四边形与证明

1、第八局部图形与证明知识点的把握新的课程标准对图形与证明提出了如下要求：1了解证明的含义理解证明的必要性；(2)通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条 件(题设)和结论；(3)结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命 题成立其逆命题不一定成立；(4)通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的；(5)通过实例，体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据2掌握以下根本领实，作为证明的依据.(1) 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；(2)两条直线被第三条直线所截，假设同位角相等，那么这两条直线平行；(

2、3)假设两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，那么这两个三角形全等；(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等3利用2中的根本领实证明以下命题.(1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补， 那么两直线平行)；(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角)；(3)直角三角形全等的判定定理；(4)角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心)；(5)垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)；(6)三角形中位线定理；(7)等腰三角

3、形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理；(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.4通过对欧几里得？原本？的介绍，感受几何的演绎体系对数学开展和人类文明的价值.命题方向经过对近几年各地的中考试题来看，直接考察本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进展考察.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相 似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考察几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进展综合考察纵观近三年的中考命题，可以预见：用几何图形的性质、判定考察学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以

4、及创新意识和实际能力 想以及运用观察、想象、综合、比拟、演绎、归纳、 考试重点一、几何图形的性质定理、判定定理的应用本考点为根本图形的性质定理和判定定理的应用, 质定理和判定定理、 三角形的内角和定理及推论、 质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、 角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、 和判定定理.因此，考察分类讨论思想、数形结合思 抽象、概括、类比等数学方法我们要明确的根底知识有： 平行线的性 直角三角形全等的判定定理、 角平分线性 三角形中位线定理、等腰三角形、等边三 呂、菱形、正方形、等腰梯形的性质中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以根本图形的性质和判定定理为主.结

5、合各方面的知识点，考虑辅助线的做法， 运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从根本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经历，在看图和识图方面不断创新，不断提高【例1】：如图8-1，在二ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG / DB交CB的延长线于G(1) 求证： ADE S' CBF;(2) 假设四边形BEDF是菱形，那么四边形 AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论图8-1图8-2分析：结合图形可以看出 ADE与厶CBF全等的条件只差 AE=CF，从而可以证明 证明：如图8-2,

6、t四边形 ABCD是平行四边形，/ 1 = / C, AD=CB , AB=CD.点E、F分别是AB、CD的中点，2 丄 AE=二 AB , CF= 2 CD. AE=CF. ADE S' CBF.(2) 当四边形BEDF是菱形时， 四边形AGBD是矩形如图8-2.四边形ABCD是平行四边形, AD / BC./ AG / BD ,四边形AGBD是平行四边形四边形BEDF是菱形， DE=BE./ AE=BE , AE=BE=DE. / 1 = / 2，/ 3= / 4./ 1+ / 2+Z 3+ / 4=180 °, 2 / 2+2 / 3=180 ° . / 2+

7、 / 3=90° .即/ ADB=90 ° .四边形AGBD是矩形.【例2】：在O O中，CD平分/(1)写出图8-3中3对相似的三角形;(2)找出图8-3中相等的线段，并说出理由解析：由图可以看出： ACEDBE , AED BEC , ADE CDA.同时还可以看到 AD=BD.证明：/ CD 平分/ ACB ,/ ACD= / BCD ,二 AD=BD.【例3】：在厶ABC中，AB=AC=a , M为底边BC上任意一点，过点 M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.(1) 求四边形AQMP的周长；(2) 写出图8-4中的两对相似三角形(不需证明);图8-4

8、M位于BC的什么位置时，四边形 AQMP为菱形？说明你的理由 分析：结合图形的有关性质，可以证明四边形AQMP为矩形，故其周长为 2a.解: (1) / PM / AB , QM / AC四边形AQMP为平行四边形且/ 1 = / C,Z 2=Z B ,又T AB=AC=a./ B= / C,/ 1 = / B= / C=Z 2. QB=QM , PM=PC.四边形AQMP的周长为：AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a ; ABCQBM PMC ;(三对中写出任意两对即可 )如图8-5当M为底边BC的中点时，四边形 AQMP为菱形 理由：当M为BC中点时./ PM

