工学机器人的运动学和动力学

1、教案首页课程名称 农业机器人任课教师 李玉柱第3章 机器人运动学和动力学 计划学时 3教学目的和要求：1. 概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2. 机器人的运动学方程的建立与求解*；3. 机器人的动力学*重点：1. 机器人操作机运动学方程的建立及求解；2. 工业机器人运动学方程3. 机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1. 简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。2. 连杆参数及连杆坐标系如何建立？3. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章 机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机

2、器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵 点的位置描述 在关节

3、型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。记该坐标系为世界坐标系。在选定的直角坐标系A中，空间任一点P的位置可以用31的位置向量AP表示，其左上标表示选定的坐标系A，此时有式中：PX、PY、PZ点P在坐标系A中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标。一般情况下称为该齐次坐标中的比例因子，当取=1时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即式中坐标轴方向的描述如图3-2 所示，i、j、k分别直角坐标系中X

4、、Y、Z坐标轴的单位矢量，用齐次坐标表示之，则有：由上述可知，若规定：41列阵中第四个元素为零，且满足，则中的 、表示某轴的方向。 41列阵中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置。图3-2中矢量u的方向用41列可表达为：u=其中，。图3-2中矢量u的起点O为坐标原点，用41列阵可表达为：O=【例3-1】用齐次坐标表示图3-3中所示的矢量u，v，w的坐标方向。解 矢量： 动系的位姿表示在机器人的坐标系中，运动时相对于连杆不懂的坐标系称为静坐标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称动系。动系位置与姿态的描述是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述。（1）连杆的位姿描述设有一个机器人的连

5、杆，若给定了了连杆PL上某点的位置和该连杆在空间的姿态，则称该连杆在空间是完全确定的。如图3-4所示，为连杆上一点，为与连杆固接的一个动坐标系，即为动系。连杆PL在固定坐标系中的位置可用一齐次坐标表示为 （3-4）连杆的姿态可由动系的坐标轴方向表示。令分别为坐标轴的单位矢量，各单位方向矢量在静系上的分量为动系各坐标轴的方向余弦，以齐次坐标形式分别表示为（3-5）由此可知，连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示： （3-6）显然，连杆的位姿表示就是对固连于连杆上的动系的位姿表示。【例3-2】图3-5表示固连于连杆上的坐标系B位于OB点，,，。在XOY平面内，坐标系B相对于固定坐标系A有一个30的偏转，试

6、写出表示连杆位姿的坐标系B的44矩阵表达式。解 XB的方向列阵YB的方向列阵ZB的方向列阵坐标系B的位置阵列 则动坐标系B的44矩阵表达式为 (2) 手部位姿的描述机器人手部的位姿如图3-6所示，可用固连于手部的坐标系B的位姿来表示。坐标系B由原点位置和三个单位矢量唯一确定如下。. 原点 取手部中心点为原点OB。. 接近矢量 关节轴方向的单位矢量。. 姿态矢量 手指连线方向的单位矢量。. 法向矢量 为法向单位矢量，同时垂直于、矢量，即=。手部位姿矢量为从固定参考坐标系OXYZ原点指向于手部坐标系B原点的矢量P。手部的位姿可由44矩阵表示：（3-7）【例3-3】 图3-7表示手部抓握物体Q，物体

7、为边长2个单位的正方体，写出表达该手部位姿的矩阵式。解 因为物体Q形心与手部坐标系的坐标原点，所以手部位置的41列阵为手部坐标系轴的方向可以用单位矢量来表示：同理，手部坐标系轴与轴的方向分别用单位矢量表示：根据式（3-7）可知，手部位姿可用矩阵表达为：（3）目标物位姿的描述任何一个物体在空间的位姿和姿态都可以用齐次矩阵来表示。【例3-4】如图3-8所示。楔块Q在图（a）的情况下可用6个点描述，矩阵表达式为：若让其绕Z轴旋转90，记为Rot（Z，90）；再绕Y轴旋转90，记为Rot（Y，90）然后沿X轴平移4，即Trans（4，0，0），则楔块成为图（b）位姿，其齐次矩阵表达式为可见，用符号表示

