人教九年级数学旋转—旋转基础知识及专题word版含答案

1、旋转及综合专题一、旋转相关定义1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等。4、把一个图形绕着某一点旋转180° ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连

2、线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。6、把一个图形绕着某一点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。二、旋转相关结论如 图 ， 将 DABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 a 角 到DAB1C1 。点 B 和点 B1 为对应点，点C 和C1 为对 应点。结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段 BB1 的垂直平分 线l1 、线段CC1 的垂直平分线l2 都经过旋转中心点 A 。利用这个结论我们可以利用

3、对应点坐标求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。结论 2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角a。如图， DABB1 和 DACC1 均为等腰三角形， ÐBAB1 = ÐCAC1 = a。结论 3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图， DBAB1 DCAC1 。结论 4：旋转前、后图形全等。如图， DABC DAB1C1 。示例 1：已知 A(-3,2) 、O(0,0) ，将线段OA 绕点 P 旋转得到线段O1 A1

4、 ，其中O1 (-1,-1) 、A1 (-3,-4) ，O1 为点O 的对应点， A1 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段 AA1 和线段 OO1 的解析 式，然后联立即可求出点 P 的坐标。解析： A(-3,2) ， A1 (-3,-4) 直线 AA1 : x = -3直线 AA1 的垂直平分线l1 : y = -1 O(0,0) ，O1 (-1,-1) 直线OO1 : y = x直线OO1 的垂直平分线l2 : y = - x - 1点 P 为 l1 与 l2 的交点，联立：，可得： P(0,-1) 。点 P 的坐标为 P

5、(0,-1) 。附：在直角坐标系中求线段的垂直平分线的方法（必须掌握知识点） 已知点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) ，求线段 AB 的垂直平分线l 。 处理方法如下：第一步：根据点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) 的坐标首先求出直线 AB 的解析式：l1 : y = k1 x + b1 。第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 。以为 l2 l1 ，所以k1 · k2 = -1 ，从而求出k 2 = -，因此线段 AB 的垂直平分线l 的解析式转化为：第三步：根据中点坐标公式直接写出

6、线段 AB 中点 M (,) 。分析：既然直线l 为线段 AB 的垂直平分线，所以直线l 经过线段 AB 的中点，也即线段 AB 的中点在直线 l 上。第四步：将线段 AB 的中点 M (,)代入 l : 中求出 b2 的值。最后将 b2 的值代入中即可求出线段 AB 的垂直平分线的解析式。示例：已知点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，求线段 AB 的垂直平分线 l 。处理方式如下：第一步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得直线 AB 的解析式 l1: y = - x + 3 。第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 。以为

7、l2 l1 ，所以k1 · k2 = -1 ，从而求出k 2 =2 ，因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为：l : y = 2 x +b2 。第三步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得线段 AB 的中点 M (0,3) 。 第四步：将点 M (0,3) 代入 l : y = 2 x +b2 中可得 b2 = 3 。 因此，最终可得线段 AB 的垂直平分线为 l : y = 2x + 3 。提醒：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三、点绕点旋转90° 问题此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从

8、而求出对应 点坐标。示例：将点 A(-3,4) 绕点 P(-1,1) 逆时针旋转90° ，求点 A 的对应点 A1 的坐标。 分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段的夹角。因此有 PA = PA1 。由于旋转角为90° ， 即 ÐAPA1 = 90° ， 因 此 我 们 可 以 就 斜 边 PA = PA1 ，以平行于坐标轴的线段构造两个 直角三角形。很显然，这两个直角三角形时全等三角形。然后利用直角边线段长度关系 即可求出点 A1 的坐标。解析：如图，过点 P 作直线l 平行于 x 轴交 y 轴于点 B ，过点 A 作 AM l 于 M ，过点 A1

9、作 A1 N l于 N 。易证 DAMP DPNA1 （ ASA ），则有： AM = PN ， PM = A1 N 。 A(-3,4) ， P(-1,1) AM = 3 ， PM = 2 ， PB = 1 N (2,1) A1 (2,3) 。四、旋转示例解析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转）在解决旋转相关题型时，最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合，从而利用等 腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再利用旋转知识 解决相关问题。因此，在处理此类题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰 三角形，尤其注意等腰直角三角形、等边三角

