线性代数第二章矩阵第四节

1、矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的等价和矩阵的标准形矩阵的等价和矩阵的标准形用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵第四节 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换（1） 对调两行（对调对调两行（对调i,j两行，记作两行，记作)jirr （2） 以不为零的数以不为零的数 k 乘某一行的所有元素乘某一行的所有元素 (第第 i行乘数行乘数 k , 记作记作）kri一、矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵1、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换（3） 把某一行的所有元素的把某一行的所有元素的 k 倍加到另一行对倍加到另一行对 应的元素上去

2、应的元素上去 （第（第i行的行的 k 倍加到第倍加到第j 行上去行上去,记作记作)ijkrr 定义定义2.11 1. 把定义中的行换成列，即得矩阵的把定义中的行换成列，即得矩阵的初等列初等列 变换的定义。变换的定义。2. 我们把矩阵的初等行变换和初等列变换，我们把矩阵的初等行变换和初等列变换， 统称为矩阵的统称为矩阵的初等变换初等变换。注意注意： 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是与之三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是与之 相应的同相应的同 一类型的初等变换一类型的初等变换,即即 jirr 的逆变换就是本身的逆变换就是本身kri 的逆变换是的逆变换是)1(kri ijkrr 的逆变换是的逆

3、变换是ijrkr)(jijiErrjiI,)(,.，得得初初等等矩矩阵阵两两行行中中第第对对调调11101111011jiE,行行第第i行行第第 j 单位矩阵单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩经过一次初等变换得到的矩 阵称为阵称为初等矩阵初等矩阵，它们是：，它们是： 2、初等矩阵、初等矩阵定义定义2.12 ).()(kEkriIkii初初等等矩矩阵阵，得得行行的的第第乘乘单单位位矩矩阵阵以以数数 0 2. 1111)(kkEi行行第第i).()(kEkciIkii初初等等矩矩阵阵，得得列列的的第第乘乘单单位位矩矩阵阵以以数数或或 0 )(),(,kEkrrjiIkjiij得得初初等等矩矩阵阵

4、行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘单单位位矩矩阵阵以以 3.1111kkEji)(,行行第第i行行第第j)()(,kEkccijIkjiji初初等等矩矩阵阵得得列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以 用初等矩阵用初等矩阵右乘右乘给定矩阵，其结果就是对给定给定矩阵，其结果就是对给定矩阵施行相应的初等矩阵施行相应的初等列列变换。变换。 用初等矩阵用初等矩阵左乘左乘给定的矩阵，其结果就是对给给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵施以相应的初等定的矩阵施以相应的初等行行变换。变换。3、初等矩阵与初等、初等矩阵与初等 变换变换 之间的关系之间的关系由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵由初等矩阵的定义可

5、以看出，初等矩阵都是可逆的，且：都是可逆的，且：注意注意：)()(kEkEii11jijiEE,1, )()(,kEkEjiji1，得得左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用nmijjiaAEm)(,mnmminiijnjjnjiaaaaaaaaaaaaAE21212111211,行行第第i行行第第 j).( jirrjiAA行行对对调调行行与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AEnji,mnmimjmnijnijjiaaaaaaaaaaaaAE12222111111,).( jiccjiAA列

6、列对对调调列列与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)(kriAki mnmminiiniaaakakakaaaaAkE212111211)(行行第第i类类似似地地，左左乘乘矩矩阵阵以以AkEi)( ).()(kciAkAkEii 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以，左左乘乘矩矩阵阵以以，AkEji)(mnmminjnijijiniinjiaaakaakaakaaaaaaaaAkE2122112111211)(,).(ijkrrjkiA行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第

7、相相当当于于把把 ).()(,jijikccikjAAkE列列上上加加到到第第列列乘乘的的第第把把，其其结结果果相相当当于于右右乘乘矩矩阵阵类类似似地地，以以 3431323324212223141112133433323124232221141312113, 11000000100100100aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAE 31343332312423222114131211ccaaaaaaaaaaaaA 343132332421222314111213aaaaaaaaaaaa例如例如 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA若若如果矩

8、阵如果矩阵A 经过有限次初等变换变成经过有限次初等变换变成BA 容易验证等价关系满足：容易验证等价关系满足：（1） 反身性：对任意矩阵反身性：对任意矩阵 A，AA （2） 对称性：对称性：ABBA，则则若若（3） 传递性：传递性：CACBBA则则，若若二、矩阵的等价和矩阵的标准形矩阵的等价和矩阵的标准形1、等价矩阵、等价矩阵定义定义2.13 矩阵矩阵B，则称矩阵，则称矩阵A与矩阵与矩阵B等价，记作等价，记作 oooIr的矩阵称为矩阵的矩阵称为矩阵A的标准形。的标准形。（主对角线上（主对角线上1的个数可以是的个数可以是0） 00000000010000100001第第r 行行即即2、矩阵、矩阵A

