高等数学考研大总结之四导数与微分

1、精品文档第四章导数与微分第一讲导数一，导数的定义：1 函 数 在 某 一 点 x0 处 的 导 数 ： 设 yf x在 某 个 U x0 ,内有定义,如果极限fx0xfx0fx0xfx0limx称为函数 fx在 ( x0 , x0 +x )上的平均(其中xx0变化率 (或差商 )称此极限值为函数fx 在 x0处的变化率 )存在则称函数fx在 x0 点可导 .并称该极限值为fx 在 x0 点的导数记为f /x0, 若记xxx0 ,yfxf x0 则limfxfx0yf / x0xx0= limx=xx0x0解析：导数的实质是两个无穷小的比。即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大 ,则函

2、数在该点附近变化的速度越快。导数就是平均变化率(或差商 )的极限 ,常用记法 :f / x0, y/ xx0 ,dy xx0 。dx函数 fx 在某一点 x0 处的导数是研究函数fx在点 x0 处函数的性质。导数定义给出了求函数fx在点 x0 处的导数的具体方法,即：对于点 x0 处的自变量增量x ,求出函数的增量（差分）y =f x0xfx0求函数增量y 与自变量增量 x 之比y 求极限 limyfxx若存在 ,则极限值就是函数在点x0处的导数 若极限不x,x0存在 ,则称函数f x 在 x0 处不可导。在求极限的过程中,x0 是常数 ,x 是变量 , 求出的极限值一般依赖于x0导数是由极限

3、定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。注意 : 若函数 fx 在点 x0 处无定义 ,则函数在 x0 点处必无导数 ,但若函数在点x0 处有定义 ,则函数在点x0 处未必可导。2单侧 导 数 ： 设 函 数 fx 在 某 个x0, x0（ 或 x0 , x0） 有 定 义 ， 并 且 极 限.精品文档f x0xf x0f x0xf xlimx（或 limx）存在，则称其极限值为fx 在 x0 点x 0x0的左（右）导数，记为：f /

4、x00或 f / x0（或 f / x00 , f / x0 ）。左导数和右导数统称为单侧导数。函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。3 函数在某一区间上的导数：在a,b内可导：如果函数f x 在开区间a, b 内每一点都可导，则说f x在 a, b内可导（描述性） 。在 a,b 内可导：如果函数fx在 a,b 内可导且 f /a , f /b存在则说函数fx在 a, b 上可导。4 导函数：如果函数f x 在区间I上可导，则对于任意一个x I 都对应着唯一一个（极限的唯一性）确定的导数值f /x，这样就构成了一个新的函数，称为函数yf x 的导函数。记为： f /x或 d

5、y 或 dfx或 y / ，由此可知函数 fx 某一点 x0处的导数实质是在dxdx点 x0 处的导函数值。解析：（ 1）区别 f / x0与f x0/ ：f / x0 表示函数 f x 在点 x0 处的导函数值， 而 f x0 /表示对函数值f x0 这个常数求导，其结果为零。（ 2）与在某一区间可导的关系：在某一区间可导就是在该区间上存在导函数。5 可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。二，导数的几何意义：当y=,f/x表示曲线在x, y 点的切线的斜率，f/x的正和负分f x 表示一条曲线时 则别表示曲线在该点是上升还是下降. f / x的大小则表示曲线在该点的邻域内起伏的程度

6、,f / x越小说明曲线在该点的邻域内近似水平,反之 f / x 越大说明曲线在该点的邻域内越陡 ,起伏明显。解析：用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率。过曲线 y=fx上的点 (x0 , y0 ) 的方程 : 切线方程 y - y0 = f / x0 (x- x0 ).法线方程 : y - y0 =/1x x0( f / x0 0)fx0如果点 P(A,B) 在曲线 y= fx 外 ,那么过 P 点与曲线相切的切线有两条。.精品文档若 f /x0=说明函数fx的曲线在点x0处的切线与x轴垂直。若f / x0=0 则说明 fx 的曲线在点 x0处的切线与 x 轴平行

