第七章 机械波习题

1、教学基本要求教学基本要求基本概念基本概念例题分析例题分析第七章第七章 机械波机械波一、教学基本要求一、教学基本要求:第七章第七章 机械波机械波 理解机械波产生的条件；掌握由已知点的振动方程求平面简谐波函数的方法及其物理意义。理解波形曲线、理解波的能量传播的特征、能流及能流密度概念。 了解惠更斯原理和波的叠加原理；理解波的相干条件，能应用相差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。 了解驻波及其形成条件，了解驻波和行波的区别。 2波长波长：同一时刻同一波线上相差为 的两质点间的 距离，用 表示。 二、基本概念二、基本概念波长波动周期波速平面简谐波函数波动的能量波的叠加波的干涉驻波波动

2、周期（频率）波动周期（频率）：一个完整波通过波线上某点所需的时间，用T表示；单位时间内通过波线上某点完整波的数目称为频率，用 表示。波速波速：振动状态在媒质中传播的速度，用 表示。理想媒质中的波速仅由媒质的力学性质决定。u波长、波速、周期的关系波长、波速、周期的关系：Tu平面简谐波函数平面简谐波函数 沿 轴正向传播波函数 沿 轴负向传播波函数 （ 为坐标原点的振动初相）波函数的物理意义：波函数的物理意义：描述了平衡位置在 处的质元在任意时刻 相对其平衡 位置的位移。tx002cos()yAtx02cos()yAtxxx波动的能量波动的能量：波的传播伴随着能量的传播。有波传播时，媒质中任意质元的

3、动能和势能在任意时刻相等，且作“同相”变化，即动能与势能同时达到最大，同时减小为零。suAp2221ps 平均能流平均能流：单位时间内通过垂直于传播方向上某一面积 的能量，用 表示。uAI2221I 平均能流密度（波的强度）平均能流密度（波的强度）：单位时间内通过垂直于传播方向上单位面积能量，用 表示。 惠更斯原理惠更斯原理：媒质中波阵面上各点都可以看作是发射子波的波源，任意时刻这些子波的包迹构成新的波阵面。 波的叠加原理波的叠加原理：几列波可以保持各自的特性通过同一媒质，在它们相遇的区域内，各质元的振动是各波单独存在时在该点产生的振动合成。 波的干涉波的干涉 相干条件相干条件：频率相同、振动

4、方向相同、相差恒定干涉时两质元参与两列波的运动，是两振动的合成；合振动的振幅为干涉讨论 时，合振幅 干涉相长（干涉加强） 时，合振幅 干涉相消（干涉减弱）cos2212221AAAAA合振动的振幅为 其中2010212()()rr21AAA) 12(k21AAAk2)2cos(1xtAy)2cos(2xtAytxAycos2cos2驻波驻波: :两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传 播叠加时形成驻波。设两列波和叠加后形成驻波波腹波腹：振幅最大的各点。相邻的波腹之间的距离为半个波长。波节波节：振幅最小的各点。相邻的波节之间的距离为半个波长。 相邻两波节之间的各质元称为一段，它们振动同相；

5、相邻的两段振动反相。半波损失半波损失：波从波疏媒质（ 较小）入射到波密媒质 （ 较大）表面反射时， 反射波的相有 的突变，称为半波损失。uu例例 题题 1 11、一平面简谐波的波函数为、一平面简谐波的波函数为 （SI），），t=0的波形曲线如图所示，则的波形曲线如图所示，则 。)3cos(1 . 0 xty（A）o点的振幅为点的振幅为-0.01m（B）波长为）波长为3m（C）a，b两点的相差为两点的相差为（D）波速为）波速为9m/s212、频率为、频率为100Hz，传播速度为，传播速度为300m/s的平面简谐波，的平面简谐波，波线上两点振动的相差为波线上两点振动的相差为 ，则此两点相距，则此两

6、点相距 m。3Tu解解: : m30.52xm :2:x 例例 题题 2 23、一横波的波函数为、一横波的波函数为 （SI），），此横波的波长为此横波的波长为 ，波速为，波速为 ，媒质质元的最大，媒质质元的最大速度值为速度值为 ，媒质质元的最大加速度为，媒质质元的最大加速度为 。)2 . 001. 0(2cos2 . 0 xty解解: :已知已知 msT2 . 0,01. 020(/ )um sTmax40(/ )vAm s222max8000(/)aAm s例例 题题 3 3解解 bT2c2cbTu4、已知平面简谐波的波函数为、已知平面简谐波的波函数为 式中式中A, b, c,0均为常量，则

7、平面简谐波的波速为均为常量，则平面简谐波的波速为 。0cos() ,yAbtcx例例 题题 4 45、横波以波速、横波以波速u沿沿x轴负方向传播，轴负方向传播，t时刻的波形如图时刻的波形如图所示，则该时刻所示，则该时刻 。（A）A点振动速度大于零点振动速度大于零（B）B点静止不动点静止不动（C）C点向下运动点向下运动（D）D点振动速度小于零点振动速度小于零)(my0)(mxDABCu例例 题题 5 5（A）0 （B）（C） （D）226、一平面简谐波，沿、一平面简谐波，沿x轴正向传播，轴正向传播，x=0处质点的振动处质点的振动曲线如图所示，若波函数用余弦表示，则原点的初相曲线如图所示，若波函数

