线性系统的数学模型

1、学习要求：学习要求：1、掌握建立数学模型的一般原理，传递函数的概念， 对于不很复杂的系统能够写出传函；2、掌握方框图及信号流图化简原则，利用方框图或信号流 图求传函；3、掌握几种典型环节的传递函数；4、了解开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数（内容介绍：微分方程、传递函数、结构图、信号流图）学习内容：学习内容： 2-1 线性系统的微分方程线性系统的微分方程一、数学模型的概念工程的最终目的工程的最终目的是构建实际的物理系统，以完成某些规定的任务。 如一个实际的调速系统，温控系统等。采用的方法采用的方法可分为经验法和解析法去完成设计任务。 经验法经验法中依靠丰富的经验，加之试凑方法。对中依靠丰

2、富的经验，加之试凑方法。对比较简单系统，可得到满意结果比较简单系统，可得到满意结果. 对复杂系统，往往采用解析法对复杂系统，往往采用解析法。解析法的采用。解析法的采用其前题是应先建立其数学模型，即先建立描述这一其前题是应先建立其数学模型，即先建立描述这一系统运动规律的数学表达式。系统运动规律的数学表达式。1.1.建立数学模型的方法建立数学模型的方法解析法解析法( (机理机理) ) 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验辨识法实验辨识法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系

3、统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。 2. 几个概念几个概念 对一个复杂系统，建立数学模型一般较困难。（1）通常的办法是作一些简化系统的假设将系统理想化，一个理想化的系统称作物理模型物理模型。（2）物理模型的数学描述称作数学模型数学模型。（3）建模建模：通常指建立物理模型的数学模型经常遇到的一个问题是经常遇到的一个问题是准确分析出哪些物理变量和相互关系是可以忽略的，哪些对模型准确度有决定性影响。如：线性化问题线性化：线性化：实际物理系统一般均为非线性系统，只是非线性程度有所不同而已，许多系统在一定条件下可被近似视作线性系统，使问题得到简化。工程中一般的做法工程中一般的做

4、法是将模型简化为线性型，以线性模型为基础，求得系统的近似特性，必要时，再采用较复杂模型进一步研究。 （4）数学模型的描述方法数学模型的描述方法时间域：时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程复数域：复数域：传递函数、结构图频率域：频率域：频率特性注：注：微分方程（一般系统）;传递函数（研究输入输出关系线性定常系统）;图示方法（结构图、信号图）; 二、线性系统的微分方程二、线性系统的微分方程 一个完整的控制系统通常是由若干元器件或环节以一定方式连接而成的。 对系统中每个具体的元器件或环节按照其运动规律可以比较容易地列出其微分方程，然后将这些微分方程联立起来，可求出整个系统的微分方程

5、。控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型获取微分方程的步骤：获取微分方程的步骤： 1. 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量； 2. 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程； 3. 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程； 4. 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排序 建立数学模型的目的之一：是建立数学模型的目的之一：是为了用数学方法为了用数学方法定量地对系统进行分析。定量地对系统进行分析。当系统微分方程列出后，只要给定输入量的初始条件，便可以对微分方程求解。设：设：

6、给定量或扰动量为系统的输入量给定量或扰动量为系统的输入量 r , n 被控制量称为系统输出量被控制量称为系统输出量 y , c 系统的输出量在系统输入量作用下的变动过程称作系系统的输出量在系统输入量作用下的变动过程称作系 统的响应。统的响应。考查：考查：输入量、输出量之间微分方程描述的数学模型。输入量、输出量之间微分方程描述的数学模型。预备知识预备知识( )1( )( )( )( )1( )( )( )1ccccLLLLdu ti tCu ti t dtdtCdi tu tLi tu t dtdtLdFFkxk vdtvk dtdyFkvkdtdTkkdt1、电容、电容2、电感、电感3、弹簧弹

7、性力、弹簧弹性力4、阻尼器、阻尼器 平动阻尼器平动阻尼器 旋转阻尼器旋转阻尼器K:阻尼系数阻尼系数 F:阻尼力阻尼力 y:位移位移 w:旋转角速度旋转角速度 T:阻尼力矩阻尼力矩 5、牛顿定律、牛顿定律22dxdvd xFmavadtdtdt( )i ( )M ( )aamu ttt电枢电压电枢电流电磁转矩6、电机、电机电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程aaaa aaaemdi (t)u (t) = L+R i (t)+Edt Et= C (t) 电势反反（ ）电动机和负载折合到电动机轴上的两个变量：电动机和负载折合到电动机轴上的两个变量：电动机轴上的转矩平衡方程：Jmmf粘性摩擦系数转