9、/ AC.1dP PM=二 AB=二1 aQM=二 AC=： PM=QM.由知：四边形AQMP为平行四边形.四边形AQMP为菱形.二、与圆有关的综合证明本考点为圆的有关性质和圆中的一些定理、判定的根本应用这是整个初中数学的核心之一.往往作为中考的压轴题，主要考察的数学思想很多：数形结合的思想、分类讨论的思想、 转化化归的思想，以及观察、想象、分析、综合、比拟、演绎、归纳、抽象、概括等数学 方法与圆有关的证明多数是结合三角形、四边形、相似形、函数等知识为主的压轴题以“提供新材料，创设新情境，提出新问题等新题型较多在解题方法中要做到稳中有变、变中求新、新中求好的思想充分发挥学生的能力【例4】如图8

10、-6, : C是以AB为直径的半圆 0上一点，CH丄AB于点H，直线AC与过B 点的切线相交于点 D , E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F,直线CF交直线AB于 点G.(1)求证：点F是BD中点；求证：CG是O 0的切线；假设FB=FE=2，求O 0的半径分析：通过观察图形结合圆中的根底知识，运用相似三角形的性质、切线的判定方法以及直角三角形中的勾股定理，可以证明线段相等、切线及有关线段的长度(1)证明：/ CH 丄 AB , DB 丄 AB , AEH sAFB , ACEADFEH _AE _ CE. .7 厂！，. he=EC , BF=FD证明：方法一：如图8-7连接CB、0C

11、 ,/ AB 是直径，/ ACB=90 ° F 是 BD 中点， FC=： BD=FB / BCF= / CBF=90 ° -Z CBA= / CAB= / ACO / OCF=90 ° , CG 是O O 的切线方法二：可证明厶 OCFA OBF解：由 FC=FB=FE 得：Z FCE= Z FEC可证得：FA=FG，且AB=BG由切割线定理得：（2+FG）2=BG X AG=2BG 2.在Rt BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2,由得：FG2-4FG-12=0,解之得：FGi=6 , FG2=-2（舍去）O O半径为2.【例5】：O Oi与O O2

12、相交于点A、B，过点B作CD丄AB，分别交O Oi和O O2于点C、D.(1)如图8-8(1)，求证：AC是O Oi的直径；假设AC=AD，如图8-8(2)，连结B02、O1O2,求证：四边形 OiC BO2是平行四边形；假设点Oi在O O2夕卜，延长O2O1交O Oi于点M ,在劣弧上任取一点E(点E与点B不 重合).EB的延长线交优弧于点F，如图8-8(3)所示.连结AE、AF.那么AE AB(请在横线上填上“、w、v、"这四个不等号中的一个=并加以证明图8-8/ ABD=90(i)(2)证明：(i) / CD 丄 AB ,/ ABC=90 ° AC是O Oi的直径.(

13、2)证明i：v CD丄AB , AD是O O2的直径./ AC=AD./ CD 丄 AB , CB=BD.T Oi、O2分别是AC、AD的中点.2 Oi02/ CD 且 OiO2= CD=CB.四边形OiC BO2是平行四边形.证明 2：T CD丄 AB，/ ABD=90 AD是O O2的直径./ AC=AD./ CD 丄 AB , CB=BD.T B、O2分别是CD、AD的中点.丄 BO2 / AC 且 BO2=二 AC=OiC,四边形OiC BO2是平行四边形.证明 3：T CD丄 AB， / ABD=90 AD是O O2的直径.t Oi、O2分别是AC、AD的中点. OiO2 / CD.

14、t CD 丄 AB , CB=BD. B是CD的中点.02B / OlC.四边形OlC BO2是平行四边形证明 4：T CD丄AB，/ ABD=90 ° . AD是O O2的直径/ AC=AD.- OiC=O2B./ C=Z D.T O2B=O2D,/ O2B D= / D ./ C=Z O2B D.O2B / O1C.四边形OlC BO2是平行四边形. AE > AB证明1:当点E在劣弧上（不与点C重合）时，/ AC=AD ,/ ACD= / ADC ,/ AEB= / ACD= / ADC= / AFB , AE=AF.记AF交BD为G / AB丄CD,AF > AG

15、 > AB ,当点E与点C重合时，AE=AC > AB ,当点E在劣弧Ml上（不与点B重合）时，设AE交CD与H ,AE > AH > AB综上，AE > AB.证明2:当点E在劣弧症上（不与点C重合）时，连结 EC、DF AD 是O O2 的直径，即/ AFD=90 ° ./ EAC= / EBC= / DBF= / DAF./ AC=AD 直角 AFD 也直角 AEC. AE=AF.证明3:当点E在劣弧上（不与点C重合）时，连结 EC、DF AD 是O O2 的直径，即/ AFD=90 ° ./ DBF= / DAF. ADF+ / DBF