8、用余弦表示，则原点的初相为为 )(my0)(stA12例例 题题 6 67、振幅为、振幅为A的平面简谐波在媒质中传播，一媒质质元的的平面简谐波在媒质中传播，一媒质质元的最大形变发生在最大形变发生在 （A）媒质质元离开其平衡位置的最大位移处；）媒质质元离开其平衡位置的最大位移处；（B）媒质质元离开其平衡位置的）媒质质元离开其平衡位置的 处；处；（C）媒质质元的平衡位置处；）媒质质元的平衡位置处；（D）媒质质元离开其平衡位置的）媒质质元离开其平衡位置的 处。处。A22A21例例 题题 7 78、一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒、一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处

9、于平衡位置，此时它的能量是质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是 （A）动能为零，势能最大；）动能为零，势能最大；（B）动能为零，势能为零；）动能为零，势能为零；（C）动能最大，势能最大；）动能最大，势能最大；（D）动能最大，势能为零。）动能最大，势能为零。例例 题题 8 89、波的相干条件为、波的相干条件为 、 及及 。频率相同频率相同振动方向相同振动方向相同相差恒定相差恒定例例 题题 1010、惠更斯原理指出，媒质中波阵面上的各点都可以、惠更斯原理指出，媒质中波阵面上的各点都可以看作发射看作发射 的波源，其后任一时刻这些子波的的波源，其后任一时刻这些子波的包迹构成新的波阵面。包迹构成新的

10、波阵面。子波子波例例 题题 9 911、两相干光源、两相干光源S1，S2的振动表达式分别为的振动表达式分别为 和和 ；S1距距P点点3个个波长，波长，S2距距P点点 个波长，则两波源在个波长，则两波源在P点引起合振动点引起合振动的振幅为的振幅为 。421tAycos1)2cos(2tAy解解2010212()()rrAAAAAA2cos2212221221(3 )424 例例 题题 111112、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿x轴正向传播，波速轴正向传播，波速u=160m/s，在，在t=0时刻的波形图如图所示。求时刻的波形图如图所示。求(1)原点的振动方程；原点的振动方程；(2)该波的波动方程

11、。该波的波动方程。(3)该波若沿该波若沿x轴负向传播的初相轴负向传播的初相)(cmy0)(mx0 . 1555 . 0u例例 题题 1212解解:(1)3202,1601,0 . 1TsTm当当t=0时，时，y=A,由旋转矢量法可知由旋转矢量法可知00原点的振动方程为原点的振动方程为0cos()0.05cos(320 )yAt(2)波函数为波函数为02cos()0.05cos(3202)yAtxx(3)初相为初相为0 0)(cmy0)(mx0 . 1555 . 0u13、一平面简谐波在介质中以速度、一平面简谐波在介质中以速度u=20m/s沿沿x轴负向轴负向传播，已知传播，已知a点的振动表达式为

12、点的振动表达式为 。（。（1）以以a点为坐标原点写出波动表达式；（点为坐标原点写出波动表达式；（2）以距）以距a点点5m处处的的b点为坐标原点写出波动表达式。点为坐标原点写出波动表达式。tya4cos3xm5bua解：（解：（1）以）以a点为坐标原点波动表达式为点为坐标原点波动表达式为)54cos(3xty例例 题题 1313所以，以所以，以b点为坐标原点波动表达式为点为坐标原点波动表达式为3cos(4)5ytx（2）如图所示，可知）如图所示，可知a、b两质点的相位差为两质点的相位差为2()babaxx 则，则，b点的振动相位比点的振动相位比a点落后点落后xm5bua14、一列沿、一列沿x轴正

13、向传播的简谐波，已知轴正向传播的简谐波，已知t=0（红色曲（红色曲线）和线）和t=0.25s （黑色曲线）时的波形如图所示，试求（黑色曲线）时的波形如图所示，试求（1）P点的振动方程；点的振动方程；（2）此波的波动方程；）此波的波动方程；（3）画出）画出O点的振动曲线。点的振动曲线。例例 题题 1414解：振幅为解：振幅为A=0.2m根据相距为根据相距为0.45m的两质点的位相差为的两质点的位相差为23232x 根据波形曲线平移根据波形曲线平移 距离的时间间隔为距离的时间间隔为0.25s，40.6m可得波长为可得波长为:Txt 可得振动周期和角频率为可得振动周期和角频率为（1）由）由 时，时，

