二次函数分类知识点考点典型例题与练习

1、二次函数分类知识点、考点、典型例题及对应练习题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数的图像的顶点坐标是（ ） A（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是若b24ac0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3若b24ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。当c=5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx

2、+c=0有两个相等的实数根。若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，SABC=6，则抛物线解析式为y=x25x+4。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。若抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。若ab+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a0）必过一定点。若b23ac，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴一定没有交点。若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。若b=0，

3、则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。点拨：本题主要考查二次函数图象及其性质，一元二次方程根与系数的关系，及二次函数和一元二次方程二者之间的联系。复习时，抓住系数a、b、c对图形的影响的基本特点，提升学生的数形结合能力，抓住抛物线的四点一轴与方程的关系，训练学生对函数、方程的数学思想的运用。题型2 二次函数的性质例3 若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）Ay1 <y2 B. y1 =y2 C. y1 >y2 D.不确定点拨：本题可用两种解法

4、 解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大 解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值 再把横坐标值代入求出y1 与y2 的值，进而比较它们的大小【举一反三】变式1：已知二次函数上两点，试比较的大小变式2：已知二次函数上两点，试比较的大小变式3：已知二次函数的图像与的图像关于y轴对称，是前者图像上的两点，试比较的大小ADBC题型3 二次函数的图像例4 如图所示，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶

5、点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形的边长为x，且0<x10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图像时（ ）10100A10100B10100510010 C D题型4 二次函数图像性质（共存问题、符号问题）例5、（2009湖北省荆门市）函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）A B C D点拨：本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C例6 已知=次函数yax+bx+c的图象如图则下列5个代数式：ac，a+

6、b+c，4a2b+c， 2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A2 B 3 C、4 D、5点拨：本题考查二次函数图像性质，a的符号由开口方向确定，b的符号由对称轴和a共同决定，c看其与y轴的交点坐标，a+b+c，4a2b+c看x取某个特殊值时y的值可从图像中直观发现题型5 二次函数的平移例7.将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）ABCD题型6 二次函数应用销售利润类问题例8 某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x元（x为10的正整数倍），每周销售

7、量为y件 。 求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。 如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？每周的最大利润是多少？点拨：销售总利润=销售量×(售价-进价)本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。复习时注意，自变量的取值限制条件：如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。题型7 二次函数与几何图形综合(面积、动点)例9 已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三

8、角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由yxO 图2点拨：本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。面广，知识综合性强。复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。【基础达标训练】一、选择题1. (2009年四川省内江市)抛物线的顶点坐标是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）2.（2009年桂林市、百色市）二次函数的最小值是（ ）A2

9、 B1 C3 D3.(2009年上海市)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）ABCD4.(2009年陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴【 】x1012y12A只有一个交点B有两个交点，且它们分别在y轴两侧xyO1C有两个交点，且它们均在y轴同侧5.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：；方程的两根之和大于0；随的增大而增大；，其中正确的个数（）A4个 B3个 C2个 D1个6. 二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A BC D不能确定yxOyxOBCyxOAyxOD1Oxy7.

10、 （2009烟台市）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）8.（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒。9. (2009年南充)抛物线的对称轴是直线（ ）ABCD10. （2009年遂宁）把二次函数用配方法化成的形式A.B.C.D.二、填空题11.（2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，

11、水面宽4m如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_图6（1） 图6（2）12. (2009年上海市) 把抛物线yax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是yx3x+5，则a+b+c=_13. （2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 过点；当时，y随x的增大而减小；当自变量的值为2时，函数值小于214.（2009年娄底）如图7，O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是.15. （2009白银市）抛物线的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，（对称轴方程

12、，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）16. （2009年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2 17. （2009年黄石市）若抛物线与的两交点关于原点对称，则分别为18、（2009年兰州）二次函数的图象如图12所示，点位于坐标原点， 点， 在y轴的正半轴上，点， 在二次函数位于第一象限的图象上，若,，都为等边三角形，则的边长 . 三、解答题19.（2009年内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次

13、函数，且时，；时，（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围20.( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0x30)。y值越大，表示接受能力越强。 (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是什么？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？ 21.（2009仙桃）如图

14、，已知抛物线yx2bxc经过矩形ABCD的两个顶点A、B，AB平行于x轴，对角线BD与抛物线交于点P，点A的坐标为(0，2)，AB4(1)求抛物线的解析式；(2)若SAPO，求矩形ABCD的面积22. 抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明

15、理由.【能力提高训练】23如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，将此三角板绕原点顺时针旋转，得到（1）如图，一抛物线经过点，求该抛物线解析式；32112AO第23题图Bxy（2）设点是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形的面积达到最大时点的坐标及面积的最大值24(12分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2bxc(a0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OBOC，tanACO(1)求这个二次函数的解析式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；Cxx

16、yyAOBEDACBCDG图1图2(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，AGP的面积最大？求此时点P的坐标和AGP的最大面积.25.（2009年湖南长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元该产品每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示（1）求月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式；（2）当销

17、售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润销售额生产成本员工工资其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？421406080x（元）（万件）y26. 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，已知ADAB3，BC4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；(2)

18、当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；ABCDQMNP(第25题图)(4)探究：t为何值时，PMC为等腰三角形？专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-，顶点坐标是（-，）.例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图像交于点（1）求、的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶

19、点坐标. 考点2.抛物线与a、b、c的关系yxO 图1抛物线y=ax2+bx+c中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.例2 已知的图象如图1所示，则的图象一定过（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax2+k（a0）的图象可由抛物线y=ax2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a

20、（x-h）2（a0）的图象可由抛物线y=ax2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ）A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2专题练习一1.对于抛物线y=x2+x，下列说法正确的是（ ）A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时，y的最大值为-4D.抛

21、物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）图23.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是_.4.小明从图2所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：；，你认为其中正确信息的个数有_.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.ABCD 图1菜园墙考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，设边长为米，则菜园的面积（单位：米）与（单位：米）的函数关系式为（

22、不要求写出自变量的取值范围）考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0）.例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1

23、.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（ ）图2A.y=2a（x-1） B.y=2a（1-x） C.y=a（1-x2） D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tanACO=，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时

24、y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点，（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移个单位，使得该图象的顶点在原点专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax

25、2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0,a,b,c,为常数）的一个解的范围是（）6.176.186.196.20考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.4 图1二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x2+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x的一元二次方程-x2+3x+m=0的解为_.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函

26、数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（ ）A.3B.2C.1D.0 图2专项练习三1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是_.2.已知二次函数的部分图象如图2所示，则关于的一元二次方程的解为图33.已知函数的图象如图3所示，那么关于的方程 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根图44. 二次函数的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根（2）写出不等式的解集（3）写出随的增大而减小的自变量