16、=90 ° .又/ DBF= / EBC. / ABE+ / EBC=90 ° ./ ADF= / ABE./ ABE= / ACE. ADF= / ACE./ AC=AD，直角厶 AFD也直角 AEC. AE=AF.【例6】如图8-9，四边形 ABCD中，AC=6 , BD=8且AC丄BD顺次连接四边形 ABCD各 边中点，得到四边形AiBiCiDi ;再顺次连接四边形AiBiCiDi各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进展下去得到四边形 AnBnCnD n.图8-9证明：四边形AiBiCiDi是矩形；写出四边形 AiBiCiDi和四边形A2B2C2D2的面积；写出四

17、边形AnBnCnDn的面积；求四边形A5B5C5D5的周长分析：通过题目中所给条件， 充分应用三角形的中位线定理结合矩形的判定定理，从而比拟容易的得出证明证明：点Ai, Di分别是AB、AD的中点，二AiDi是厶ABD的中位线1AiDi / BD , AiDi=工 BD ,同理：Bi Ci / BD , BiCi= 2 BD.-AiDi / BiCi, AiDi=BiCi,四边形AiBiCiDi是平行四边形. AC 丄 BD , AC / AiBi, BD / AiDi,- AiBi _LAiDi,即/ BiAiDi=90 ° .四边形AiBiCiDi是矩形.解：四边形AiBiCiD

18、i的面积为i2;四边形 A2B2C2D2的面积为6;1四边形AnBnCnDn的面积为24X -；方法一：由 得矩形AiBiCiDi的长为4，宽为3；矩形 A5B5C5D5s矩形 AiBiCiDi；可设矩形 A5B5C5D5的长为4x,宽为3x，那么14x 3x= X 24,2解得x= - ；/ 4x=1,3x= .37矩形 A5B5C5D5 的周长=2(1+ - )='.方法二：矩形 A5B5C5D5的面积/矩形AiBiCiDi的面积=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形AiBiCiDi的周长）23即-:i2=(矩形 A5B5C5D5 的周长)2 : i42矩形A5B5C5D5的周

19、长=1 匚历年真题一、选择题i如图8-i0,平行四边形 ABCD中，AB=3 , BC=5 , AC的垂直平分线交 AD于E,那么CDE的周长是（）A.6答案：解析：B.8B有平行四边形的性质可得:AB=CD=3 , AD=BC=5.结合垂直平分线的性质得AE=CE.所以 CDE的周长为 AD+CD=8.ABCD2如图，8-iiO O过正方形 那么圆的半径为（）的顶点A、B,且与CD边相切，假设正方形的边长为2,5B.答案：BO分别作出AB、BC的垂线，利用垂径定理和切割线定理可求分析：有图形的性质可过点 出圆的半径.3如图8-12，在矩形 ABCD中，EF/ AB , GH / BC, EF

20、、GH的交点 P在BD上，图中面 积相等的四边形有（）图 8-12对对对对答案：A解析：应用矩形的有关性质、面积的计算方法可以任意的证明四边形AGPE的面积等于PFHC，四边形 AGHD的面积等于四边形 FEDC，四边形ABFE的面积等于四边形 BGHC， 共3对二、填空题4.如图8-13，弦AB的长等于O O的半径，点 C是上一点，那么/ ACB=答案：301解析：由AB的长等于半径，那么弦 AB所对的弧的度数为 60度，所以/ ACB的度数为二X60=30 度.5如图8-14,O O ABCAC=答案:解析：由AB为直径，那么/ C=90。，所以由勾股定理可计算出弦AC=6.6.如图AC于

21、8-15, AB是半圆的直径， O是圆心，C是半圆D.假设AC=8 cm , DE=2 cm，那么 OD的长为,E是弧AC的中点，0E交弦答案：解析： 中用勾股定理可求出7.如图 8-16，A=30， 心分别为E，F，G ,的长是3点E为弧AC的中点， DE丄AC,由垂径定理可知 AD=CD=4 cm.在直角三角形 0D=3 cm.点B , C是AD上的三等分点，分别以 AB , BC , CD为直径作圆，圆 AP切O G于点P,交O F于M , N，那么弦 MN答案：8解析：连结GP，过F点作FH垂直于 MN于H.那么 AGPAFH，所以- 一 ,所以FH=3，连结FM，在直角三角形 FMH

