平面向量典型例题

1、.平面向量经典例题：1. 向量a(1,2)，b(2,0)，假设向量ab与向量c(1，2)共线，那么实数等于()A2BC1 D答案C解析ab(，2)(2,0)(2，2)，ab与c共线，2(2)20，1.2. (文)向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)，假设a2b与c垂直，那么k()A1BC3 D1答案C解析a2b(，1)(0,2)(，3)，a2b与c垂直，(a2b)·ck30，k3.(理)a(1,2)，b(3，1)，且ab与ab互相垂直，那么实数的值为()ABC.D.答案C解析ab(4,1)，ab(13，2)，ab与ab垂直，(ab)·(ab)4(13)1×(2

2、)6110，.3. 设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，那么向量a、b间的夹角为()A150° B120°C60° D30°答案B解析如图，在ABCD中，|a|b|c|，cab，ABD为正三角形，BAD60°，a，b120°，应选B.(理)向量a，b满足|a|1，|ab|，a与b的夹角为60°，那么|b|()A.B.C.D.答案A解析|ab|，|a|2|b|22a·b，|a|1，a，b60°，设|b|x，那么1x2x，x>0，x.4. 假设·20，那么ABC必定是()A锐角三角

3、形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析·2·()·0，ABAC，ABC为直角三角形5. 假设向量a(1,1)，b(1，1)，c(2,4)，那么用a，b表示c为()Aa3bBa3bC3abD3ab答案B解析设cab，那么(2,4)(，)，ca3b，应选B.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，假设a，b，那么等于()A.abB.abC.abD.ab答案B解析E为OD的中点，3，DFAB，|DF|AB|，|CF|AB|CD|，a()a(ba)ab.6. 假设ABC的三边长分别为AB7，BC5，CA6

4、，那么·的值为()A19 B14C18 D19答案D解析据得cosB，故·|×|×(cosB)7×5×19.7. 假设向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，那么9x3y的最小值为()A12 B2C3D6答案D解析a·b4(x1)2y0，2xy2，9x3y32x3y26，等号在x，y1时成立8. 假设A，B，C是直线l上不同的三个点，假设O不在l上，存在实数x使得x2x0，实数x为()A1 B0C.D.答案A解析x2x0，x2(x1)0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1xx21，x0或1，当x0时，0，与条件矛盾

5、，x1.9. (文)P是边长为2的正ABC边BC上的动点，那么·()()A最大值为8 B最小值为2C是定值6 D与P的位置有关答案C解析以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，那么B(1,0)，C(1,0)，A(0，)，(1，)(1，)(0，2)，设P(x,0)，1x1，那么(x，)，·()(x，)·(0，2)6，应选C.(理)在ABC中，D为BC边中点，假设A120°，·1，那么|的最小值是()A.B.C.D.答案D解析A120°，·1，|·|·cos120°1，|·|2

6、，|2|22|·|4，D为BC边的中点，()，|2(|2|22·)(|2|22)(42)，|.10. 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中，那么的值为()A.B.C.D.答案A解析如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，那么EFDGBMNQ，易知，.11. 向量a(2,3)，b(1,2)，假设ma4b与a2b共线，那么m的值为()A.B2C2 D答案C解析ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由条件知(2m4)·(1)(3m8)×40，m2，应选C.12. 在ABC中，C90°

7、;，且CACB3，点M满足2，那么·等于()A2B3C4D6答案B解析·()·()···|·|·cos45°×3×3×3.13. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3，BD1，那么·_.答案解析由条件知，|3，60°，60°，··()··3×3×cos60°×3×3×cos60°.14. 向量a(3,4)，b(2,1)，那么a在b方

8、向上的投影等于_答案。解析a在b方向上的投影为.15. 向量a与b的夹角为，且|a|1，|b|4，假设(2ab)a，那么实数_.答案1解析a，b，|a|1，|b|4，a·b|a|·|b|·cosa，b1×4×cos2，(2ab)a，a·(2ab)2|a|2a·b220，1.16. ：|1，|，·0，点C在AOB内，且AOC30°，设mn(m，nR)，那么_.答案3解析设m，n，那么，AOC30°，|·cos30°|m|m，|·sin30°|n|n，两式相除

9、得：，3.17. (文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向一样的两个单位向量，且2ij，4i3j，那么OAB的面积等于_答案5解析由条件知，i21，j21，i·j0，·(2ij)·(4i3j)835，又·|·|·cos，5cos，cos，sin，SOAB|·|·sin，××5×5.(理)三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是_(只写序号)sinAcosA·<0b3，c3，B30

