勾股定理与平方根袁恺义

1、第二章第二章 勾股定理与平方根勾股定理与平方根课题：勾股定理课题：勾股定理这就这就是本是本届大届大会会会会徽的徽的图图案案你见过这你见过这个图案吗？个图案吗？你听说过勾股定理吗？你听说过勾股定理吗？ 这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为股定理时用到的，被称为“赵爽弦图赵爽弦图”224()42SSSabcb a 大大正正方方形形小小正正方方形形直直角角三三角角形形化简得：化简得： c2 =a2+ b2从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前的，

2、这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为）上第九题，大意为“有一根长为有一根长为5米的木梁（米的木梁（AB）竖）竖直靠在墙上，上端（直靠在墙上，上端（A）下滑一米至）下滑一米至D。问下端（。问下端（C）离墙根（）离墙根（B）多远？多远？”他们解此题就是用了勾股定理他们解此题就是用了勾股定理最早的勾股定理最早的勾股定理22)(hlla 相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某成的地面中反映了直角三角形三边的某种数

3、量关系种数量关系 我们也来观察右我们也来观察右图中的地面，看看有图中的地面，看看有什么发现？什么发现？勾股定理勾股定理如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么222abc即即 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。于斜边的平方。abc勾勾股股弦弦在西方又称毕达在西方又称毕达哥拉斯定理！哥拉斯定理！ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（1）观察图）观察图1-1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积

4、。 正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918你是怎样得到上面的结你是怎样得到上面的结果的？果的？CABABC 正方形周边上正方形周边上的格点数的格点数a=12正方形内部的正方形内部的格点数格点数b=13所以，正方形所以，正方形C的的面积为：面积为： （单位面积）（单位面积）112 13 1182 图图1-1图图1-2ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形143 3182 分割成若干个直角边分割成若干个直角边为整数的三角形为整数的三角形（单位面积

5、）（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2cS正方形216218（单位面积）（单位面积）把把C看成边长为看成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1-1图1-2（2）在图）在图1-2中，正中，正方形方形A，B，C中各含中各含有多少个小方格？它有多少个小方格？它们的面积各是多少？们的面积各是多少？（3）你能发现图）你能发现图1-1中三个正方形中三个正方形A，B，C的面积之间有什么的面积之间有什么关系吗？关系吗？ SA+SB=SC 即：两条

6、直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积ABC图图1-3ABC图图1-4（1）观察图）观察图1-3、图、图1-4，并填写右表：并填写右表： A的面积的面积（单位面积）（单位面积） B的面积的面积（单位面积）（单位面积） C的面积的面积（单位面积）（单位面积）图图1-3图图1-4169254913你是怎样得你是怎样得到表中的结到表中的结果的？果的？做一做做一做ABC图图1-3ABC图图1-4分割成若干个直角边为分割成若干个直角边为整数的三角形整数的三角形cS正方形25144 3 12 （面积单位）（面积单位）ABC图图1-3ABC

7、图图1-4（2）三个）三个正方形正方形A，B，C的面的面积之间有什积之间有什么关系？么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积斜边上的正方形的面积ABC图图1-3ABC图图1-4（1）你能用三）你能用三角形的边长表示角形的边长表示正方形的面积吗？正方形的面积吗？（2）你能发现）你能发现直角三角形三边直角三角形三边长度之间存在什长度之间存在什么关系吗？与同么关系吗？与同伴进行交流。伴进行交流。（3）分别以）分别以5厘米、厘米、12厘米为直角边作出一厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。（个直角三角形，并测量斜

8、边的长度。（2）中）中的规律对这个三角形仍然成立吗？的规律对这个三角形仍然成立吗？议一议议一议 小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘厘米）的电视机。小明量了电视机的屏米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有幕后，发现屏幕只有58厘米长和厘米长和46厘厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的我们通常所说的29英寸或英寸或74厘米的电视厘米的电视机，是指其荧屏对角机，是指其荧屏对角线的长度线的长度27454762258465480售货员没搞错售货员没搞错想一想想一想荧屏对角线大约为

9、荧屏对角线大约为74厘米厘米222abc直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方abc 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百明到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎种之多下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的样证明这个命题的结结 论论勾股定理勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c

10、，那么，那么222abc 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方于斜边的平方abc来源：来源： 勾股定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕勾股定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称牛作庆祝，因此又称“百牛定理百牛定理”。在中国，。在中国，周髀周髀b算经算经记载记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对商高定

