概率论解题方法

1、精选课件数学知识系列讲座概率论解题方法分析举例精选课件主要内容n概率的计算；n概率大小的比较；n贝努里试验模型；n概率分布；n边缘分布；n随机变量函数的分布；n连续与离散两种随机变量相结合。精选课件1. 利用事件间的关系与运算规律计算. 如;ABAB一、概率的计算;A BABAA B;ABAB();AASABBABAB,()1();A BP BP A若互逆，则,()( ) ( ).A BP ABP A P B若独立，则,()0A BP AB 若互不相容，则精选课件u例1. 为概率不为零的两事件，且互不相容，则正确 的是（ ） A) B) C) D) 分析：A)是独立条件；B)与对立（互逆）相关

2、；C)是差事件 的运算；D)是互不相容的问题.显然：A)错；B)不相干； D)中令 故D)错. 又由于 故C)对.本题主要考查事件的几种关系： 差、互逆、互不相容及独立. 要熟练掌握其基本概念.()( ) ( )P ABP A P B,A B( )1( )P BP A ()( )P ABP A,A B相容ABB=A,则与互 不 相 容 ,()( )()( )P ABP AP ABP A精选课件u例2. 已知事件 满足 . 解：此题关键是掌握德谟根定律及事件的逆以及加法公式.()(),P ABP AB,A BP(A)=p,P(B)且求()()1()P ABP ABP AB 1( )( )()P

3、AP BP AB ()(),P ABP AB由有1-P(A)-P(B)=0,即P(B)=1-P(A)=1-p.精选课件2. 运用概率计算公式 . 如 加法公式条件概率公式及由此推出的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式()()()();P ABP AP BP AB()();()PA BPBAPA()( )( )( )()()()();P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 精选课件u例3. 一次掷十颗骰子，已知至少出现一个一点，问至少出现两个一点的概率是多少？ 分析：设A：至少出现一个一点； B：至少出现两 个一点, 则所求为 另可知 ，因此关键利用了互逆事件及条件概率的性

4、质 . ()()1()11( )P ABP B AP B AP A ()( )1( )();( )( )1( )P ABP BP BP B AP AP AP A1AB “正好出现一次 点”19101010105 / 615/ 6C精选课件u例4. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多少？分析：设A：甲射击一次命中目标；B：乙射击一次命中目标. 则目标被命中为 所求概率为 于是()( )( )()P ABP AP BP AB,AB().P B AB( )( )( ) ( )P AP BP A P B0.5 0.4 0.5 0.4

5、0.7;()( )0.4()0.57.()()0.7P BABP BP B ABP ABP AB精选课件u例5.三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有2个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球2个白球. 求：（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？（2）已知取出的是白球，此球属于第三个箱子的概率分析：设 A:取出的球为白球；B：此球来自于第i个箱子，i=1,2,3, 则 且（1）由全概率公式有（2）由贝叶斯公式有 11();4P A B1()(1,2,3);3iP Bi23();5P A B32().5P A B311 1325()() ()

6、().3 45512iiiP AP A B P B33312() ()2435().5( )7512P BP A BP B AP A精选课件练习. 某工厂生产的产品以100件为一批，现从每批中任取10件来检查，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。假定每批产品中的次品数最多不超过4件，且每次次品数从0到4是等可能的。求：（1）一批产品通过检查的概率；（2）假设所检查这批产品通过检查，其中确实没有次品的概率.关键事件：A：产品通过验收； ：每批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4.iB精选课件l利用分布函数求概率：l若X为一维离散型：则l若（X，Y)为二维离散型：则l若X为一维连续型：则l若

