第03章 自激振动

1、第三章第三章 自激振动自激振动3.1 自激振动的机理和特征 3.2 极限环与 van der Pol 方程3.3 工程中的自激振动问题3.4 张驰振动3.5 动态分岔第三章 自激振动自激振动与周期激励的响应相比，仍然是一种周期振动，它也是靠外界能源的驱动形成的，不同的是现在的能源是一个能量不变的能源，能源本身不直接给系统提供周期性变化的能量，系统振动能量的周期性变化是靠系统固有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量形成的。当然，振动系统周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不变，这只能在能源的能量大大超过振动能量的前提下才能近似实现，这是自激振动系统的另一个特征。自激振动系统（sel

2、f-excited system）也称为自振系统,它的特性很复杂。本章只学习单自由度系统自激振动的形成和演变的一些基本规律。3.1 自激振动的机理和特征 1. 自激振动的机理图3.1、图3.2为两个自振系统的实例。就电铃而言，能源为直流电源，在一定时期内，能量近似恒定，接通电源后，铃锤在电磁吸力作用下，弯曲敲击铜铃，同时电路触点断开，电磁吸力消失；在这个过程中，振系从能源吸收图3.1图3.2电能，一部分转化为铃锤的动能和弹性势能，另一部分由于材料阻尼、敲击等因素而耗散。接下来的过程是，弹性势能使铃锤恢复形状，使电源再次接通，完成一次振动，并开始下一次振动。 可见，自激振动的形成过程和机理是：振

3、系在某些初始激励下能作往复运动，同时振系内有一个固有的自动调节环节起作用，它能自动感知振系状态，根据振系状态自动调节能量的吸收，并能使振系在每个往复运动中吸收的能量逐渐等于耗散的能量，从而使振系的能量和状态周期性变化，即形成自激振动。自激振动的形成机理，可用框图表示，如图3.3。振动系统调节器能源状态反馈图3.3需要指出的是，图中的调节器就是前述的自动调节环节，对于某些振系，调节器是一个实际存在的装置，如电铃，其调节器为电磁断续器，而对很多振系，调节器并不是一个明确的装置，而是系统自身的特性和参数综合形成的一个自动控制环节。2. 自激振动的特征参见课本p57的总结。3.2 极限环与 van d

4、er Pol 方程1. 极限环从以上定性分析已知，自激振动是周期振动，因此对单自由度系统，自激振动的相轨迹是一条封闭曲线，与保守系统的自由振动相轨迹不同的是，自激振动的封闭相轨迹的形状和运动周期，是由系统的固有参数和特性决定的，而与初始条件无关。因此，自激振动的封闭相轨迹在相平面上是一条孤立的封闭曲线。在这条封闭曲线邻近的相点，将沿某一螺旋状相轨迹趋近或离开这条封闭曲线，因此称它为极限环(limit cycle)。一个振系的极限环可能不止一个，当极限环邻近的相轨迹都趋近于极限环时，该极限环是稳定的，否则，是不稳定的，如图3.4。只有稳定的极限环才对应于能够实现的自激振动，因此寻求极限环并确定其

5、稳定性，是非线性自治系统研究中的一个最重要的问题。 van der Pol 振荡器是已知存在极限环的系统的一个经典例子。 van der Pol 方程也可以由Rayleigh方程经变换得到，Rayleigh方程为2. van der Pol 方程2203 ,(1)0 xuxxxx引入变换得图3.4(3.2)这就是van der Pol 方程。对（3.2）作能量积分得220(1)0uuuu(3.1)（3.1）式对 t 求导，得0)31 (202uuuu E为积分常数。当x 的幅值较小时，上式右端第二项圆括号中的值大于零，积分值随时间增长而增大，系统的机械能增大，即系统向外界吸收能量，同时使系统的

6、运动幅度增大，这一过程一直到积分的平均值为零才停止。当x 的幅值较大，上式右端第二项圆括号中的值小于零时，系统将耗散能量，同时使系统的运动幅度减小。因此预计系统最后可能会稳定在某个周期运动状态，即自振状态。方程（3.2）的第二项与速度有关，相当于一个阻尼项，由上述分析知，它不是常规阻尼，而是一个交变阻尼，耗散能量时，称为正阻尼，吸收能量时称为负阻尼。下面用相平面法来确定其极限环。不失一般性，设Rayleigh方程（3.1）中 ， = 1，相轨迹微分方程为022222011(1)22ttxxExxdt120显然，原点是系统唯一的奇点。用Lienard方法作相轨迹， Lienard辅助曲线为2(1