11、理；三国时代的赵爽对周髀算经周髀算经内的勾股定理作出了详内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。直角边叫做股，斜边叫做弦。毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树?c?c?c?c?a?b?a?b?a?b?b?a 勾股定理的证明勾股定理的证明勾股定理是数学上有证明方法最多的定理，美国第二十任总统伽菲尔德就由这个图得出：c c2 2 = = a a2 2 + b+ b2 2证明勾

12、股定理的。证明勾股定理的。他的证法在数学史上被传为佳话。他是这样分析的，如图所示：勾股定理概念勾股定理概念1、勾股定理、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方2、勾股定理逆定理、勾股定理逆定理如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，那么这个三角形是直角三角形.3、满足、满足a2+b2=c2的三个正整数的三个正整数a、b、c，称为勾股数称为勾股数 如上图，如果知道如上图，如果知道，如何才能，如何才能？a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2直角三角形直角三角形两直角边的平

13、方和两直角边的平方和等于等于斜边的斜边的平方平方a ac cb b勾勾股股弦弦( (毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理) )a a2 2 = = c c2 2 - b- b2 2b b2 2 = c= c2 2 - a- a2 2 如左图，南京玄武湖如左图，南京玄武湖与与及及大致成大致成。从。从B处到处到C处，如果处，如果，将比，将比（约约1.36km）（约约2.95km）减少多少行程（）减少多少行程（精确到精确到0.1km）?BAC1.36km1.36km2.95km2.95km2.62km2.62kmACB90cm120cm?练一练练一练( (数学就在我们身边数学就在我们身边) )ABC所以梯子

14、的顶端下滑所以梯子的顶端下滑1m1m，它的底，它的底端端滑动滑动1 1m.m.10108 8A AB B如果梯子的如果梯子的顶端下滑顶端下滑2m2m呢呢? ? “引葭引葭ji赴岸赴岸”是是九章算术九章算术中的一道题中的一道题:“”解：如图如图5xX+1设设AB x尺，则尺，则BC （X1）尺，尺，根据勾股定理得：根据勾股定理得：x2+52=(x+1)2即：即：(x+1)2- x2 =52解得：解得：x12所以芦苇长为所以芦苇长为12113（尺）（尺）答答:水深为水深为12尺尺,芦苇长为芦苇长为13尺。尺。 ）（，可求出第三边直角三角形中已知两边数数学学问问题题实实际际问问题题构构造造直直角角三

15、三角角形形( (在直角三角形中，已知在直角三角形中，已知一边一边及及另另两边的大小关系两边的大小关系，也可以求出未知，也可以求出未知的边的边. .) )ABCD1m2m2.2m3m？吸管长吸管长A AB BC C这是测量这是测量旗杆高的旗杆高的一种好方一种好方法哦法哦思考题8 86 61010？1010如图，是一个三级台阶，它的每一级的如图，是一个三级台阶，它的每一级的分别等于分别等于，A A和和B B是这个台阶的两个是这个台阶的两个相对的端点，相对的端点，. .请你想一想，这只蚂蚁从请你想一想，这只蚂蚁从A A点出发，沿着台点出发，沿着台阶面爬到阶面爬到B B点，点，？思考题A5B31zxy

16、3221111图1ABCDEabcABCbaca2+b2=c2在在ABC中，中，C=90 C=90在在ABC中，中，a2+b2=c2在在ABC中，中，B=90a2+c2=b2在在ABC中，中，a2+c2=b2 B=905, 6, 756zy11x图23221111ABCDEFG图31243BADC解：画解：画ABCABC的高的高ADAD，ABCABC是等边三角形，是等边三角形，在在RtRtABCABC中，中， 362121BCBD196. 527362222BDABAD6 .1558.15196. 562121ADBCSC BCA做一做：做一做：DBCABCAD如图，公路如图，公路MNMN和小

17、路和小路PQPQ在点在点P P处交汇，且处交汇，且QPN=30QPN=30，点，点A A处有一所学校，处有一所学校，AP=160mAP=160m，假，假设拖拉机行驶时，周围设拖拉机行驶时，周围100m100m内受噪音影响，那内受噪音影响，那么拖拉机在公路么拖拉机在公路MNMN上以上以18km/h18km/h的速度沿的速度沿PNPN方向方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间受到影响，那么受影响将持续多长时间？P PM MN NQ QA AB BD DC C在一条宽在一条宽20m20m的村河两岸各有两户人家的村河两岸各