8、动惯量( )J( )( )( )mmmmmcdtftMtMtdtt( )mcMt电动机转速（ ）折合到电动机轴上的总负载转矩例例1电机在 Ua作用下带动负载转矩为ML物体以w角 速度旋转。电枢控制式的直流电动机：MaRaLaefiauJicM 解：解：1输入量：Ua、ML 输出量：w2列写原始方程fmwiaCmMmwkawEaEadtdiaLaiaRaUadtdwJmMMm)ia( )( L成正比电磁转矩与成正比反电动势与电枢回路方程： 3消去中间变量ia , Ea , MmLLMCmRadtdMCmLaUawKaCmRafmdtdwCmJmRaLafmdtwdCmLaJm)(22从方程可看：

9、输入、输出及各阶导数之间无乘积关系 可见：方程线性输入、输出及各阶导数前系数为常数 可见：方程为线性定常系统。当ML =0（空载），ML =常数（固定负载）， 时 dtdw方程均有变化La =0时，且ML =常数LLKmMKmUawdtdwTaMCmRaUawKaCmRafmdtdwCmRaJm整理：)(用图示：电机uaMLw例例2直流电机的调速系统UaRaUrUwM LUt设La=0输入量Ur 、ML ，输出wKtwUtKmMKmUawdtduTaKeUaUtUreL列原始方程： 消去中间变量：LKmMKmKUrwKmKtKdtdwTa)1 (可见：系统为线性定常一阶系统 负载ML可视为特殊

10、输入量，ML =0时KmKUrwKmKtKdtdwTa)1 (一般考虑线性定常系统（单输入一般考虑线性定常系统（单输入单输出系统）表达式单输出系统）表达式)()()()()()()()(0111101111trbdttrdbdttrdbdttrdbtcadttcdadttcdadttcdammmmmmnnnnnn其中假定：ai(i=0,1,.n) bj(j=0,1,.m) 均为常数，且nm可见：可见： 微分方程是在时间域内描述系统动态性能的微分方程是在时间域内描述系统动态性能的 数学模型。数学模型。2-2 线性化线性化存在一类:非线性程度不严重或在一定范围内可近似为线性系统的非线性系统。可化为

11、线性系统处理。线性系统具有齐次性、叠加性。对非线性系统的线性化处理可使系统的设计和分析简化。就线性系统而言：分析和设计方法较简单，成熟。本课就是介绍线性系统分析与设计方法。（除第七章介绍本质非线性系统处理）线性化方法有三类： 1.忽略次要因素2.弦近似（以弧代曲）3.切近似常用切近似方法对非线性系统线性化。具体作法：在工作点附近进行泰勒级数展开。 设y=f(x),a为某工作点，a(x0,y0) y= f(x)202200)()(00 xxdxydxxdxdyyxxxx忽略二次以上高阶项)()(000000 xxdxdyyyxxdxdyyyxxxx可以在a附近，用直线代替了非线性特性a(x0 ,

12、 y0)xy2-3 传递函数传递函数前已叙述，可用微分方程描述系统运动状态，求解微分方程可得到系统的响应，方法直观。对一类特定的用线性定常微分方程描述的系统，可用拉氏变换方法分析、求解。引出传递函数概念。 复习拉普拉斯变换：复习拉普拉斯变换：拉普拉斯变换及其反变换的定义：拉普拉斯变换及其反变换的定义： 一个定义在0，即（0t）区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F（s）的定义为)()(0sFdtetfst式中s=+j为复数。F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。拉普拉斯变换简称为拉氏变换，F(s)又称为f(t)的拉氏变换式。记为拉氏变换是线性变换，满足叠加性和齐次性。)

13、()(sFtfL 如果F(s)已知，要求出它所对应的原函数f(t)，则由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它的定义为： dte )s(Fjjj)t (fst21为书写简便起见，通常可用记号“L ”表示对方括号里的函数作拉氏变换， 即)()(sFtfL用记号“L-1 ”表示对方括号里的函数作拉氏反变换， 即 1 ( )( )LF sf t常见的常见的L变换：变换： 原函数原函数f(t) 象函数象函数F(s) (t) 1 1(t) 1/S t n 1!nsn e- t 1/s+ sinwt w /w2+s2 coswt s / w2+s2 t n e- t n!/(s+) n+1 拉氏变