7、。三，导数的四则运算如果函数 uu x及 vv x都在点 x 具有导数 ,那么其和差积商( 除分母为零的点外)都在点 x 具有导数。 u x v x /u / x v / x u x v x /u /x v x u x v/xku x /ku /x u x/u /x v x u x v /xk/kv /x v xv x00v xv2xv xv 2x解析： 和差积可 推广为 有 限项即： u1 x u2 x/un xu1 x u2 xun xn/ u1 x u2 x un x /u1 x u2 x un xukxk1ukx四，几类函数的求导法则1 反函数的求导法则：如果函数xfy在区间 I y

8、内单调且f / y0 则它的反函数y= f 1x 在区间 I xx xfy , yI y内也可导，且 f1x1或 dy1即：/f /ydxdxdy是的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。解析： f /y0 且 xf y在点 y 处连续。反函数求导法则的几何意义：由于 f / x 是函数 f x 的曲线上点x 处的切线与 x 轴正向夹角的正切。而反函数xfy 与 y= f x 在同一坐标系中有相同的曲线，只不过反函数xf y 的自变量是y 所以导数f / y 就是 y= fx 曲线上 x 的对应点 y 处的同一条切线与y 轴正向夹角的正切，因此：f / y1即： tan1（，f / xtan

9、之和为）22 复合函数的求导法则（链式求导）：如果 ug x 在点 x 可导，而 y= f u 在点 ug x.精品文档可导，则复合函数 y fg x 在点 x 可导，且其导数为： dyf /u g /x 或 dydy du 。dxdxdu dx解析：复合函数整体在某点是否可导与u g x和 g x 在某点是否可导无关。逐层分解为简单函数在求导，不重，不漏。3 隐函数求导法则：对方程F x, y0 所确定的隐函数求导，要把方程F x, y0 的两边分别对 x 求导即可。在求导过程中应注意y 是 x 的函数，所以在对y 或 y 的函数求导时应理解为复合函数的求导。xt4 参数方程求导法则：由参数

10、方程t所确定的与的函数的导数为：ytf / x/t。t解析：注意理解y/dy/df/x/ t/ t/ t/ tdty x2dt/3。tdxdxdtdt5 对数求导法则：是求幂指数yfxx型导数的有效方法即：对函数y fx x 的两边同时取对数，然后根据对数的性质将作为指数的函数x 化为与 ln fx 相乘的一个因子，再利用上述方法求导。6 两个结论：可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数。可微分的偶函数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数。这个事实说明：凡对称于y 轴的图形其对称点的切线也关于y 轴对称。凡关于原点对称的图形，其对称点的切线互相平行。五，常见函数的一阶导

11、数 c/0 （为常数）xa /axa 1 ax /xx /xx /1ln a a ee log ax ln a ln x /1 sin x /cos x cos xx1 cot x /csc2 x secxsin 2x/21sin x tan xsec xcos2 x/secx tan x csc x /csc x cot x arcsin x arc cot x/1x2 arccos x /1 arctan x /111x 21 x 2/1 shx /chx chx /shx thx /sech2 x11x2ch2 x cthx /csch 2 x1（ 21） arcshx /1（ 22）

12、archx /1sh2 xx21x 21.精品文档/1（23） arcthx六，高阶导数1x2设 f /x是函数 f x在 I上的导数，并且 f / x也在 I 上可导，则称 fx在 I上二阶可导，并称f /x的导函数是fx在 I上二阶导数，记为：f /x或 f2x ，一般地，设fn 1xn2 是 fx在区间 I上的 n1 阶导函数并且fn 1x也在 I上可导则称fx在 I上阶可导，并称f n1x的导函数是 f x在区间I上的阶导函数记为：fnx 当函数由 yfx 给出时 fx的阶导数也可表示为：y n , d nny , fn x 。若在dxx0 点的阶导数常记为：fnx0, ynxd n

