多元线性回归模型公式

1、二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中， 多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y 受 k 个自变量x1, x2 ,., xk 的影响，其n 组观测值为（ ya , x1a , x2 a ,., xka ）， a 1,2,.,n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为：ya01x1a2 x2a.k xkaa （）式中：0 , 1,.,k 为待定参数；a 为随机变量。如果 b0 ,b1,., bk 分别为0 , 1 , 2 ., k 的拟合值，则回归方程为?=b0b1 x1b2 x2.bk

2、 xk （）式中：b0 为常数；b1, b2 ,., bk 称为偏回归系数。偏回归系数 bi （ i1,2,., k ）的意义是，当其他自变量x j （ ji ）都固定时，自变量 xi 每变化一个单位而使因变量y 平均改变的数值。根据最小二乘法原理，i （ i0,1,2,., k ）的估计值 bi （ i0,1,2,., k ）应该使n2n2min （）Qya yayab0 b1 x1a b2 x2 a . bk xkaa1a 1有求极值的必要条件得Qn2yaya0b0a 1（）Qnyayaxja0( j1,2,., k)2bja 1将方程组（）式展开整理后得：nnnnnb0(x1a )b1(

3、x2 a )b2.(xka )bkyaa 1a 1a1a 1nnnnn(x1a )b0(x12a )b1(x1a x2a )b2.(x1 a xka )bkx1a yaa1a1a 1a1a1（）nnnnn(x2a )b0(x1 a x2a )b1(x22a )b2.(x2a xka )bkx2 a yaa1a1a1a1a1nn.nnnxka2 )bk(xka )b0(x1a xka )b1(x2a xka )b2.(xka yaa1a1a1a1a1方程组（）式，被称为正规方程组。如果引入一下向量和矩阵：则正规方程组（）式可以进一步写成矩阵形式AbB （ ）求解（）式可得：bA 1B(XTX)

4、1XTY （）如果引入记号：则正规方程组也可以写成：L11b1L12b2.L1k bkL1yL21b1L22b2.L2k bkL2 y.（ ）Lk1b1Lk 2b2 . Lkkbk Lkyb0yb1 x1b2 x2.bk xk（二）多元线性回归模型的显着性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显着性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量 y 的观测值 y1, y2 ,., yn 之间的波动或差异，是由两个因素引起的， 一是由于自变量x1, x2 ,., xk 的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。 为了从 y 分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将的离差平方和中把它们区y 的离差平方和 ST 或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和 Q：在多元线性回归分析中， 回归平方和表示的是所有k 个自变量对总影响，它可以按公式计算，而剩余平方和为y 的变差的以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。 它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和 Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和 U的