8、目标物的变换方式，不但可以记录物体移动的过程，也便于矩阵的运算。3.3 齐次变换在机器人中，手臂、手腕等被视为（连杆）刚体。而刚体的运动一般可以包括平移运动、旋转运动和平移加旋转运动。把刚体每次简单的运动用一个变换矩阵来表示，那么，多次运动即可用多个变换矩阵的积来表示，表示这个积的矩阵称为齐次变换矩阵。这样，用连杆的初始位姿矩阵乘以齐次变换矩阵，即可得到经过多次变换后该连杆的最终位姿矩阵。通过多个连杆位姿的传递，可以得到机器人末端操作器的位姿，即进行机器人正运动学的讨论。 平移的齐次变换首先，介绍点在空间直角坐标系中的平移。如图3-9所示，空间某一点A，坐标为（XA,XB,XC）当它平移至点后

9、，坐标为（）其中： (3-10)或写成如下形式：也可简写成： (3-11)式中表示齐次坐标变换的平移算子，且 (3-12)式中，第四列元素分别表示沿坐标轴的移动量。若算子左乘，表示坐标变换是相对于固定坐标系进行的，加入相对动坐标系机型坐标变换，则算子应该右乘。由上述推导可以看出，平移变换的数学实质是求两个矢量的和，T为平移变换矩阵。对于二维情况，它是33单位方阵。它是由一个22单位矩阵，和所求点的列矢量以及满足齐次坐标表达式而增加的一个行矢量组成。对于三维情况，它是44单位方阵。完成平移变换的关键在于要构造一个变换矩阵T。平移的齐次变换公式（3-12）同样适用于坐标系、物体等的变换。【例3-5

10、】如图3-10所示坐标系与物体的平移变换给出了下面三种情况：动坐标系A相对于固定坐标系的轴做（-1，2，2）平移后到；动坐标系A相对于自身坐标系的轴分别作（-1，2，2）平移后到；物体Q相对于固定坐标系作（2，6，0）平移后到。已知写出坐标系、以及物体的矩阵表达式。解 动坐标系A的两个齐次坐标变换平移算子均为坐标系是动系A沿固定坐标系平移变换得来的，故算子左乘，的矩阵表达式为物体Q的齐次坐标变换平移算子为故有 经过平移坐标变换后，坐标系、以及物体的实际情况如图3-10所示。旋转的齐次变换（1）点在空间直接坐标系中绕坐标轴的旋转变换如图3-11所示，空间某一点A，坐标为，当它绕Z轴旋转角后移至点

11、，坐标为。与A点的关系为或用矩阵表示为:与的齐次坐标分别为和，因此A点的旋转齐次变换过程为 （3-14）也可简写为 （3-15） 式中，表示齐次坐标变换时绕Z轴转动的齐次变换矩阵，又称旋转算子，旋转算子左乘表示相对于固定坐标系进行变换，旋转算子的内容为：（3-16）式中，下同。同理，可写出绕X轴转动的旋转算子和绕Y轴转动的旋转算子：（2）点在空间直角坐标系绕过原点任意轴的一般旋转变换图3-12所示为点A绕任意过原点的单位矢量旋转角的情况。分别为矢量在固定参考系坐标轴上的三个分量，且。可以证得，绕任意过原点的单位矢量转角的旋转算子为：（3-19）式中，。 式（3-19）称为一般旋转齐次变换通式，

12、它概括了绕X轴、Y轴及Z轴进行旋转齐次变换的各种特殊情况，例如：当,即时，则由式（3-19）可得到式（3-17）当,即时，则由式（3-19）可得到式（3-18）当,即时，则由式（3-19）可得到式（3-16）反之，若给出某个旋转算子则可根据式（3-19）求出其等效转轴矢量及等效角转角为：（3）算子左右乘规则若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘，若对动坐标系进行变换，则算子右乘。3.4 机器人操作机运动学方程的建立及求解描述机器人操作机上每一活动杆件在空间相对于绝对坐标系或相对于机座坐标系的位置及姿态的方程，称为机器人操作机的运动学方程。操作机运动学研究机器人末端执行器相对于参考系的位置、速度和

