平方根和立方根讲义

1、 平方根和立方根中考要求内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算知识点睛实数可按下图进行详细分类：实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论)平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根也就是说，若，则就叫做的平方根一个非负数的平方根可用符号表示为“”算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示

2、为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根通过验算我们可以知道： 当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍() 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若，则；不管为何值，总有注意二者之间的区别及联系若一个非负数介于另外两个非负数

3、、之间，即时，它的算术平方根也介于、 之间，即：利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根，一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略.前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为.读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数

4、的立方根通过归纳我们可以知道：当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍，若一个数介于另外两个数、之间，即，它的立方根也介于和之间，即利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围重、难点重点：平方根和立方根的基本概念，以及灵活应用难点：平方根的性质例题精讲【例1】 判断下列各题，并说明理由的平方根是( )一定是正数( )的算术平方根是( ) 若，则.( ).( ) 是的平方根( ) 的平方根是( ) 若，则.( ) 若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等( ) 如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等( ) 算术平方根一定是正数( ) 没有

5、算术平方根( ) 的立方根是 ( ) 是的立方根( ) ( ) 互为相反数的两个数的立方根互为相反数( ) 正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根( )【例2】 若，则 ；若，则 . 若，则的平方根是 ；若，则 . 若，则 ；若，则 . 当，的算术平方根是 . 算术平方根是，则 . 若一个自然数的一个平方根是，那么比它大的自然数的平方根是 . 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .【例3】 计算下列各题；【例4】 已知某正数的两个平方根是与，求这个正数【例5】 已知，求的值(为正整数).【例6】 已知为实数，且满足，求的值.课堂作业【练习1】若，求所有可能值【练习2】一个数的平方根是和，求这个数【练习3】已知的平方根是，的立方根是，求的平方根 【练习4】已知，那么的值为 .家庭作业1 的平方根是 ；的平方根是 ；的平方根是 .的相反数是 ；的立方根是 . 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .已知：是整数，则