7、),dyyyxxu yxdxy 其中(3.3)2(1)xyy它也恰好是通过原点的零斜率等倾线，图3.5中的虚线。稍加考察可知，奇点附近的相轨迹是向外发散的，因此奇点为不稳定焦点。最后作出的相轨迹如图3.5。也可用谐波平衡法来求出van der Pol 方程的近似解，设极限环图3.5cos()cos,xAtAt代入下面的van der Pol方程22320322000(cossincos)sincos()cos()sin04 ,2 2cos()AAAAAAxt由谐波平衡得方程的解为220(1)0 xxxx注意，以上近似解只有当 为小参数时才成立，图3.5也是针对 为小参数的情况画出的。对于 为大

8、参数的情况将在3.4节中研究。3.3 工程中的自激振动问题1. 时钟原理机械时钟的钟摆简化模型如图3.6，它是一个自激振动系统。近似恒定的能源为发条弹性能，当钟摆向平衡位置运动并)(21)sgn()(21)sgn()sgn(xIxxIxxBxx (3.4)到达摆角 x= 时，会受到由发条能量转换而来的脉冲力。设钟摆受到干摩擦，动力学方程可写成 x图3.6系统的能量积分为其中( )为Dirac 函数，I 为冲量；方程中忽略了重力的影响。其中 E 为积分常数。我们规定B 0、 x ，接下去相点先在下半相平面运动，因此按（3.5）式进行。由初始条件求出积分常数E 后，（3.5）式变为00222211

9、(),2211(),22xxxxyxBxEIdyxyxBxEIdyx 下半相平面能量积分：上半相平面能量积分：(3.5)(3.6)xdIBBxyxx)(2)()(222(3.7)这是一个以（0, B）为圆心的圆方程。下面分三种情况分析：(1) x B ：这时按（3.7）式画出的相轨迹如图3.7a，这种相轨迹是不可能出现的，因此相点只能静止不动。实际上，这时系统的弹性力没有超过最大摩擦力，弹性力与摩擦力平衡，再加上初始速度为零、没有受到脉冲的作用，因此系统将静止，相点不再运动。(2) B x ：这时相点开始阶段按干摩擦阻尼系统的规律在下半相平面逐渐运动，随着位移幅值的减小，将到达x= 的位置，受

10、到脉冲的激励而吸能，激励后，系统位置不变，速度值增加，然后继续按干摩擦阻尼系统的规律运动，到达负 x 轴上的某一点。接下来相点进入上半相平面运动，运动情况与下半相平面的运动类似，也可能出现上述情况（2）的运动，如图3.8。上述各个结果中，只有图3.8(a)所示情况才有可能发育成一个极限环，因此对它作深入分析。由（3.5）、（3.6）式，这时的能量积分方程为图3.7（b）由于I 太大能量吸收大于损耗图3.8由于I 太小能量吸收小于损耗(a)(b)h222222222222()()()()2()()()()2TyxBBxyxBBIxyxBBxyxBBIxxxxxhhhh 下半相平面能量积分：上半相

11、平面能量积分：(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)参见图3.9，其中对脉冲函数的积分要注意积分限的变化方向。hxT图3.9在（3.9）式中令 y = 0、 x = h ，解出 h 得BIB2)(2xh在（3.11）式中令 y = 0、 x = xT ，解出 xT 得2()2TxBIBh如果能使 xT = x ，则相轨迹封闭而成为极限环，由(3.12)、(3.13)可求出实现这一结果应满足的条件为(3.12)(3.13)这意味着，对于给定的B、I 值，当相点从点（I / 2B, 0 ）出发，将沿极限环运动。马上将证明，这个极限环是稳定的，因此系统能实现自激振动，极限环如图3.10；其振幅