13、角速度以及加速度和角加速度。但是不考虑引起运动的力和力矩。机器人操作机末端执行器的位置和姿态问题，通常可分为两类基本问题。一类是运动学正问题，已知机器人操作机各运动副的参数和杆件的结构参数，求末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态。另一类是运动学逆问题，根据已给定的满足工作要求时末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态以及杆件的结构参数，求各运动副的运动参数。这是机器人设计中对其进行控制的关键，因为只有使各关键运动到逆解中求得的值，才能使末端执行器到达工作要求的位置和姿态。机器人运动学的研究重点是研究手部的位姿和运动，而手部位姿是机器人各杆件的尺寸、运动副类型及杆间的相互关系直接关联。因此杆件坐

14、标系建立的研究十分重要。 连杆参数及连杆坐标系的建立（1）坐标系连杆号的分配方法机器人的各连杆通过关节连接在一起，关节有移动副和转动副两种，按从机座到末端执行器的顺序，由低到高依次为各关节和各连杆编号，如图3-16所示。机座的编号为杆件0，与机座相连的杆件编号为杆件1，依次类推。机座与连杆1的关节编号为关节1，连杆1与连杆2的关节编号为关节2，依次类推，各连杆的坐标系Z轴方向与关节轴线重合（对于移动关节，Z轴线沿此关节移动方向）。（2）各坐标系的方位的确定机器人机械手是由一系列连接在一起的连杆（杆件）构成的。需要用两个参数来描述一个连杆，即公法线距离，如图3-17所示。连杆两端有关节和。该连杆

15、尺寸可以用两个量来描述：一个是两个关节轴线沿公垂线的距离，称为连杆长度；一个是垂直于的平面内两个轴线的夹角，称为连杆扭角。这两个参数为连杆的尺寸参数。机器人机械手坐标系的配置取决于机械手连杆连接的类型。有两种连接转动关节和棱柱联轴节。如图3-18，图3-19所示。其中为两连杆的距离，为两个连杆的夹角。对于转动关节，为关节变量。连杆的坐标系原点位于关节和的公法线与关节轴线的交点上。如果两相邻连杆的轴线相交于一点，那么原点就在这一交点上。如果两轴线平行，那么就选择原点使对下一杆（其坐标原点已确定）的距离为零。连杆的Z轴与关节的轴线在一直线上，而X轴则在连杆和的公法线上，其方向从指向，如图3-18所

16、示。当两关节轴线相交时，X轴的方向与两矢量的交积平行或反向平行，X轴的方向总是沿着公法线从转轴指向。当两轴和平行且同向时，第个转动关节的为零。 连杆坐标系间的变换矩阵（1）连杆坐标系间的齐次变换矩阵表示方法用表示机器人连杆n坐标系的坐标变换成连杆n-1坐标系的坐标的齐次坐标变换矩阵，通常上把上标省略，写成。对于n个关节的机器人，前一个关节向后一个关节的坐标齐次变换矩阵分别为也就是 其中，表示杆件1上的1号坐标系到机座的0号坐标系的齐次坐标变换矩阵。（2）连杆坐标系间变化矩阵的确定如图3-18和3-19所示，一旦对全部连杆规定坐标系后，就能按照下列的步骤建立相邻两连杆和之间的相对关系。I. 绕轴

17、旋转角，使轴转到与同一平面内。II. 沿轴平移一距离，把移到与同一直线上。III. 沿轴平移一距离，把连杆的坐标系移动到使其原点与连杆坐标系原点重合的地方。IV. 绕旋转角，使转到与同一直线上。连杆的坐标系经过上述变换与连杆的坐标系重合。如果把相邻连杆对空间的关系成为A矩阵，那么根据上述变换步骤，从连杆到连杆的坐标系重合。如果把表相邻连杆相对于空间关系的矩阵称为A矩阵，那么根据上述变换步骤，从连杆到连杆的坐标变换矩阵为：同理，对联轴节的齐次坐标变换矩阵有实际上很多机器人在设计时，常常使某些连杆参数取特别值，如使或90，也有的使或，从而可以简化变换矩阵的计算，这样也可简化控制。3.5 机器人运动