14、 由旋转矢量法可知，由旋转矢量法可知，这时刻质点这时刻质点P的初相位为的初相位为0, 0ppvy20t所以，所以，P点的振动表达式为点的振动表达式为)22cos(2 . 0typ1tTsx22T（2）由）由 时，时， 由旋转矢量法可知，由旋转矢量法可知，这时刻质点这时刻质点O的相位为的相位为0, 0oovy20tO点的振动表达式为点的振动表达式为0.2cos(2)2oyt)23102cos(2 . 0 xtyo波动表达式为波动表达式为（3）画出）画出O点的振动曲线点的振动曲线15、一平面波在介质中以速度、一平面波在介质中以速度u=20m/s沿沿x轴负方向传播，轴负方向传播，已知已知a点点t=0

15、时的振动曲线如图所示，写出以时的振动曲线如图所示，写出以a点为坐标点为坐标原点的波动表达式。原点的波动表达式。)(mya)(st3375. 0例例 题题 1515)(mya)(st3375. 0解：如图所示解：如图所示42,5 . 0,3TsTmAmuT10以以a为坐标原点为坐标原点的波动表达式为的波动表达式为3cos(4)5ytx当当t=0时，时，y0=A,由旋转矢量法可知由旋转矢量法可知0016、已知一沿、已知一沿x轴正向传播的平面简谐波在轴正向传播的平面简谐波在 时的时的波形如图所示，且周期波形如图所示，且周期T=2s。（。（1）写出）写出O点和点和P点的振点的振动表达式；（动表达式；（

16、2）写出该波的波动表达式。）写出该波的波动表达式。st31)(cmy)(cmx20Pu510O例例 题题 1616解：由波形曲线可得解：由波形曲线可得0.1 ,0.4Amm（1）设波动表达式为设波动表达式为02cos()yAtx0,231ottovAy根据题意，根据题意， 时，时， st3120.2/ ,/um srad sTT由此可得，质点由此可得，质点O的振动初相为的振动初相为03即即00233ott根据题意，根据题意， 时，时， 由旋转矢由旋转矢量量法可知，这时刻质点法可知，这时刻质点O的相位为的相位为0,231ottovAy32st31将将x=0， 代入波动表达式，得代入波动表达式，得

17、O点的振动方程为点的振动方程为)3cos(1 . 0tyo3同样，由同样，由 时，时， 由旋转矢量法可知，由旋转矢量法可知，这时刻质点这时刻质点P的相位为的相位为130,0ppttyv2st31即即232 . 032pptxxt由此可得，由此可得，mxp233. 0将将x=0.233m， 代入波动表达式，代入波动表达式，3（2）波动表达式为）波动表达式为)35cos(1 .0 xty50.1cos()6pytP P点的振动方程为点的振动方程为17、一平面简谐波沿、一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅轴正向传播，振幅A=0.1m，频率，频率 ，当，当t=1.0s时，时，x=0.1m处的质点处的质点a

18、的振动状态的振动状态为为 ，而，而 ；此时；此时x=20cm处的质点处的质点b的振动状态为的振动状态为 ， 。a、b两质点的间距小两质点的间距小于一个波长。求波的表达式。于一个波长。求波的表达式。Hz100ay0by0)(aadtdyv0bv解：设波的表达式为解：设波的表达式为02cos(2)yAtx例例 题题 1717020.1cos(20)tx将将x=0.1m代入波的表达式，得质点代入波的表达式，得质点a的振动方程为的振动方程为00.20.1cos(20)ayt根据题意，根据题意，t=1.0s时，时， 由旋转矢量由旋转矢量法可知，这时刻质点法可知，这时刻质点a的相位为的相位为0)(, 0a

19、aadtdyvy2a即即00.2200.12a0022cos(2)0.1cos(20)yAtxtx将将x=0.2m代入波的表达式，得质点代入波的表达式，得质点b的振动方程为的振动方程为00.40.1cos(20)byt根据题意，根据题意，t=1.0s时，时， 由旋转矢量法由旋转矢量法可知，这时刻质点可知，这时刻质点b的相位为的相位为0,0 . 5bbvcmy3b即即00.4200.13b 根据波的表达式，可得根据波的表达式，可得a、b两质点的相位差为两质点的相位差为6523)(2ababxx 解得解得m24. 0坐标原点处质点振动的初相为坐标原点处质点振动的初相为023 所以波的表达式为所以波

20、的表达式为)3232520cos(1 . 0 xty18、已知一沿、已知一沿x轴负向传播的平面简谐波在轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波时的波形如图所示，且波速形如图所示，且波速u=0.5m/s。求该波的波动表达式。求该波的波动表达式。)(my0)(mx5 . 012解：从波形图可得波的振幅为解：从波形图可得波的振幅为A=0.5mm2则则sradTsuT/22,4设波动表达式为设波动表达式为002cos()0.5 cos()2yAtxytx例例 题题 1818)(my0)(mx5 . 012根据题意，根据题意， 时，时， 由旋转矢由旋转矢量量法可知，这时刻质点法可知，这时刻质点O的相位为的相位为0, 0ototvy23st2即即003222ott由此可得，质点由此可得，质点O的振动初相为的振动初相为02此波动表达式为此波动表达式为)22cos(5 .0 xty19、已知一沿、已知一沿x轴正向传播的平面简谐波的波速轴正