7、（X，Y)为二维连续型：则1212.kkxxxP xXxP Xx3. 运用随机变量的分布1221( )()( ).F xP XxP xXxF xF x(,)(,),.ijijxyGPX YGP XxYy 2112().xxPxXxfx dx( , )(, )( , ).x yGPX YGf x y dxdy精选课件u例6. 已知 独立， 则以下结论正确的是（ ） A) B) C) D) 以上常不正确 分布列相同的两个随机变量不一定相等，与它们本身的定义有关，故A)不对；由于故选C).011122kXP,X Y的分布律为011122kYPXY1P XY12P XY0,01,1P XYP XYP

8、XY00111111122222P XP YP XP Y,X Y精选课件u例7.已知随机变量X的分布函数为（1）求 （2）求X的分布律.分析：由分布函数的意义 知 ,于是 端点处的概率即为上下阶梯之差，X的分布律为0.5;P X 0,1;0.2,12;( )0.7,24;1,4.xxF xxx 0.5 1(0.5) 1 0.20.8;P XF ( )F xP Xx( )(0)P XaF aF a 1 1( )P X aP X aF a -12410.70.21240.20.50.3kXP精选课件u例8. ，求方程 有实根的概率.分析：当且仅当 成立时，方程 有实根，解得 或 因此，该方程有实根

9、的概率为本题是利用连续型随机变量均匀分布的特征来求概率，若2(4 )16(2)0(0,5)U服从220a x4x2,1. 523212505pPPP 2(1,2 ),XN服从结果怎样？精选课件u例9. 则（ ）. A） B) C） D)分析：独立正态分布的线性组合仍然服从正态分布 ，则 正态分布的标准化：故X+YN（1,2），从而，102P XY,XN(0,1)YX Y独立， 服从， 服从N(1,1)112P XY102P XY112P XY2NiiiX服从（，）,i=1,2,n1niiia X2N(0,1)XXN服从（ ，）,则服从分布211Nnniiiiiiaa（，）1 111()(0)2

10、2P XY精选课件u例26. 的联合概率密度为求 中至少一个小于0.5 的概率.解: 所求概率为1,01,02( , )20,xyf x y其他., , 21,211)21()21(PP.8521),(11212212121 dxdydxdyyxf精选课件l1.l2.l3. 利用概率分布特征比较，如密度函数的奇偶性，正态分布的标准化，正态分布的线性组合特征。A,B, AB, P(A)P(B).任意事件若则二、概率大小的比较AP(A)1.任意事件 的概率0精选课件u例10. 为任意两事件，且 ，则正确的是（ ） A) B) C) D)本题利用及条件概率的定义 即得B)正确., ( )0AB P

11、B,A B()()PAPAB()()PAPAB()()PAPA B()()PAPAB()();()PA BPABPB0( )1P B()(),ABP ABP A精选课件u例11.事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列式子正确的是（ ） A) B) C) D)选择支中出现了联想到加法公式由 有又 则故选B)( )( )( ) 1P CP AP B( )( )( ) 1P CP AP B()()P CP AB( )()P CP AB()(),()P AP BP AB()( )( )();P ABP AP BP ABABC()( )P ABP C0() 1P A B( )( )( )( )( )

12、() 1P AP BP CP AP BP AB精选课件u例12. A）单调增大 B）单调减少 C） 保持不变 D）增减不定u例13. 设 则 的大小关系是（ ） A） B） C） D）大小不定 均考查正态分布的标准化问题 XP 应（ ）2NX服从 （ ，）,则随着 的增大，概率22N4YN(5 )X服从 （ ， ）, 服从， ，1245XXp =P 12p , p12p p12p y,2y=1-PXy0(y)=Pmin(X,2)y=0.Yy 时，F1=1-1;xyyedxe2.y 02(=F (0), (F (2),limlimYYYYyyFyFy）精选课件离散型（X,Y)：l 联合分布律：l