12、 A为BIBI2;2hx同时可得BIA2(3.14)极限环从极限环外趋近极限环从极限环内趋近极限环图3.10 下面来研究极限环的稳定性。由(3.12)、(3.13)可得函数关系)(xhTTxx (3.15)2222()()()()2|()1|()2TTTAAATTxxA BxAAAA BIxxAA BA BIxxhhxxxxhxxx 有即(3.16)（3.16）式意味着，在极限环邻近的相点，每运动一周将向极限环靠近一点，随着运动的进行，相点将逐渐进入极限环，因此极限环是稳定的。（3.15）式的含义是：相点从 x = x 出发运动一周，将到达 x = xT 点，参见图3.10。因为 x = A

13、时，有 xT = A 、h = A，因此，当0Axxx，时2. 干摩擦自振当干摩擦振子与摩擦面有恒速相对运动时，振子会出现自激振动，图3.11为力学模型。图3.11以往将干摩擦力简化为常值，对于本问题，为了能解释实际中出现的自激振动，需要对摩擦力的模型作一些细化，如图3.12，其中的摩擦力j 随速度v 有小的变化。不失一般性，设系统的质量和刚度等于1。图3.12jm jm则系统的动力学方程为系统的平衡位置为)(0, 000vjxxx 0)(0 xxjxv (3.17)00,0, |(0)sgn( ),0, |mmmvvxxxjjjxxxj其中 v0 为摩擦面的运动速度，设为常值。当 时，摩擦力

14、j (0)的值不定，需要根据不同情况确定，具体如下：00vx(3.18)0)()()()(0)()(0000 xxxvvxxvxvxx jjjj方程变为令(3.21)将平衡位置变换到新坐标的原点。方程（3.17)变为(3.19)(3.20)引入变换00()xvxxxj相平面微分方程为(3.24) (y)曲线如图3.13。其中图3.13minmaxv0)()(0min0maxvvmmjjjj(3.23)根据式(3.20)、(3.18)、(3.19) 和 (3.23)，(v0)的取值为0maxmin0max0maxmin0min,(),xyvxvyvxyvx yxydxdy)(3.22)于是，相平

15、面微分方程变为yxx。其中0maxminmax0max0minmin0( ),0;,;dyyxyvdxydyxdxxdyyvxdxvxdyxdxv 当当(3.25)(3.26)方程（3.25）决定了几乎整个相平面上的相轨迹分布；方程（3.26）决定了直线 y = v0 上的相轨迹或直线 y = v0 附近的相轨迹的走向。与方程（3.25）对应的相轨迹方程（能量积分）为00202022),)(2vyxxyxyxy(3.27)因为上式右端第二项的值近似为零（参见图3.13），即000max0( )()0, ( )()0y vy vy xxyxx00max0max20202200202022),()

16、( 2)(2),)(2vyxxyxxxyxyvyxxyxyxy于是方程（3.28）为两个圆方程上叠加一个摄动项，摄动项将决定相轨迹是向圆内收缩、向圆外发散或在圆周附近振荡。方程（3.26）决定了相点到达y = v0 这条直线上以后的相轨迹及其走向。其中的第一个方程规定了相轨迹为一个直线段，第二、第三个方程规定了相轨迹穿越直线y = v0 的斜率。上式写成即2max0202220202100max222max2002122)(,),()( 2)(),)(2xyRxyRvyxxyRxyvyxxyRxy其中：(3.28)根据方程（3.28）、（3.26），辅之以Lienard方法可以定出相轨线的近似

17、形状。易知，辅助曲线 穿过相平面的原点，当v0值适当时，辅助曲线从一、三象限穿过原点，此时原点为不稳定焦点，原点附近的相轨线发散。另一方面，由方程（3.26）的第一个方程知道， 从P1( ymax, v0)、P2( ymin, v0)两点之间的任意点出发，将沿直线 y = v0运动到P2( ymin, v0)点，再按方程（3.28）的第一个方程运动回到P1P2线段上的D1点，最后按D1 P2 D2 D1的轨迹作周期运动，因而构成极限环。如图3.14。( )xy 图3.14近似相轨迹圆心D1D2极限环0yv1max0(,)Pv( )xy 2min0(,)Pvy3. 管内流体喘振有些输水管道系统中