10、76;tanAtanBtanC>0.答案解析假设A为锐角，那么sinAcosA>1，sinAcosA，A为钝角，·<0，·>0，B为锐角，由B为锐角得不出ABC为锐角三角形；由正弦定理得，sinC，C60°或120°，c·sinB，3<<3，ABC有两解，故都不能得出ABC为锐角三角形由tanAtanBtanCtan(AB)(1tanAtanB)tanCtanC(1tanAtanB)tanCtanAtanBtanC>0，及A、B、C(0，)，ABC知A、B、C均为锐角，ABC为锐角三角形18. 平面向量

11、a(1，x)，b(2x3，x)(1)假设ab，求x的值(2)假设ab，求|ab|.解析(1)假设ab，那么a·b(1，x)·(2x3，x)1×(2x3)x(x)0，整理得x22x30，解得x1或x3.(2)假设ab，那么有1×(x)x(2x3)0，那么x(2x4)0，解得x0或x2，当x0时，a(1,0)，b(3,0)，|ab|(1,0)(3,0)|(2,0)|2，当x2时，a(1，2)，b(1,2)，|ab|(1，2)(1,2)|(2，4)|2.19. 向量a(sinx，1)，b(cosx，)，函数f(x)(ab)·a2.(1)求函数f(x)

12、的最小正周期T；(2)将函数f(x)的图象向左平移上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标解析(1)f(x)(ab)·a2a2a·b2sin2x1sinxcosx2sin2xsin2xcos2xsin(2x)，周期T.(2)向左平移个单位得，ysin2(x)sin(2x)，横坐标伸长为原来的3倍得，g(x)sin(x)，令xk得对称中心为(，0)，kZ.20. (文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m(ca，ba)，n(ab，c)，假设mn.(1)求角B的大小；(2)

13、假设sinAsinC的取值X围解析(1)由mn知，即得b2a2c2ac，据余弦定理知cosB，得B.(2)sinAsinCsinAsin(AB)sinAsin(A)sinAsinAcosAsinAcosAsin(A)，B，AC，A(0，)，A(，)，sin(A)(，1，sinAsinC的取值X围为(，(理)在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m(2bc，cosC)，n(a，cosA)，且mn.(1)求角A的大小；(2)求函数y2sin2Bcos(2B)的值域解析(1)由mn得(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0，

14、sin(AC)sinB，2sinBcosAsinB0，B、A(0，)，sinB0，A.(2)y1cos2Bcos2Bsin2B1cos2Bsin2Bsin(2B)1，当角B为钝角时，角C为锐角，那么<B<，<2B<，sin(2B)(，)，y(，)当角B为锐角时，角C为钝角，那么0<B<，<2B<，sin(2B)(，)，y(，)，综上，所求函数的值域为(，)21. 设函数f(x)a·b，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，sin2x)，xR.(1)假设f(x)1且x，求x；(2)假设函数y2sin2x的图象按向量c(m，n)(|m

15、|<)平移后得到函数yf(x)的图象，XX数m、n的值解析(1)依题设，f(x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)1，得sin(2x)，x，2x，2x，即x.(2)函数y2sin2x的图象按向量c(m，n)平移后得到函数y2sin2(xm)n的图象，即函数yf(x)的图象由(1)得f(x)2sin2(x)1.|m|<，m，n1.22. 向量(2cosx1，cos2xsinx1)，(cosx，1)，f(x)·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x0，时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值解析(1)(2cosx1，cos2xsinx1

16、)，(cosx，1)，f(x)·(2cosx1)cosx(cos2xsinx1)2cos2xcosxcos2xsinx1cosxsinxsin(x)，函数f(x)最小正周期T2.(2)x0，x，当x，即x时，f(x)sin(x)取到最大值.23. ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m(1,1)，n(cosBcosC，sinBsinC)，且mn.(1)求A的大小；(2)现在给出以下三个条件：a1；2c(1)b0；B45°，试从中选择两个条件以确定ABC，求出所确定的ABC的面积(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，那么按第一方案给分)解析(1

17、)因为mn，所以cosBcosCsinBsinC0，即cosBcosCsinBsinC，所以cos(BC)，因为ABC，所以cos(BC)cosA，所以cosA，A30°.(2)方案一：选择，可确定ABC，因为A30°，a1,2c(1)b0，由余弦定理得，12b2(b)22b·b·解得b，所以c，所以SABCbcsinA···，方案二：选择，可确定ABC，因为A30°，a1，B45°，C105°，又sin105°sin(45°60°)sin45°cos60

18、°cos45°sin60°，由正弦定理c，所以SABCacsinB·1··.(注意：选择不能确定三角形)(理)如图，O方程为x2y24，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，O交y轴于点N，且.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设F1(0，)、F2(0，)，假设过F1的直线交(1)中曲线C于A、B两点，求·的取值X围解析(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，代入xy4得，1.(2)当直线AB的斜率不存在时，显然·4，当直线AB的斜率存在时，不妨设AB的方程为：ykx，由得，(94k2)x28kx160，不妨设A1(x1，y1)，B(x2，y2)，那么，·(x1，y1)·(x2，y