22、中由勾股定理得 MH=4，所以MN=8.三、解答题8.：如图8-17，直线AB / CD，直线EF分别交AB , CD于点E, F,Z BEF的平分线与/ DFE的平分线相交于点 P.求证：/ P=90° .图 8-17证明：/ AB / CD，/ EFD+ / FEB=180 ° .v EP、FP 分别平分/ BEF、/ DFE， / FEP+ / EFP=90 ° .P=90° .9.如图8-18，有两个形状完全一样的直角三角形 ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重 合)，AC=8 cm , BC=6 cm，/ C=90 ° , EG=4

23、 cm，/ EGF=90 ° , O 是厶 EFG 斜边上的中点.如图8-18，假设整个 EFG从图的位置出发，以 1 cm/s的速度沿射线 AB方向平移， 在厶EFG平移的同时，点 P从厶EFG的顶点G出发，以1 cm/s的速度在直角边 GF上向点 F运动，当点P到达点F时，点P停顿运动， EFG也随之停顿平移.设运动时间为x(s), FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).8-18(1) 当x为何值时，OP/ AC ?(2) 求y与x之间的函数关系式，并确定自变量 x的取值范围.是否存在某一时刻， 使四边形OAHP面积与 AB

24、C面积的比为13 : 24?假设存在，求出 x的值；假设不存在，说明理由.(参考数据：1142=12 996，1152=13 225，1162=13 456 或 2，2，2=21.16) 解：(1) / Rt EFG s RtA ABC ,*6FG= _；=3 cm.当 P 为 FG 的中点时，OP/ EG , EG / AC , OP / AC. x= 1: X 3=1.5(s).当 x 为时，OP/ AC.在Rt EFG中，由勾股定理得： EF=5 cm. / EG / AHEFGAFH.EG _ Elf _ FG :.'PH'5 3 ：二x -5FH'43 AH=

25、'(x+5),FH=(x+5)过点O作OD丄FP,垂足为D点O为EF中点,2 0D= - EG=2 cm./ FP=3-x ,S 四边形 OAHP=SAFH -SOFP1=：2AH FH- 7： OD FP=：1 (x+5) ：' (x+5)-二 X 2 X (3-x)6q_X + Z =t+3 (0 v xv 3).假设存在某一时刻 x，使得四边形 OAHP面积与 ABC面积的比为13 : 24.那么S四边形OAHP= 4 X Sa ABC+3=一 X 6 X 86x2+85x-250=0.550解得X1=二,X2='(舍去)./ 0 v x v 3,5当x=二(s)

26、时，四边形 OAHP面积与 ABC面积的比为13 : 24.BC分别相交于E、10:如图8-19，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、F.求证：四边形AFCE是菱形.证明证得证得/ EF 垂直平分 AC , EF 丄 AC ,且 AO=CO '. AOE 也 COF.由AC丄EF可知：四边形 AECF是菱形.11如图8-20:/ MON = 90°,在/ MON的内部有一个正方形 AOCD , 线OM、ON上，点B1点A、C分别在射AB 1C1D1.四边形AECF是平行四边形.图 8-20(1) 连结 DiD，求证：/ ADD 1=90 °(2)

27、 连结CCi，猜一猜，/ CiCN的度数是多少？并证明你的结论；在ON上再任取一点 B2,以AB2为边，在/ MON的内部作正方形 AB 2C2D2，观察图形, 并结合(1)(2)的结论，请你再做出一个合理的判断(1)证明：四边形 AOCD、ABiCiDi为正方形，/ OAD= / B iADi=90°, OA=AD=AB i=AD 1./ OAB 1= / DAD i.A AOBiA ADD 1. / ADD 1= 90 ° .解：/ CiCN=45 ° .如右图作CiH丄ON于H.An一Oa(.? 1 N证明：四边形 AOCD、AB1C1D1为正方形， / A

28、OB i= / CiHBi=90 ° , ABi=BiCi.又/ ABiO+ / CiBiH=90°,/ AB1O+ / OAB i=90 ° ,/ CiBiH= / OABi. AOBB1HC1.- BiH=OA , CiH=OBi./ OA=OC , OC=BiH.-OBi=CH , CH=CiH ,CiCN=45 ° .解：作图略推得：(/ ADD 2=90 °、/ C2CN=45 °、D、Di、D2 在一条直线上、 C、Ci、 C2在一条直线上.)12/AOB=90 ° ,在/ AOB的平分线OM上有一点C,将一个三