9、 的标准形的标准形形如形如定理定理 任意一个任意一个nm矩阵矩阵A都和一标准形都和一标准形 oooIr等价。等价。的矩阵的矩阵 证证 若若A=O，则结论成立（因，则结论成立（因A已是标准形）已是标准形）,0ijaOA，设设假假若若将第将第i行和第一行互换，第行和第一行互换，第j列和第一列互换，使列和第一列互换，使不为不为0的元素换到左上角的位置，因此不妨设的元素换到左上角的位置，因此不妨设011a011a利利用用元素都化为元素都化为0，再，再11a把把化为化为1，即，即 11AOOA1111AnmA矩阵，对矩阵，对为为其中其中)()(重复上述过程，最终得到重复上述过程，最终得到 OOOIAr通

10、过初等变换先把第一行和第一列的其它通过初等变换先把第一行和第一列的其它例例2.19 设设 321020310121,101202102411BA问：矩阵问：矩阵A和和B是否等价？是否等价？ 解解 先求先求 A、B的标准形的标准形 38320210000110120210241114131224ccccccA 38300210000123rr 320002100001233rr 0100001000013200001000013432323)21(2ccrcc 321021100121321020310121B对对B施行一系列初等变换得施行一系列初等变换得 321021100001 010000

11、100001130000100001 130021100001BAOIBOIA，所所以以33由上述定理可得如下推论由上述定理可得如下推论 推论推论1 对任意矩阵对任意矩阵nmijaA)(存在一系列存在一系列m阶初等阶初等SPPP、矩矩阵阵21和和n阶初等矩阵阶初等矩阵tQQQ、21使得使得OOOIQQQAQPPPPrttss121121,121PPPPPsstQQQQ21则则 P、Q是可逆的，于是有是可逆的，于是有:在推论在推论1中令中令:推论推论2 对任意矩阵对任意矩阵 存在存在m阶可逆阵阶可逆阵PnmijaA)(和和n阶可逆阵阶可逆阵Q，使得，使得)(1OOOIPAQrnrOOOIPAQr

12、0推论推论3 设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则A可逆可逆 IA 特别地特别地,由由可知可知:推论推论4 设设A为为n阶方阵，则阶方阵，则A可逆可逆A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。可以表示成有限个初等矩阵的乘积。事实上事实上,由推论由推论3 知知 A 可逆可逆存在初等矩阵存在初等矩阵SPPP、21tQQQ、和和21IQQQAQPPPPttss121121使得使得1112111211QQQPPPAts于于是是，有有时时，由由当当lPPPAA21 0 ,11111IAPPPll ,111111 AIPPPll 及及 IPPPAPPPllll1111111111 1 AI IAPPPll11111

13、.)(21 AIIAIAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对 三三、用初等变换求逆矩阵用初等变换求逆矩阵 100011010012001111IA解解 12330001221001110122321)1(2rrrrr 10112001221000111113122rrrr 011012111A设设例例2.201 A求求 3132132310313101A所以所以 A 可逆，且可逆，且 31321100323100103131000133231)31(3231rrrrr011411210A设例例2.21试判断试判断A是否可逆，若可逆求是

14、否可逆，若可逆求1A 0104200012100104111000110104110012102123rrrrIA解解 11200000121001120123212rrrr从而知，从而知，A不可逆。不可逆。 IA（1）判断矩阵）判断矩阵A是否可逆，可直接对是否可逆，可直接对 作初等作初等行行变换，若变换过程中，与变换，若变换过程中，与A等价的矩阵中有等价的矩阵中有一行为一行为0，就能判断，就能判断A不与不与I 等价，从而知等价，从而知A不可逆。不可逆。注意注意：（2）若作）若作nn2阶分块矩阵阶分块矩阵IA只对分块矩阵只对分块矩阵 IA单位矩阵时，单位矩阵时，作初等作初等列列变换，当可逆矩阵

15、变换，当可逆矩阵A化为化为子块子块 I 就化成了就化成了1A . 1BA 矩矩阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵I)()(BAIBAA11 )(BABA1 即即初等行变换初等行变换.1 CAY即即可可得得 , 1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,1CA CAI列变换列变换例如例如.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321122rr 133rr 3110091520

16、41201 31100640202300121rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001）（22 r）（13 r.313223 XIAm例例2.22 设设A为为n 阶方阵，满足阶方阵，满足其中其中m为正整数，为正整数，I为为n阶单位矩阵，今将阶单位矩阵，今将A中的中的2nija0AIAm0个元素个元素用其代数余子式代替，得到的矩阵用其代数余子式代替，得到的矩阵记为记为证明：证明：IAm1mA0 A则则证证 由已知由已知所以所以所以所以A可逆。可逆。110)()()( TTTAAAAAA IIAAAAATTmmmTm 111.0)(1)()(矩阵的初等变换矩阵的初等变换jirr 初等矩阵初等矩阵kri jikrr jiE,)(kEi)(,kEji矩阵的标准形矩阵的标准形 oooIr小小 结结求逆矩阵方法求逆矩阵方法 AAA11用公式用公式用初等行（列）变换。用初等行（列）变换。用定义用定义AB=E，或，或BA=E 333231232221131211aaaaaaaaaA 101010001)1(,1000010103, 12, 1EE设设BAEEBAEEBEAEBEAE 21313121213131211111，）（；）（）（；）（则则上述四个等式中哪个成立？上述四个等式中哪个成立？ 13331232113113121