13、yd n fxxx0 。x0 ,n xx0 ,xdxdx解析：规定函数f x 的零阶导数为函数f x 的本身。该定义的给出具有数学归纳法的性质，因此在求某一函数的高阶导数时常用数学归纳法。 f x 的阶导数是由f x 的 n1 阶再一阶导而求得， 所以其具有逐阶刻画的性质。 高阶导数的常用求法： 莱布尼 茨 (Leibniz)公式：nnC nk u n kv k(u, va,buv上 的 阶 连 续 函 数 ） 其 展 开 式 为 ：k 0u n v C n1u n 1 v /C n2 u n 2 v/uv n。七，常见函数的高阶导数 C n0（为常数） x ana a1 a 2an 1 xa

14、n a xnln a nax a kxnk ln a n akx ekxnk n ekx exnexxn1n 1n 1 !nn 1 n 1 ! sin xnxn log aln ax n ln x1x nsin2sin kx nk n sinkxncos xncosxn22cos kxnk n cos kxn设yekx g x且y /aekx g xb则有2.精品文档y na n ekx g x nb 设 y ekx g x且 y /ke kx g x b c则 有y nk n ekx g x nb nc （ ， 用 同 一 函 数 的 思 想 求 ， ） nneaxsin bxa 2b 22

15、 eax sin bxcncnneaxcos bxa 2b22 eax cos bxc nc（其中sinba）a 2, cosa 2b 2b 2第二讲微分一，微分的定义设 fx 在 点 x0的 某 个 邻 域 U x0 ,中有定义如果存在常数 A 使fx0xf x0Axx ,x则称函数 fx 在 x0点可微，并称Ax 为fx 在点 x0处的微分，记为：dy xx0 , dfx xx0 ,dfx0其中称 A x 为函数增量y的线性主部。解析：给出了求函数值的改变量的近似计算方法（极限的无穷小判别法） ，简单地反映了函数增量与自变量增量的关系即：线性关系。这是一种局部线性逼近的思想。令函数 yx

16、则 dydx 这表明自变量的微分dx 就是它的增量x 。导数与微分的关系：函数f x 在点处可微的充要条件是函数在该点可导，并且有 dyf / x dx （一种常见求微分的方法） ，所以导数称为微商。 函数 f x 的微分是关于x 的线性函数， A x（其中 Af / x ）且函数 f x 的导数与x 无关。二，导数与微分几何意义的比较三，微分的四则运算法则设 u ux ,vv x 均可微分则有： d uvdu dv d uvudvvdud kukdu （ 为 常 数 ） d uvduudvvv 2d kkdv （为常数）vv2四，复合函数一阶微分形式的不变性设函数 yf u，u g x均可导

17、， 则复合函数 yf g x 的导数为 y/f / g xg / x.精品文档故其微分为：dyf / g x g / x dx 注意 f / g xf / u ， g / x dxdg xdu 因此上式为： dyf / u du ，无论是自变量还是中间变量都保持形式的不变性。解析：第一类积分换元法（凑微分）的理论基础。五，微分的近似计算及误差估计1 微分的近似计算：若函数yf x 在点 x0 处可微，则当xxx0很小时，可用微分dy近似代替增量y即：f xf x0f / x0 x x0f xf x0f / x0x x0 。解析：用微分进行近似计算的实质就是在微小局部将给定的函数线性化，将复杂函

18、数简单化，从几何意义角度看就是用曲线yfx在点 x0 , f x0处的切线来近似代替该曲线 （达到化曲为直的目的） 。另一种理解就是寻求其等价无穷小量。用函数微分 dyf /x dx 近似计算y 时要注意： dx 不一定是无穷小量但应比较小。 dx应是一个不依赖于的增量。一般利用微分解决四个方面的问题：计算函数增量y 的 近 似 值 即 ：ydyf /x dx 计算函数的近似值即：f xxfxf /x dx 求方程的近似解即： fax f af / ax 按照误差的精度要求进行近似计算。2 微分在误差估计中的实际应用：设某量的测量值为，精确值为 A 如果 Aa则正数称为测量的绝对误差。称为测量