29、角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与 OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.当三角板绕点 C旋转到CD与OA垂直时(如图8-21)，易证：OD+OE=2OC.当三角板绕点 C旋转到CD与OA不垂直时，在图8-21、图8-21这两种情况下，上述 结论是否还成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明 图 8-21解析：图2结论：OD+OE= J OC.证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为 P、Q. CPD CQE, DP=EQOP=OD+DP , DQ=OE-EQ又 OP+OQ=： OC，即 卩 OD+DP

30、+OE-EQ= ，.： OC OD+OE=OC.图 3 结论：OE-OD=，. ；. OC.13.如图 8-22 ,，等腰 Rt OAB 中，/ AOB=9O °，等腰 Rt EOF 中，/ EOF=9O °，连结AE、BF.图 8-22求证：(1)AE=BF ；(2)AE 丄 BF.而证明线段垂直的方分析：证明线段相等的方法，通常是通过证明两个三角形全等来证明 法是通过直角三角形的两锐角互余等方法证明 证明：(1)在厶AEO与厶BFO中，T RtAOAB与Rt EOF是等腰直角三角形， AO=OB ,OE=OF，/ AOE=90 ° -Z BOE= / BOF

31、, AEO BFO , AE=BF ;(2)如图延长 AE交BF于D，交OB于C, 那么 Z BCD= Z ACO ,由知：Z OAC= Z OBF , Z BDA= Z AOB=90 ° , AE 丄 BF. 证明：/ M是AB的中点 J MA=MB.14.如图 8-23, 求证：AC=BD.图 8-23/ MC=MD,/ 仁 / 2, AMC BMD.J AC=BD.评述：证明线段相等的一般方法是证两个三角形全等由条件可以用边角边定理证明全等,故 AC=BD.15如图8-24,在等腰梯形假设AD=5, BC=11,梯形的高是4,求梯形的周长假设AD=a, BC=b,梯形的高是h,

32、梯形的周长为c.那么c=.(请用含a、b、h的代数式表示；答案直接写在横线上，不要求证明.)假设 AD=3, BC=7, BD=二二，求证:AC 丄 BD.解：如右图过点 A作高，交 BC于点E.那么BE=3，所以 AB=5，故梯形的周长为:5+11+5+5=26.(2)同理可得：c=a+b+、"+_.证明：过点D作DF / AC交BC的延长线于F.那么四边形 ADFC为平行四边形 CF=AD=3.四边形ABCD为等腰梯形， AC=BD=-.在厶 BDF 中，BD=DF=，BF=BC+CF=10. BD2+DF2=BF2,JA BDF 为直角三角形.J BD 丄 DF./ AC /

33、DF. AC 丄 BD.评述：在解决有关梯形问题时，常常通过作高线、平移一腰、平移对角线，转化为三角形和 平行四边形、矩形等知识来解决 .16. 如图8-25O O半径为2，弦BD= ' , A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在 BD 上.图 8-25求：四边形ABCD的面积./为弧购的中点nOF丄=FD = j3OB = 2 OF= AF= Ssbd= ： BD AF=AE=CE Sade=S cde , Sabe =ScbeS 四边形 ABCD =2SABD =2J3评述：有关几何图形的计算， 特别是涉及圆的计算多数都与垂径定理、勾股定理等知识点有关.对这些知识的综合应用是中考

34、的一个方向既能考察对知识的掌握情况又可以提高学生解决问题和分析问题的能力17. 如图8-26, CB, CD是O O的切线，切点分别为 B,的延长线与O O直径BE的延长线 交于A点，连OC, ED.图 8-26(1)探索OC与ED的位置关系，并加以证明；假设AD=4 , CD=6，求tan/ ADE的值. 解:ED / OC.证明(思路)：如右图连 OD, BD，证DE丄BD , CO丄BD.(2) / ED / OC,/ ADE= / ACO.又 CB, CD是O O的切线，切点分别为 B , D ,/ BCO= / ACO ,/ ADE = / BCO.记O O的半径为R,/ ED / OC, AD=4 , CD=6 ,AD AE-A AE= 一-R -R又 AD 求证： ABM CDM ; 四边形MEN