10、形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。以下通过一些实例来帮助同学们理解如何利用等腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在 的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。例 1：已知如图 DACB ，ÐACB = 90° ， AC = AB ， PA = 3 ， PC = 2 ， PB = 1 ，求 ÐBPC 的度数？ 分析：这里明显可以判断 DACB 为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重 合，构造全等三角形。图（1）图（2）解析：图（1）中是将等腰直角三角形 DACB 的一腰 AC

11、绕点 C 逆时针旋转90° 与另一腰 BC 重合，从而带动 DCAP 逆时针旋转90° 至 DCBH ，可得：DCAP DCBH ，CP = CH，ÐHCP = 90°，PA = BH = 3 ÐCPH = 45° ， PH =2PC = 2 PH 2 + PB 2 = BH 2 ÐHPB = 90° ÐBPC = 135°图（2）中是将等腰直角三角形 DACB 的一腰 BC 绕点 C 顺时针旋转 90° 与另一腰 AC 重合，从而带动 DCPB 逆时针旋转90° 至 DCH

12、A ，可得 DCPB DCHA ，可得 ÐCHP = 45° ，再利用勾股定理证ÐPHA = 90° 即可。例 2：已知，如图所示，等腰 RtDACB ，ÐACB = 90° ， D 为 DACB 外一点， 且满足 ÐADC = 45° ， AD = 3，CD = 4 ， 求 BD 的值？分析：这里已知等腰 RtDACB ，可以将 等腰 RtDACB 的一腰 BC 顺时针旋转90° 与 另一腰 AC 重合，从而带动 DDCB 顺时针旋转90° 至 DHCA 。解析：将 DDCB 绕点C 顺时针旋

13、转90° 至 DHCA 。则有， DDCB DHCA ， DC = HC，ÐDCH = 90°，ÐHDC = 45°，DH = DC = 4又 ÐADC = 45° ÐHDA = 90° ，最后利用勾股定理可以求出 AH 的值，也即 BD 的值。例 3：已知如图， DABC 为等边三角形， PA =， PB = 3 ， PC =，求 ÐAPC 的度数？分析：这里已知 DABC 为等边三角形，符合旋转条件，可以将 DABC 一边 AC 顺时针旋转 60° 与另一边 AB 重合 解析：将

14、DAPC 绕点 A 顺时针旋转 60° 至 DAHB ，则 DAPC DAHB，AP = AH，ÐHAP = 60°，PC = HB = DAHP 为等边三角形 HP = PA = HB 2 + HP 2 = PB 2 ÐBHP = 90° ÐAPC = ÐAHB = 150° 。例 4：已知如图，四边形 ABCD ，ÐADC = 60° ，ÐABC = 30° ，且 AD = AC ，求证：AB 2 + BC 2 = BD 2 。 分析：这里实际可知 DADC 为等边三角形

15、，满足旋转条件。解析：将 DADB 绕点 A 逆时针旋转 60° 至 DACH 。 可得 DABH 为等边三角形，又 ÐABC = 30° 从而可得 ÐCBH = 90° ，直角三角形就 可以使用勾股定理了。例 5：如图，已知等边 DABC ，点 D 为 DABC 外一点，且满足 ÐBDC = 120° ，试问，BD，DA，DC是否有确定的数量关系？分析：这里 DABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析：将 DABD 绕点 A 逆时针旋转 60° 至 DACH 。 则有， DABD DACH ， ÐAB

16、D = ÐACH 。DADH 为等边三角形 DA = DH ÐBDC = 120° ， ÐBAC = 60° ÐABD + ÐACD = 180° ÐACH + ÐACD = 180° D，C，H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分） DA = DC + DB 。变式拓展：如图已知等边 DABC ，点 D 为 DABC 外一点，但 ÐBDC 大小不确定，BD = 3 ，DC = 4 ， 试问 DA 的最大值为多少？分析：这里 DABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析：将