19、的相对误差，而在实际应用中相对误差多用来计Aa算。解析：分清精确值与测量值。六，高阶微分由于对自变量x 来说 dx =x 与 x 无关，因此可微函数yfx 的微分 dyf /x dx 仍是x 的函数这样若dy 还可微，则把它的微分d dydf /x dxf /xdx 2叫做函数yf x 的二阶微分，并将d dy记作：d 2 y ，把 dx2记作： dx 2，于是二阶微分为d 2 yf / x dx2 由此可以更一般地若yf x 的 n1阶微分 d n1yf n1x dx n 1仍可微，则把它的微分： d n yfnx dx n 叫做 yfx的阶微分，这时称函数 yf x阶可微，二阶与二阶以上的

20、微分称为高阶微分。.精品文档解析：其描述过程具有数学归纳法的性质，所以求解高阶微分的一般方法为数学归纳法。高阶微分没有微分形式不变性。第三讲导数的应用一，函数的单调性：设函数yf x 在 a, b 上连续，在a, b 内可导如果在a,b 内f / x0 那么函数yf x 在 a, b 上单调增加如果在a, b 内 f / x0 那么函数y f x 在 a,b 上单调减少。解析：区间a, b 具有任意性，无论开闭还是有穷，无穷均可。若在a, b 内 f / x0 则严格单增，若在a,b 内 f / x0 则严格单减。在该定理中我们研究的是导函数值域的性质， 并不是某一点导函数值的性质， 而是区间

21、上任意点导函数值的性质。此定理为充要条件，所以结合定义域可求出某函数的单调增（减） 区间， 与此同时一定要针对函数的单调区间去谈函数的单调性。几何意义：由函数yf x 的导数 f / x 的正负来判断曲线的升降，进而判断其单调性。该定理具有逐层描述的特性，即：二阶导函数的正负决定一阶导函数的增减性，可推广到阶。二，函数的极值1 函数极值的定义：设函数yf x 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于其去心邻域内的任一有f xf x0 （ f xf x0 ）则称 f x0 是函数 yf x 的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为极值点。解析：在研究函数

22、在点x0 处的极值时，一般要求函数是连续函数即：应考察函数在点x0及其附近是否有定义。极值是一个局部性定义，它只与一点及其附近的函数值有关，而与整个定义域或定义域内某个区间上的一切函数值无关，因此对于同一个函数来说在一点的极大值也可能小于另一点的极小值。在一个区间内可能取得多个极值。（极值与最值的区别）极值点处函数曲线的切线平行于轴，即：导数为0，但导数为0 的点（或称稳定点，临界点，驻点）不一定是极值点。换句话说，费马(Fermat)引理只是可导函数极值的必要条件。函数极值与方程根的个数有一定的关系。2 常用两种极值的判别法（两个充分条件）：第一判别法：设函数f x 在 x0 连续在U 0

23、x0 ,上可导若当xx0, x0 时 f / x0 ，当 xx0 , x0时 f / x0 则f x在 x 0 取 得 极 大 值 若 当 xx0, x0时f / x0 ， 当 xx0 , x0时.精品文档f / x0 则 f x 在 x 0 取得极小值。解析：反映了单调性与极值的关系。按此法求极值的步骤：确定函数f x 的定义域。求函数f x 的导数 f / x 。令 f / x0 求出函数f x 的所有驻点和不可导点。检查f / x 在各驻点附近左右的值的符号， 如果左正右负则f x 在这个驻点取得极大值，如果左负右正则f x 在这个驻点取得极小值，如果左右同号，那么函数f x 在这个驻点

24、不取得极值。求出函数在所有极值点的函数值就得到函数f x 的各极值。第二判别法：设函数f x 在 x 0 处具有二阶导数且f / x00, f / x00 那么当f / x00 时函数f x 在 x 0 处取得极大值当f / x00 时函数f x 在 x0 处取得极小值。解析：其与函数的凸凹性是统一的。有时多用第一，二判别法综合起来使用。按此法求极值的步骤： 确定函数f x 的定义域且函数f x 在定义域内有二阶导数求函数f x 的一阶导数和二阶导数令f / x0 求出函数f x 的所有驻点和不可导点计算各驻点（有不可导点时用列表法）的二阶导数值， 若二阶导数值为正则函数在该点取得极小值， 若