18、学方程 机器人运动学方程对机器人的每一个连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间的相对关系，也叫相对位姿。通常把描述一个连杆坐标系下与下一个连杆坐标系间相对关系的齐次变换矩阵，叫做A变换矩阵或A矩阵。如果矩阵表示第一连杆坐标系相对于固定坐标系的齐次变换，则第一连杆坐标系相对于固定坐标系的位姿为如果矩阵表示第二连杆坐标系相对于第一连杆坐标系的齐次变换，则第二连杆坐标系在固定坐标系中的位姿可用和的成积来表示，并且应该右乘，即同理，若矩阵表示第三连杆坐标系相对于第二连杆坐标系的齐次变换，则有如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵 （3-23）该等式称为机器人运动学方程，此式右边表示了从固定

19、参考系到手部坐标系的各连杆坐标系之家的变换矩阵的连乘，左边表示这些变换矩阵的乘积，也就是手部坐标系相对于固定参考系的位姿。式（3-23）计算结果是一个44的矩阵，即式中，前三列表示手部的姿态；第四列表示手部的位置。 正向运动学的实例正向运动学主要解决机器人运动学方程的建立及手部位姿求解问题，下面给出建立机器人运动学方程的方法及实例。【例3-8】图3-20所示为斯坦福机器人及赋给各连杆的坐标系，斯坦福机器人的手臂有两个转动关节（关节1和关节2）且两个转动关节的轴线相交于一点，一个移动关节（关节3），共三个自由度：杆1绕固定坐标系的轴旋转；杆2绕杆1坐标系的轴旋转；杆3绕杆2坐标系的轴平移。手腕有

20、三个转动关节，与转动关节的轴线相交于一点，共三个自由度：杆4绕杆3坐标系的轴旋转；杆5绕杆4坐标系的轴旋转；杆6绕杆5坐标系的轴旋转；为手部坐标系，原点位于手部两手爪的中心，离手腕中心的距离为，当夹持工件时，需确定它与被夹持工件上固连坐标系的相对位置关系和相对姿态关系。表3-1 斯坦福机器人的各连杆参数杆件号关节转角扭角杆长距离1-900029003004-900059000600根据表3-1所示的斯坦福机器人各连杆的参数和齐次变换矩阵公式，可求得：则斯坦福机器人运动方程为式中：设斯坦福机器人的起始位置为零位，如图3-21所示。现已知关节变量为：机器人结构参数为：。并设，则三个方向矢量不变，而

21、位置矢量的分量分别为：代人本例给出的已知参数值和变量值，求得数值解为该44矩阵即为斯坦福机器人在题目给定情况下手部的位姿矩阵，即运动学正解。逆向运动学及实例反向运动学解决的问题是已知手部的位姿，求各个关节的变量。在机器人的控制中，往往已知手部到达的目标位姿，需要求出关节变量，以驱动各关节的电机，使手部的位姿得到满足，这就是运动学的反向问题，也称逆向运动学。运动学逆解如式（3-25）所示。 （3-25）图3-22所示为一个2连杆机器人，对于一个给定的位置和姿态，它具有两组解。虚线和实线各代表一组解，它们都能满足给定的位置和姿态。这就是多解性。多解性是由于解反三角函数方程产生的。显然，对于一个真实

22、的机器人，只有一组解与实际情况相对应。为此，必须做出判断，以选择合适的解。通常采用剔除多余解的方法：i. 根据关节运动空间来选择合适的解；ii. 选择一个最接近的解；iii. 根据避障要求选择合适的解；iv. 逐级剔除多余解。能否求得机器人运动学逆解的解析式是机器人的可解性问题。逆向运动学的求解是用一系列变换矩阵的逆左乘，然后找出右端为常数的元素，并令这些元素与左端元素相等，这样就可以得出一个可以求解的三角函数方程式。对于有解析解的机器人，求得它的解是运动学中最重要，而又是最困难的事情。现仍以斯坦福机器人为例来介绍反向求解的一种方法。【例3-9】如图3-20（b）所示，以6自由度斯坦福机器人为

