《高等代数》第一章多项式讲稿

1、高等代数第一章多项式讲稿本章教学目的及要求：1理解和掌握数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约多项式，本原多项式，重因式，重根等概念；2掌握多项式的运算性质，带余除法，辗转相除法，会求最大公因式，会将对称多项式化为初等对称多项式的多项式；3掌握多项式的重因式和重根的判别；4理解因式分解及唯一性定理及其应用；实系数多项式因式分解定理，复系数多项式因式分解定理。5掌握有理系数多项式因式分解与整系数多项式因式分解的关系，掌握整系数多项式有理根的性质，会用艾森斯坦（Eisenstein）判别法判别整系数多项式的不可约性。本章基本教学内容：§1 数域本节的教学目的及要求1理解数域的定义；

2、2会用定义证明给定数集是否是数域。本节基本教学内容1数域的基本概念数是数学的一个最基本的概念。我们的讨论就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，大体上看，是自然数到整数、有理数、然后是实数、再到复数。这个过程反映了人们对客观世界认识的不断深入。按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所考虑的数的范围。譬如说，在解决一个实际问题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知量所允许的取值范围有关。又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做的。因此，在数的不同的范围内同一个

3、问题的回答可能是不同的。我们经常会遇到的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质，当然，它们也有很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论。关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质。代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的。有时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方便起见，当我们把这些数当作一个整体来考虑时，常称它为一个数的集合，简称数集。有些数集也具有与有理数、实数、复数的全体所共有的代数性质。为了讨论中能够把它们统一起来，我们引入一个一般的概念。定义1，设P是由一些复数组成的集合

4、，其中包括0与1。如果P中任意两个数（这两个数可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，那么P就称为一个数域。例：全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域。这三个数域分别用字母Q、R、C来代表。全体整数组成的集合（用Z来表示）就不是数域，因为不是任意两个整数的商都是整数。注：如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，我们就说数集P对这个运算是封闭的，因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集合P对于加法、减法、乘法与除法（除数不为0）是封闭的，那么就称为一个数域。2例子例1所有具有形式 ab的数（其中a、b是任意有理数）构成一个

5、数域，通常用Q（）来表示这个数域。证明：略例2所以可以表成形式 的数组成一数域，其中n，m为任意非负整数，（i0，1，n , j0，1，m）是整数证明：略例3所有奇数组成的集合，对于乘法运算是封闭的，但对于加法、减法不是封闭的，的整数倍数的全体成一数集，它对于加、减法是封闭的，但对乘、除法不封闭，当然，以上两个数集都不是数域。3数域的一个重要性质。命题：所有数域都包含有理数域作为它的一部分。证明：略。§2 一元多项式本节的教学目的及要求1能理解并掌握有关一元多项式的基本概念；2理解并掌握一元多项式的运算性质。本节基本教学内容1一元多项式的基本概念在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先

6、给定的数域P作为基础，设x是一个符号（或称文字）。定义2，设n是一非负整数，形式表达式 （1）其中全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称数域P上的一元多项式。多项式（1）中a称为i次项，a称为i次项的系数。（注意强调（1）中的x是文字或符号）定义3，如果多项式f（x）与g（x）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f（x）与g（x）就称为相等，记为f（x）g（x）系数全为0的多项式称为零多项式，记为0。在（1）中，如果0，那么称为多项式（1）的首项，称为首项系数，n称为多项式（1）的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式。多项式f（x）的次数记为（f（x）2一元多项式

7、的运算设 f（x） g（x）。是数域上两个多项式。它们可以写成f（x） g（x） f（x）的负多项式记为f（x），定义为f（x）在表示多项式f（x）与g（x）的和与差时，如nm，为方便起见，在g（x）中令，那么f（x）与g（x）的和为f（x）g（x）f（x）与g（x）的差为f（x）g（x）f（x）（g（x）而f（x）与g（x）的乘积为f（x）g（x） （ ） 数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式对数P上的非零多项式f（x），g（x）（i）当f（x）±g（x）0时 （f（x）±g（x）域）max（f（x），（g（x）（ii）f（x）g（x）

8、0并且（f（x）g（x）（f（x）（g（x）命题：多项式乘积的首项系数等于因子的首项系数的乘积。注：上面得出的结果可以推广到多个多项式的情形。3一元多项式的运算性质以下f（x），g（x），h（x）都是数域P上的多项式（1）加法交换律： f（x）g（x）g（x）f（x）（2）加法结合律： （f（x）g（x）h（x）f（x）（g（x）h（x）（3）乘法交换律： f（x）g（x）g（x）f（x）（4）乘法结合律： （f（x）g（x）h（x）f（x）（g（x）h（x）（5）乘法对加法分配律： f（x）（g（x）h（x）f（x）g（x）f（x）h（x）（6）乘法消去律 若f（x）g（x）f（x）h（x）

9、且f（x）0，那么g（x）h（x）最后引入定义4，所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为Px, P称为Px的系数域。§3 整除的概念本节的教学目的及要求1掌握带余除法的结果和方法；2掌握用非零多项式除多项式的商（式），余式的概念，多项式的整除、因式、倍式的概念；3掌握整除的一些基本性质。本节基本教学内容这一节以及后几节的讨论都是在某一固定的数域P上的多项式环Px中进行的，以后不再说明。在Px中，可以作加、减、乘三种运算，但除法不是普遍可行的，因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系。1带余除法与整除带余除法（定理），对于Px中任意两个多项式f（x）

10、与g（x），其中g（x）0，一定有Px中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）q（x）g（x）r（x） （1）成立，其中（r（x）（g（x）或者r（x）0，并且这样的q（x）、r（x）是唯一确定的。证明：略。（定理证明给出了求q（x）、r（x）的方法）带余除法中所得的q（x）称为g（x）除f（x）的商（式），r（x）称为g（x）除f（x）的余式。定义5，数域P上的多项式g（x）称为整除f（x），如果有数域P上的多项式h（x）使等式f（x）g（x）h（x）成立。我们用“g（x）/ f（x）”表示g（x）整除f（x），用“g（x）/ f（x）”表示g（x）不能整除f（x）。当g（x）/ f（x）时，g（x）称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式。定理1，对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）0，g（x）/ f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零。证明：略注：（1）带余除法中g（x）必须不为零。但g（x）/ f（x）中，g（x）可以为零； （2）当g（x）| f（x）时，如g（x）0，g（x）除f（x）所得的商q（x）有时也记为2整除性的一些性质。（1）如果f（x）| g（x