18、，当拧开水龙头时，水管会剧烈振动并发出噪声，这种现象称为流体的喘振，这是管内流体自激振动造成的。图3.15为喘振的力学模型。设水泵通过导管1将水注入容器2，导管的长度为l，容器内的水面高度为h，导管和容器的横截面积分别为S1、S2，导管左右dFPPSvlS)(2111导管内水流的流速流量关系为 vSq1(3.29)两端的压强分别为P1、P2，水的密度为，流速为v，管内阻力为Fd。应用动量定理得导管内流体的动力学方程为图3.15压强P1和管内阻力Fd均为流速v的函数，因而也是流量q的函数。令)()(11qfFqPSd(3.30)函数f (q)的实验曲线如图3.16。压强P2取决于容器内水面的高度

19、h2Pgh(3.31)设q0为容器的出水流量，由流体的连续性条件得02qqhS(3.32)方程（3.29）对t求导，并将(3.30)(3.32)代入，得0)()(021qqlSgSqlqfq (3.33)系统的平衡点为 qs = q0 ，将f(q)在 q0 附近展开，得图3.163030320202000)()()()()()()()(qqdqqfdqqdqqfdqqdqqdfqfqf如果系统参数和特性的组合恰好使得 df 2(q0) /dq2 = 0，也就是q0恰好是f (q)的拐点，于是得23030030303030003)()()()(,)(,)()()()()()()(bxadxqdf

20、dqdxdxqdfqfdqqfdbdqqdfaqqxbxaxqfqqdqqfdqqdqqdfqfqf因此其中代入（3.33），得2202102(1)03,xxxxS gablaS l其中(3.34)方程（3.34）是van der Pol方程，因此喘振现象可用van der Pol方程的极限环解释。3.4 张驰振动现在我们来考察Rayleigh方程(3.1)中 为大参数的情况。不失一般性，仍然考虑 0 = 1、 = 1的情况(3.35)2(1)0 xxxx引入变换xyx,/x，得2(1)yyyxyxx相轨迹微分方程为yyyddyxx)1 (22(3.37)由于 很大，因此只要 y(1 y2)

21、x 0 , 就可认为近似有dy / dx ，也就是只要相点不落在曲线 y(1 y2) = x 附近，将近似沿相平面上的铅垂线运动；当相点到达(3.36)yx xx = y(1-y2)yx x极限环图3.17ABCD曲线 y(1 y2) = x 附近时，相轨迹的斜率急剧变为零，相点被吸引到曲线 y(1 y2) = x 上，沿该曲线运动到曲线的极值点，然后沿近似铅垂线跳跃到曲线 y(1 y2) = x 的另一侧，接下去，重复沿曲线 y(1 y2) = x 和沿近似铅垂线的跳跃运动，因而构成极限环，如图3.17。相点在 AB 线段上运动的时间：可见，近似极限环由两段铅锤线BC、DA，和两段y(1 y

22、2) = x 曲线AB、CD 构成。下面，我们来估计相点在AB 线段和BC 线段上运动的时间。20003ABABABBATTTyABydddyy dyTdtyyxxxy B 对应于dx / dy = 0 ，即2301/3BBByyy所以2(1)2/3 3BBByyx2/3 3ADBxxx 进而2(1)2/3AAAAyyyx(3.38)21/ 32/ 33(3)3(ln2)0.8072BAyABydyy dydyTydyyy所以2002 (1)11( )(1)2/3 3BCBCCBCCBBTTyBCyByyyydydyTdtyyydyG y dyyyx相点在 BC 线段上运动的时间：1/3,2/

23、3BCAyyy 而其中21( )(1)2/3 3G yyy(3.39)(3.40)2/ 311/ 30.3113.021( )( )BCTG y dyG y dyG( y )y 曲线如下图所示， G( y )在 yB 和 yC 的值为，这是由于假设了相轨线 BC 为直线造成的，而实际上相轨线 BC 并非为直线，且BC 与曲线 y(1 y2) = x 的衔接有一个光滑的过渡过程。因此，在计算式（3.40）的积分时，需要排除G( y )在 yB 和 yC 的奇异区间，从下图可见，我们取非奇异积分区间为 0.3 1，由此，对式（3.40）作数值积分，得G ( y )y 曲线-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8-60-40-200G( y )yyByC(3.41)由于 很大，由式（3.39）和（3.41）可见， 有TAB TBC对极限环上的CD和DA段有相同的结果。因此在自激振动的一个周期中，有非常明显的快、慢交替运动。将速度时间曲线画出，是类似于锯齿的锯齿波，如图3.18。这种一张一弛的振动称为张驰振动。ty图3.18 = 10.0张驰振动的的过程，从物