23、例，其连杆坐标系如图3-23所示。解 设坐标系6与坐标系5原点重合，其运动学方程为（3-26）现给出矩阵及各杆参数，求关节变量，其中。其中，为坐标系1，相对于固定坐标系的轴旋转，然后绕自身坐标系轴做的旋转变换，,所以（3-27）只要列出在式（3-26）两边分别左乘运动学方程，即可得（1）求，方程（3-28）左端为式中，是缩写，其中（3-31）（3-32）（3-30）因而式（3-30）中第3行、第4列元素为常数，把式（3-29）对应的元素等同起来，可得采用三角代换 式中，进行三角代换后可得：（3-33）式中，正、负号对应的两个解对应于的两个可能解。（2）求根据根据前述原则，用左乘方程式（3-28

24、）得： （3-34）查找右边的元素，这些元素是各关节的函数，计算矩阵后可知，第1行、第4列和第2行、第4列是的函数，因此可得 （3-35） （3-36）由于大于零（棱形导轨的伸展大于零），所以有唯一解 （3-37）（3）求 用左乘方程式（3-34）得： （3-38）因已经求得，故的值为已知。计算式（3-38），令第3行、第4列元素相等，可以得到的方程式： （3-39）（4）求用左乘式（3-38）得： （3-40）（3-41）计算矩阵式，因右端第3行、第3列元素为0，令左、右第3行、第3列元素相等，有：（3-42）解得：（5）求用左乘式（3-40）得： （3-43） （3-44）根据（3-43）

25、左右两边对应的元素，可以得到的方程，即 （3-45）（3-46）解得：（6）求（3-48）（3-47）根据（3-43）左右两边对应的元素，可以得到的表达式：解得： （3-49）3.6机器人动力学机器人动力学主要研究机器人运动与受力之间的关系，目的是对机器人进行控制、优化设计和仿真。机器人动力学主要解决动力学正问题和逆问题两类问题。动力学正问题是根据各关节的驱动力（力矩），求解机器人的运动（关节位移、速度和加速度），主要用于机器人的仿真；动力学逆问题是已知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力（力矩），是实时控制的需要。其中雅克比矩阵式机器人速度和静力分析的基础。 机器人雅克比矩阵机

26、器人雅克比矩阵（简称雅克比）揭示了操作空间与关节空间映射关系。雅克比不仅表示操作空间与关节空间的速度映射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间的速度、加速度和静力的变换提供了便捷的方法。（1）机器人速度雅克比矩阵在数学上，雅克比矩阵是一个多元函数的偏导矩阵。假设有六个函数，每个函数有六个变量，即： （3-50）可简写成 .将其微分得 （3-51）可简写成：式中，66矩阵称为雅克比矩阵。机器人学中，雅克比是一个把关节速度矢量变换手爪相对基坐标的广义速度矢量的变换矩阵。【例3-10】图3-24所示为二自由度平面关节型机器人（2R机器人），端点位置X、Y与关节的

27、关系为： （3-52）即 （3-53）将其微分得将其写出矩阵形式为： （3-54）令（3-55）于是（3-54）式可简写为式中：，称为图3-24所示2R机器人的速度雅克比，它反映了关节空间微小运动与手部作业空间微小位移的关系。若对式（3-55）进行运算，则图3-24所示2R机器人的雅克比可写为： (3-57)从中元素的组成可见，阵的值是关于的函数。推而广之，杜宇n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量表示，当关节为转动关节时 ；当关节为移动关节时，反映了空间的微笑运动。机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端的手爪的位姿X表示，它是关节变量的函数，并且是一个6维列矢量。反映了操作空间的微笑运动

