2x) sin 2x r-*o+-2x sin 2x 2x【您的答案】您未答题 解答题45、证明方程工3二1在区间(0,1)内必有根.【从题库收藏夹删除】即1，根据零点定理：存在 “触，使得了=q即工3二1在区间（0,1）内

20、必有根.【您的答案】您未答题解答题46、2或+3,ln（x + 2）/=4i+。,一1 x 6.41n2l【您的答案】您未答题解答题47、计算极限.vx+T-111IY1:3 sin2x【从题库收藏夹删除】 【正确答案】1. 1：d . +1 + 1 +1)ligi = hm.有0 sin2a*帮&芥+“a2M=lim =i-0= lim =j-0(7+1+1)x2【您的答案】您未答题解答题48、x(e -1)lim.计算 w cosx-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 此题是0/0型，所以用洛必达法则上下求导得到(屋-D+1M蜻 +屋+ B 、lim (-) = hm=4x -sinx 0

21、 修。-Cosi此题还可以用等价替换来做-X 2【您的答案】您未答题 解答题卜+ J -49、求a的值，使得函数f(x)=， 芯二口在x=0处连续.【从题库收藏夹删除】【正确答案】1 2随八霞)=%(1+2才*=随。+21产 二/1/(。)二且,所以当。二/时函数f(x)在x=0处连续.【您的答案】您未答题解答题2口1期(1+3万50、求极限20.【从题库收藏夹删除】【正确答案】e6【您的答案】您未答题【答案解析】2二 5lim(l+3x)J =lim.(l+3x)3x = J参见教材 P5558. ( 2015年4月真题)解答题x羊0天二在x=0处连续.J 】+ 工 J1 ， x51、求常数

22、a的值，使函数以/【从题库收藏夹删除】【正确答案】a= 1【您的答案】您未答题【答案解析】当x W0时，11 m=lim道Jl+#+J)=lim 1 乙 jx 城 J1+工 + Jl-jr=1当 x = 0 时，f（x）= a.由于函数在x = o处连续，所以a = i.参见教材 P6364. （ 2015年4月真题）解答题产-1 lim-52、【从题库收藏夹删除】【正确答案】3【您的答案】您未答题【答案解析】产-1 3z r 3lim= hm二 hmA0 工(1-1)-0 x(x -1) 4To 工一 1参见教材 P5961. （2015年4月真题）解答题仁X3 +务，2 lim=53、求极

23、限 W +1【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】3 2 / + 3+2 r I + ； + 7 1 lim= hm 工=-5/+1 KT8 j- 157参见教材 P4850。(2014年4月真题)解答题.sinj(x-l) rlim= 154、已知极限 ,求常数a的值.【从题库收藏夹删除】【正确答案】2【您的答案】您未答题【答案解析】. sin(x-1)lim2(7-1). sin=Umax工一】2a (x -1).a sindr(x-T)-hm x工 t1 2lj(a-I)= xl2a=2-=1由题意得2,则有a=2.参见教材 P4850。(2014年10月真题)

24、解答题开55、判断方程sinx+x- 1 = 0在区间(0, 2 )内是否有实根，并说明理由.【从题库收藏夹删除】【正确答案】有【您的答案】您未答题【答案解析】令 f (x) = sinx +x - 1,则f (x)是连续函数所以网附二亍丁。f (0) = sin0+0 1 = - 10由零点存在定理可知:产至少存在介于0, 2之间的一个点e ,使得了0二,即 sm+-l = O,则方程sinx + x 1 = 0在区间（0, 2 ）上至少有一个实根j .参见教材 P6567。（2014年10月真题）解答题56、求极限【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题O参见教材【答案解析1P55解答题57、已知函数【从题库收藏夹删除】，试确定常数藏。的值。【正确答案】(J = - ,u -_22【您的答案】您未答题【答案解析】由函数cos 工+ 8,才 0/在i=0点连续,可得蛔曰四）沙lim f(x)= lim(cosi+5) = 1 +6才t(T,而.j. . .+ 彳-1 r (Ji + X 1) (Jl + K +1) ,. X 1lim - Li in= hm= lim