初中八年级数学培优竞赛第22讲 相似三角形的性质

1、第22讲 相似三角形的性质一个专心钻研教材的老师能够拿出一个有意义的但是又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。 -玻利亚知识纵横两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系。1、 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；2、 相似三角形周长之比等于相似比；3、 相似三角形面积之比等于相似比的平方。以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野。例题求解【例1】如

2、图，在四边形ABCD中，ADBC，BE平分ABC交CD于E，且BECD，CE：ED=2：1如果BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是_.思路点拨 平分线与垂直重合，为构造全等三角形创造了条件，解题的关键是将线段比转化为面积比。【例2】如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A、 B、 C、 D、思路点拨 充分运用直角构造相似三角形。【例3】如图，已知ABC的面积为s，周长为p，ABC的三边在ABC外，且与对应边的距离均为h，求ABC的周长的面积。 （上海市竞赛题）思路点拨 对应顶点的连线是ABC三个内角的平分线，设它们的交点为I，可以

3、证明I也为ABC三个内角平分线的交点，设I到ABC、ABC距离分别为r、r，则r=r+h，且，这是解本题的关键。【例4】如图，在ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形t1、t2、t3的面积分别为4、9和49，求ABC的面积。 （美国数学邀请赛试题）思路点拨 图中有相似三角形、平行中边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换，追求形式上的统一。、【例5】如图，已知ABC中，O是三角形内一点，满足BAO=CAO=CBO=ACO，求证：BC2=AC·AB。 （2011年北京大学自主招生试题） 例6如图，已知

4、正方形EFGH内接于ABC，ADBC于D，设BD=a,AD=h,EH=x.（1） 求证：；（2） 求证:学力训练基础夯实1、如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB=2cm，CD=6cm,点P到CD的距离为2.7cm，则AB与CD之间的距离是_. (芜湖市中考题)2、如图，要将等腰RTABC沿BC方向平移得到A1B1C1，若BC=，SPB1C=2，则BB1=_. 3、在 ABCD中,点E在AD上,且AE:ED=3:1,CE的延长线与BA的延长线交于点F,则为_.4、如图， ABCD中，ABAD，AE，BE，CM，DM分别为DAB，ABC，BCD，CDA的平分线，

5、AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM若 ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM=_cm，AB=_cm5、已知ABCABC，ABC的面积为6cm2，周长是ABC的一半，AB=8cm，则AB边上的高为（ ）A、 3cm B、6cm C、9cm D、12cm (南通市中考题)6. 如图，已知ABC的面积是12，点E、I分别在边AB、AC上，在BC边上依次作了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，KHIJ，则每个小正方形的边长为()A、 B、 C、 D、 7、 如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形；在等腰直角三角形中，作内接正方形；在等腰直角三

6、角形中，作内接正方形；依次作下去，则第n个正方形的边长是（）A、 B、 C、 D、有这种培优竞赛讲义一整套 小学初中的 含答案 最新的 需要的 可以联系我 468453607微 信案找我要 8、如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（ab）下列结论：BCGDCE；BGDE；其中结论正确的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个 9、 将一副三角尺（在RtABC中，ACB=90°，B=60°，在RtDEF中，EDF=90°，E=45°）如图摆放，点D为

7、AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C（1）求ADE的度数；（2）如图，将DEF绕点D顺时针方向旋转角（0°60°），此时的等腰直角三角尺记为DEF，DE交AC于点M，DF交BC于点N，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由10、如图，在ABC中，AB=5，BC=3，=4，PQAB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。（1）当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；（2）当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP长；（3）试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若

8、存在，请求出PQ长。11、(1)同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6m，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，求木杆PQ的长度为_m。（2）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2m的标杆CD和EF，两标杆相隔52m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4m到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是_米能力拓展12、如图，一个含30°角的直角三角形，它的

9、斜边AB=8cm，里面空心DEF各边与ABC的对应边平行，且各对应边距离都是1cm，那么DEF的周长是_cm.13、如图，在ABC中，DEFG，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为20cm2、40cm2、80cm2，则ABC的面积为_.14、如图，ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b的代数式表示为_. (第19届江苏省竞赛题)15、如图，正方形ABCD中，AE=EF=FB，BG=2CG，DE、DF分别交AG于P、Q，以下说法中不正确的是（ ）A、AGFD B、AQ：QG=6：7 C、EP：PD=2：11 D、S四边形

10、GCDQ：S四边形BGQF=17：9 （重庆市竞赛题）16、如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DEAM于E，则DE=（ ）A、 B、 C、 D、 （山东省竞赛题）17、如图，ABC中，AB=AC，A=36°，CD是C的平分线，则DBC的面积与ABC的面积之比是（ ）A、 B、 C、 D、 18、 如图,矩形ABCD中,ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F （1）当PEAB,PFBC时,如图1,则

11、0;的值为_ ； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转（0°60°）角,如图2,求的值； （3）在（2）的基础上继续旋转,当60°90°,且使AP：PC=1：2时,如图3, 的值是否变化?证明你的结论19、如图，锐角ABC中，ADBC于D，H是线段AD上一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB为E、F。过点E作EPBC分别交CF、BC于点M、P，过点F作FQBC分别交BE、BC于点N、Q，求证：（1）； （2）EDH=FDH。 20、已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G （

12、1）如图，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证； （2） 如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； （3） 如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，BAD90°，DECF，请直接写出的值综合创新21、 如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，BC=10cm，AD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t0）.（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整