28、，它是机器人末端微小线位移和微笑角位移（微笑转动）组成。因此，式（3-56）可写为 （3-58）式中，是6n维偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅克比。（2）机器人速度分析利用机器人速度雅克比矩阵对机器人进行速度分析。对式（3-58）左右两边各除以得： （3-59）或表示为 式中机器人末端在操作空间中的广义速度；机器人关节在关节空间中的关节速度；确定关节空间速度与操作速度之间的关系的雅克比矩阵。对于图3-24所示的2R机器人而言，是式（3-57）所示的22矩阵。若令分别为式（3-57）所示雅克比的第1列矢量和第2列矢量，则式（3-60）可写为式中，右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度

29、；右边第二项表示仅由第二个关节引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅克比的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。图3-24所示二自由度机器人手部的速度为假如已知的是时间的函数，即，则可求出该机器人手部在某一时刻的速度，即手部瞬时速度。反之，假如给定机器人手部速度，可由式（3-60）解出相应的关节速度为：【例3-11】如图3-25所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系轴正向以的速度移动，杆长。设在某瞬间，求相应瞬时的关节速度。解 由式（3-57）知，二自由度机械手速度雅可比为因此，逆雅可比为由式（3-61）可知，且，即，因此因此，在该瞬时两关节的位置

30、分别为；速度分别为；手部瞬时速度为。 机器人力雅克比矩阵静力计算机器人作业时与外界环境的接触会在机器人与环境之间引起相互作用力和力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力或力矩，通过连杆传递到末端操作器，克服外界作用力和力矩。各关节的驱动力或力矩与末端操作器施加的力（广义力包括力和力矩）之间的关系，是机器人操作臂力控制的基础。本节讨论操作臂在静力状态下力的平衡关系。假定各关节“锁住”，机器人称为一个结构。这种“锁定用”的关节力矩与手部所支持的载荷或受到的外界环境作用的力取得静力平衡。求解这种“锁定用”的关节力矩，或求解在已知驱动力矩作用下手部的输出力就是对机器人操作臂的静力计算。（1）机器人力雅克

31、比矩阵假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩与机器人手部端点力的关系可用下式描述 （3-63）式中广义关节力矩；机器人手部端点力机器人力雅克比矩阵或力雅克比，并且是机器人速度雅克比的转置矩阵。式（3-63）可用虚功原理证明。【例3-12】如图3-26所示，各个关节的虚位移组成机器人关节虚位移矢量；末端操作器的虚位移矢量为,由线虚位移矢量和角虚位移矢量组成。 （3-64） （3-65）设发生上述虚位移时，各关节力伟,(),环境作用在机器人手部端点上的力和力矩分别为和，由上述力和力矩所作的虚功可以由下式求出： （3-66）或写成 （3-67）根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要

32、条件是对任意的符合几何约束的虚位移有，又因代入得 （3-68）式中，表示几何上允许位移的关节独立变量，对任意的，欲使成立，必有，式中，与手部端点力和广义关节力矩之间的力传递有关，称为机器人力雅克比。机器人力雅克比正好是速度雅克比的转置矩阵。（2）机器人静力计算从操作臂手部端点力与广义关节力矩之间的关系可知，操作臂静力计算可分为两类问题：i. 已知外界环境对机器人手部的作用力，（即手部端点力），利用式（3-63）求相应满足静力条件的关节驱动力矩。ii. 已知关节驱动力矩，确定机器人手部对外界环境的作用力和负载的质量。第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为 （3-69）机器人的自由度不是6时

33、，例如6时，力雅克比矩阵就不是方阵，则就没有逆解。所以，对第二类问题的求解就困难的多，一般情况不一定能得到惟一的解。如果F的维数比的维数低，且满秩，则可利用最小二乘法求得F的估计值。【例3-13】图3-27所示为一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力，忽略摩擦，时的关节力矩。解由式（3-57），该机械手的速度雅克比为则该机械手的力雅克比为根据得：所以在某一瞬时，如图3-27所示，则与手部端点力相应的关节力矩为：，。机器人动力学分析机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化解的过程，最大限度地减少机器人动力学在线计算的时间，已是一个受到关注的研究课题。动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。机器人动力学问题有两