25、二阶导数值为负则函数在该点取得极大值。若二阶导数值为0 则此法失效。求出函数在所有极值点的函数值就得到函数f x 的各极值。 定 理 推 广 ： 若 函 数f x在U x0 ,上 至 少 存 在n2 阶 导 数 且f / x0f / x0f n 1 x00 而 f nx00 则为奇数则函数f x 在 x 0 不取得极值。 为偶数f nx00 则函数f x 在 x0 取得极大值； 为偶数f nx00 则f x 在 x0 取得极小值。解析：上述等式可用高阶泰勒(Taylor) 公式证明。三，函数的最值1 函数的最值与极值的区别与联系：从研究范围看函数的极值是局部性的，它只与某一点及其附近的函数值有

26、关，因此对于整个区间来说可能存在多个极值而函数的最值则不然，它与闭区间a, b 上的任意一点的函数值有关是对整个区间来说的，因此是唯一的。最值与极值没有必然的联系即：如果在区间a,b 内部取得函数的最值，它不一定是极值。同理取.精品文档得函数的极值， 它不一定是最值。并且最大值不一定比极小值大。求函数在某点的极值时仅把该点的函数值与该点附近的左右函数值相比较，而求函数在闭区间a, b 上的最值时，需要与开区间a, b 内的所有函数值比较并且还要与端点处的函数值比较。2 求闭区间a, b 上函数最值的步骤：求函数f x 的导数 f / x 。令 f / x0 求出函数 f x 在开区间a, b

27、内的所有驻点和不可导点。求出开区间a,b 内的所有可能的极值（包括驻点和不可导点处的值）和区间端点的函数值f a , f b 。比较上述所有函数值，选出最大者为函数f x 在 a,b 上的最大值，最小者为函数f x 在 a, b 上的最小值。3 最值在实际问题（最优化问题）中的应用：分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，即：列出函数关系式yf x 。确定和的变化范围，并求出变化范围内的各驻点及不可导点。 求出变化范围的端点函数值。 比较函数各驻点及不可导点处的函数值和端点函数值，根据实际意义确定函数的最值。在实际问题中由f / x0 常常仅解到一个驻点，若能判断函数的最值，在

28、的变化区间内部得到驻点处的函数值就是所求的最值。四，函数的凸凹性与拐点1 函数的凸凹性：设函数f x在区间上有定义，如果对任意的x1 , x2I 且 x1x2 及任意实数0,1 总有 fx11x2fx11fx2则称函数 f x是 I 上的下凸函数，简称凸函数。若总有fx11x2f x11f x2则称函数fx 是 I上的下凹函数，简称凹函数。若不等式是严格不等式则称函数fx 在 I 上是严格凸函数或凹函数。解析：凸凹性是相对方向性定义，随所选方向的不同而不同。实际上， 在研究凸凹性时就是在相同的横坐标下，曲线上相异两点连线的纵坐标与相应曲线纵坐标的比较。为了研究的方便常取1fx在区间，这时其定义

29、为：设函数2上有定义，如果对任意的x1 , x2 I 且 x1x2 ，若有 fx1x2f x1fx2为该区22间上的下凸函数；若有fx1x2f x1fx2为该区间上的下凹函数。22 琴 生 (Jensen)不等式：设函数f x是区间上的下凸函数，则对于任意的.精品文档x1 , x2, x3 xnI 有不等式 fx1 x2xnf x1f x2f xn成立，反之若nn函 数 f x是区间上的下凹函数，那么有不等式fx1x2xnf x1f x2f xn对于上述两式当且仅当x1x2xnnn时取等号。解析：此不等式是一些重要不等式的基础例如：三角形不等式：n1n1n12222N *xi2yi2xi yi