17、DABD 绕点 A 逆时针旋转 60° 至 DACH 。 则有， DABD DACH ， DADH 为等边三角形 CH = BD = 3 ， DA = DH DH £ DC + CH DA £ 7 。 DA £ DC + CH例 6：如图，已知正方形 ABCD ， E 为正方形 ABCD 外一点， AE = 2， DE = 1 ，求 CE 的最大值？分析：这里出现了正方形 ABCD （正方向可以看成是两个 等腰直角三角形组合而成），符合旋转条件。解析：将 DEDC 绕点 D 顺时针旋转90° 至 DHDA ，则有：DEDC DHDA ，CE =

18、 AH ， DE = DH ， ÐEDH = 90° EH =2DE = AH £ AE + EH = 2+=3 CE £ 3 五、旋转相似旋转相似是比较难的一种变换模式，难就难在不易发觉更不易构造，掌握起来比较难。 两个相似三角形绕某一点旋转，必然出现一对新的相似三角形。如图， DABC DAB1C1 ，则有 DABB1 DACC1 。证 明 ： DABC DAB1C1 ÐBAC = ÐB1 AC1 ，ÐBAB1 = ÐCAC1 DABC DAB1C1 DABB DACC例 1：如图，已知 DABC 为等边三角形

19、， D 为 AB 的中点， DE = 1 ， EA = 2 ，求CE 的最大值？分析： DABC 为等边三角形， D 为 AB 的中点，则ÐACD = 30° ， DADC 为直角三角形，可以利用这个ÐACD = 30° 特殊角进行构造相似三角形。 解析：连 CD ，则CD AD ，且 AC = 2 AD ，即。构造 RtDAEH ，使得则 RtDADC RtDAEH ÐDAC = ÐEAH = 60° ÐEAD = ÐHAC又 DAHC DAEDCH = 2DE = 2 ÐEAH = 60&#

20、176;，ÐAEH = 90° EH = AE = 2 CE £ EH + CH CE £ 2+ 2 。小结：这里可以看出 RtDADC RtDAEH ，则 DAHC DAED 。例 2：如图，已知 RtDABC 中， ÐACB = 90° ， CD = 3 ， AD =，求 BD 的最大值？分析：这里 DACB 为直角三角形，。可以利用这个直角三角形直角边的比构造相似三角形。解析：过点 C 作 CH CD ，且满足，连 DA，AH 。则有： RtDACB RtDHCD 。 ÐACH = ÐBCD又 DDCB DH

21、CA BD = AH又 AH £ DH + DA ， DH = CD = 3 AH £ 4 BD £ 2小结：这里 DACB DHCD ，则有 DDCB DHCA 。六、旋转的四种模型（仅作了解）（1）绕点模型 普通绕点模型很容易看出旋转中心，一般在等腰三角形尤其是特殊的等腰三角形中可以绕顶点进行旋转，使两腰重合，从而构造三角形全等来解题。AB = AC ，则有： BC = CD ，则有： CB = CA = CD ，则有：DBAM DBCN DBCM DDCN DCBE DCAF示例：如图，正方形 ABCD 内有一点 P ， PA =1 ， PA = 2 ， P

22、C = 3 。（1）求 PD 的长；（2）求 APB 的大小；（3）求正方形的边长。分析：此题中出现了正方形，由于正方形四条边长度相等，四个角均为直角，很适合利用旋转来 作答。解析：（1）过点 P 作 MN/ / AB 交 AD 于 M ，交 BC于 N 。则有四边形 ABNM 、四边形 DCNM 均为矩形 AM = BN ， DM = CN在 RtPAM中有： PA 2 = AM 2 + PM 2 ；在 RtPNC 中有： PC 2 = CN 2 + PN 2 ；在 RtPBN 中有： PB 2 = BN 2 + PN 2 ；在 RtPDM 中有： PD 2 = DM 2 + PM 2 ； PA 2 + PC 2 = PB 2 + PD 2又 PA =1， PA = 2 ， PC = 3 PD =。（2）将 PBC 绕点 B 逆时针旋转90° 得 DEBA ，则有 DPBC DEBA ， BE BP BE = BP ， AE = PC = 3 ， PE = PB = 2， ÐBPE = 45° PA 2 + PE 2 = 12 + (2)2 = 9 = AE 2 DAPE 为直角三角形 &