13、 X的边缘分布律：lY的边缘分布律l若X,Y独立，则l在 的条件下 的概率.1,1,2,;iijjpP Xx Yyi4. 联合分布、边缘分布、条件分布、独立性,1,2,;1,2ijikP Xx Yypij.1,1, 2,.jijipPXxYyj.,1,2,;1,2,.ijijp pP Xx Yyij.,ijjiiPXxYyP YyXxpjYyiXx精选课件 连续型 ：已知（X,Y)的联合密度函数为lX的边缘密度函数lY的边缘密度函数为l若X,Y独立，则l在 的条件下Y的密度函数为 ( )( , )Xfxf x y dy( , )f x y( )( , )Yfyf x y dx( , )( )(

14、 )XYf x yfx fyXx( , )()( )Y XY Xf x yfy xfx精选课件u例20. 已知（X,Y）的联合分布律为 （1）将X,Y的边缘概率填入上表； （2）若Y=0 与X+Y=1独立，求a ,b的值.iP Xx XY 0 1PY=yj 0 0.4 a 1 b 0.1PX=xi精选课件分析：由独立性知即 （1）又由分布律的规范性有 （2）解得 a=0.4 , b= 0.1 0,101P YXYP YP XY0,1P YX(0.4)()abaa0 0,11,0P YP XYP XY0.5ab精选课件u例21.已知随机变量X,Y的分布律分别为： X 0 1 Y -1 0 1且

15、, 求(X，Y)的联合分布律并判断其独立性.分析：直接求不容易，但由 可知 于是，得到（X，Y）的联合分布律为 kPkP1313131323221P XY22 1P XY220P XY YX -1 01 0 0 0 1 01313131323精选课件练习： 的分布律为 且 则 并求(X,Y)的联合分布律.101,1,2,111424iiX1201,P X X 12_.P XX精选课件u例24：G由 及直线 y=0, x=1, 所围， (X,Y) 在G上服从均匀分布. 求 (1) (X,Y) 关于Y的边缘概 率密度在 处的值. (2) X,Y是否独立？ 解：G的面积为故联合密度函数为求得故2xe

16、1yx12y 122111ln2,eedxxx1,( , )( , )20,x yGf x y；其他.1yx2exy1y111 1( )=(1),22 yYfydx 22111( )(1),22eYfydxe21;ey20;ye111()=(21).222Yf精选课件l一维离散型，二维离散型（略）l一维连续型： (1) 若X的密度函数为 ，Y=g(X)处处可导，且严格单调， 的反函数为 则可用公式 (2) 若Y=g(X)不满足上述条件，则先求Y的分布函数，再关于y求导.( ( )( ) ,( )( )0XYfh yh yyg xfy在的值域内；其他.六、随机变量函数的分布( )Xfx( )yg

17、 x( ),xh y精选课件l二维连续型随机变量函数的分布：已知联合密度函数为 (1) 若 , 则 (2) 若 , 则 (3) 若 , 则此外，还有 与 的分布.ZXY( , ).f x yZXYYZX( )( ,)(, )(Zfzf x zx dxf zy y dy卷积公式）1( )( , )Zzfzf xdxxx( )( ,)Zfzf x zx x dxm ax,XYmin,X Y精选课件u例23. X,Y的联合分布律为 求: （1）Z=X+Y的分布律； （2）U=maxX,Y的分布律； （3）V=minX,Y的分布律. YX0 12 0 0.300.05 0.02 1 0.03 0.20

18、0.40精选课件 (X,Y) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) 0.30 0.05 0.02 0.03 0.20 0.40 Z=X+Y 0 1 2 1 2 3 U=maxX,Y 0 1 2 1 1 2 V=minX,Y 0 0 0 0 1 1由上可知Z，U，V的分布律为： kPZ0123P0.30.080.220.40U012P0.30.280.42V01P0.40.6精选课件u例24. 设X服从标准正态分布，求：（1） 的密度函数；（2） 的密度函数.解:（1）由 得 由公式得 （2） 时， 时， 221YX2YX,21)(22xexfxX?xy2),( yhx .21)(yh.,2121)(2)2(2yeyfyY