30、（ i）幂平均不等式：i1i 1i 11nr1n1 ； 1nr1 nakakr rakakr 1r调和，几何，算术平均值不n k 1n k 1n k 1n k 1等式：nnai1nai aiR柯西 (Cauchy) 不 等 式：n1nn i 1i 1i1ainn2xi2 yi2xi yixi , yi 0i 1i1凸，凹函数的几何解释：严格下凸函数的图象在任意一点处切线的上方，严格下凹函数的图象在任意一点处切线的下方。2 函数凸凹性的判断：设函数yfx在 a,b 上连续，在 a, b内具有一阶和二阶导数，那么若在a,b 内 f /x0 则 fx在 a,b上的图形是严格下凸的。若在a,b内f /

31、x0 则 f x在 a, b上的图形是严格下凹的。解析： 由于二阶导数可以用来刻画一阶导数的性质，故得到两点结论： f x在 a,b 上连续在a,b内可导，若有对于任意的 x0a, b使得 有：fxf x0f /x0xx0ax0b成立则称fx 为 a, b 上的下凸函数，若有对于任意的 x0a,b 使得有： fxfx0f /x0xx0 ax0 b成立则称 f x为a, b 上的下凹函数。反映了过曲线上任意一点切线斜率的变化趋势。3 拐点：使连续曲线 yf x 在经过点 x0 , f x0时其凸凹性发生改变的点x0 , f x0 称为曲线的拐点。.精品文档解析：拐点的性质：若函数f x 在 U

32、x0 ,上存在二阶导数且点x0 , f x0是函数yf x 的拐点那么f / x00 。求函数拐点的步骤： 求 f / x 令 f / x0解出这个方程在区间内的实根并求出在区间内二阶导数不存在的点判断符号：对中所求的的每一个实根或二阶不可导的点，根据f / x 进行左右邻近两侧的符号判断若两侧异号则是拐点，同号则不是拐点。五，函数凸凹性（拐点）与单调性（极值）的比较对于连续函数我们通常用一阶导数确定单调性，而用二阶导数来确定凸凹性。根据一阶导数在某点邻近两侧单调性的不同从而确定其点为极值点， 而根据二阶导数在某点邻近两侧凸凹性的不同从而确定其点为拐点。 但二者统一于二阶导数， 当二阶导数大于

33、 0 时函数是下凸函数取得极小值；当二阶导数小于0 时函数是下凹函数取得极大值。（如果存在极值的话）六，曲线的渐近线1定义： 设曲线 f x 上的动点 P 沿曲线无限的远离原点时，点 P 与某一直线 L 之间的距离趋于 0，则称直线 L 是曲线 f x 的渐近线。（体现了数学的辩证法思想）lim fxx0 , xx0 ）则 xx0 是曲线2分类：垂（铅）直渐近线：若（或当 xxx0f x 的垂（铅）直渐近线。解析：确定x0 点是关键，一般采用罗比塔(L Hospital)法则或求其反函数且当x解出，即为x0 。水平渐近线：若lim f xb 则 y b 就是曲线 fx 的水平渐近线。xfx 斜

34、 渐 近 线 ： 设 曲 线 f x有 斜 渐 近 线 y kxb 那 么 = limx ， x= lim f xkxx解析：判断一个函数的渐近线时一般采取水平，垂直，斜渐近线的顺序依次验证。七，函数图象的描绘确定函数的定义域。讨论函数的奇偶性，周期性。确定函数的某些特殊点（如与坐标轴的交点）。确定函数的单调区间，极值点，凸凹区间及拐点。求出渐近线（也可能不存在）列表综合上述各情况描绘函数图象。.精品文档八，弧微分与曲率1 弧微分：在L 上取定一点A ，作为度量弧长的基点，并规定x 增大的方向为L 的正向，设 M x, y 为 L 上任意一点，并规定有向弧段AM 的长为，则是的横坐标x 的函数，即： SS x 而且 S x 是