18、有两户人家A A、B B，它们分别距村河边它们分别距村河边35m35m、25m25m，又知它们的水平距，又知它们的水平距离为离为80m80m，小明从，小明从A A家将一材料送给家将一材料送给B B家的小强，家的小强，小明可以选择最近点乘船横渡村河，那么小明至小明可以选择最近点乘船横渡村河，那么小明至少行走（不包括乘船）多远，才能到达少行走（不包括乘船）多远，才能到达B B家？家？ A AAAB BC CF FE E在一个内腔长30cm、宽40 cm、高50 cm的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm？ ACBD在一个外长30cm、宽40 cm、高50 cm的木箱的外底部A

19、处有一只昆虫,它在外壁上绕行了一周半最终到达上端顶点B处,试探究昆虫爬行的最短路程. ACBD在一个外长30cm、宽40 cm、高50 cm的木箱的外底部A处有一只昆虫,它在外壁上绕行了一周半最终到达上端顶点B处,试探究昆虫爬行的最短路程. ACBD在上面的木箱中，如果在箱外的在上面的木箱中，如果在箱外的A A处处有一只昆虫有一只昆虫. .它要在箱壁上爬行到箱内的它要在箱壁上爬行到箱内的D D处，至处，至少要爬多远？少要爬多远？它要在箱壁上它要在箱壁上爬行到箱内的爬行到箱内的C C处，至少要爬多处，至少要爬多远？远？ ACBD图ACBD305040CDA.B.A勾股定理的应用勾股定理的应用21

20、、已知甲往东走了、已知甲往东走了4km，乙往南走了，乙往南走了3km，这时甲、乙俩人相距，这时甲、乙俩人相距_ km 2、如图，所有的四边形都是正方形，、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为其中最大的正方形的边长为7cm,则正则正方形方形A，B，C，D的面积之和的面积之和为为_cm2。ABCD 第4题图7cmACDB7cm想一想此题还想一想此题还能继续往下变能继续往下变吗？吗？3、如图、如图,一圆柱高一圆柱高8cm,底面半径底面半径2cm,一一只蚂蚁从点只蚂蚁从点A爬到点爬到点B处吃食处吃食,要爬行的最要爬行的最短路程短

21、路程(圆周率圆周率取取3)是是 （ ） A.20cm; B.10cm; C.14cm; D.无法确定无法确定.ABAB4、分别以下列四组数为一个三角形的边、分别以下列四组数为一个三角形的边长：长：6、8、10；5、12、13；8、5、17；4、5、6.其中能构成直角三角其中能构成直角三角形的有（形的有（ ）A.4组组 B. 3组组 C. 2组组 D.1组组5、三角形三边长分别为、三角形三边长分别为a2+b2、2ab、a2-b2（a、b都是正整数，都是正整数，ab），则这），则这个三角形是（个三角形是（ ）.A.直角三角形直角三角形 B.锐角三角形锐角三角形 C.钝角三角形钝角三角形 D. 不能

22、确定不能确定6、如图，有一个直角三角形纸片，两直、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边，现将直角边AC沿直线沿直线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上上,且与且与AE重合重合,你能求出你能求出CD的长吗？的长吗？ C B A D E7、如图，已知、如图，已知AB4，BC3，CD13，DA12，且，且B90，说明：，说明：ACAD.ADCB课题：平方根、立方根课题：平方根、立方根平方根、立方根概念平方根、立方根概念一般的，如果一个数的平方是一般的，如果一个数的平方是a，则这个，则这个数叫做数叫做a的平方根的平方根.一般的，如果一个数的立方是一般

23、的，如果一个数的立方是a，则这个，则这个数叫做数叫做a的立方根的立方根.平方根概念平方根概念立方根概念立方根概念平方根性质平方根性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数一个正数有两个平方根，它们互为相反数0只有一个平方根，它是只有一个平方根，它是0本身本身负数没有平方根负数没有平方根正数的正的平方根也叫它的算术平方根正数的正的平方根也叫它的算术平方根0的算术平方根还是的算术平方根还是0立方根性质立方根性质正数的立方根是正数正数的立方根是正数0的立方根是的立方根是0负数的立方根是负数负数的立方根是负数简单练习简单练习1、下列语句正确的是（、下列语句正确的是（ ）A.一个数的平方根一定是两个数一个数的平方根一定是两个数B.一个非负数的非负平方根一定是它的算术一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根平方根C.一个正数的平方根一定是它的算术平方根一个正数的平方根一定是它的算术平方根D.一个非零的正的平方根是它的算术平方根一个非零的正的平方根是它的算术平方根有下列四个说法：有下列四个说法：1的算术平方根是的算术平方根是1，64的立方根是的立方根