14、换的基本性质拉氏变换的基本性质 ： 性质性质1 唯一性：唯一性：由定义式所定义的象函数F(s)与定义在0，）区间上的时域函数f(t)存在着一一对应的关系。性质性质2 线性性质：线性性质： (线性定理)令f1 (t)和 f2 (t)是2个任意的时间函数，且它们的象函数分别为F1(s)和F2(s)，a和b是2个任意的常数， 于是： La f1 (t)+ b f2 (t)= a Lf1 (t)+ b Lf2 (t) = a F1(s)+ b F2(s) 性质性质3 （时域）导数性质（微分定理）：（时域）导数性质（微分定理）：原函数f(t)的象函数与其导数f(t)=df(t)/dt的象函数之间有如下关

15、系：Lf (t)=sF(s)-f (0)0()0( )0()()()0( )0()()(10210222nnnnnnfsfsfssFsdttfdLfssfsFsdttfdL式中的f (0)为原函数f (t)在t=0时的值。 性质性质4（时域）积分性质（积分定理）：（时域）积分性质（积分定理）： 原函数f (t)的象函数与其积分的象函数之间有如下关系01f(t)dt(0)f:, )0()()(1 -tsfssFdttfL其中性质5 卷积定理 : 设f1 (t)和 f2 (t)的象函数分别为F1(s)和F2(s)，则卷积 的拉氏变换为F1(s)F2(s)。性质性质6 延迟定理：延迟定理： sesF

16、tfL)()(性质7 相似定理： )()/(asaFatfLdttftf)()(21)()(limlim0sSFtfst性质性质8 初值定理：初值定理： 性质性质 9 终值定理：终值定理： )()(limlim0sSFtfstL氏变换用于求解线性定常微分方程（将微分运算化为代数运算）ttee)t(csssssSSS)SS(S)s(CSS)( C)(C)S(SSS)s(CSS)( C)(C)S(S)s(C)( C)(C)S(S)s(CSSs/)s(C)( CS)s(SC)( CS)(SC)s(CS)t(L)t(cL)t(cL)t(c)t(rL)t(c)t(c)t(c?)t(c:)t(r)t(c)

17、t(c)t(c322222220045136283223165122656650056566500560056656605001665L65L1(t)6r(t)2(0)c2,c(0) 652零输入响应零初值响应响应且初值求 注：注：零初值响应与输入及内部结构、参数有关。 对零初值响应的分析就是对系统内部结构、 参数的分析。 二、传递函数二、传递函数定义：定义：线性定常系统在零初始条件下，系统输出量的L氏变换与输入量L氏变换之比，称为该系统的传递函数G(s)C(s)/R(s)=G(s)设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：)()()()()()()()(0111101111trbdttrd

18、bdttrdbdttrdbtcadttcdadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)系统输出量； r(t)系统输入量； ai（i =0,1,n）和bj(j =0,1,m)与系统结构和参数 有关的常系数。 于是，由定义得系统的传递函数为0110111aSaSabSbSbSb)s(Gnnnnmmmm则有C(s)=G(s)R(s)用方框图表示： G(s)R(s) C(s)传递函数的性质：传递函数的性质： (1) 传递函数是复变量s的有理分式，其分子M(s)和分母N(s)的各项系数均为实数，由系统的参数确定。当传递函数为n阶时，即称为n阶系统阶系统。传递函数是物理系统的一种数学描述

19、形式，它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量无关与输入量无关。(2) 传递函数G(s)的拉氏反变换是单位脉冲响应 g(t)。 （传递函数是单位脉冲响应的L氏变换）C(s)=G(s)R(s) r(t)=(t) R(s)=1 C(s)=G(s) 1=G(s) C脉=L-1G(s)=k(t)-单位脉冲响应函数 (3) 服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用形式相同的微分方程描述一样，故它不能反映系统的物理结构和性质。传递函数只描述系统的输入输出特性，而不能表征系统内部所有状况的特性。(4) 传递函数是将线性定常系统的微分方程作拉氏变换后得到的，因此，传递函数的

20、概念只能用于线性定传递函数的概念只能用于线性定常系统。常系统。确定的传递函数与确定的零极点分布相对应。传递函数的零点和极点：传递函数的零点和极点： G(s) = C(s)/R(s)将上叙定义式的分子和分母分解因式，传递函数表达式又可表示为：mjjmiinm)zs()zs(*k)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs()s(D)s(N)s(G112121式中K放大系数； Zi为G(s)零点；Pj为G(s)极点。 传递函数分子多项式的根称为传递函数的零点，传递函数分母多项式方程，即传递函数的特征方程的根称为传递函数的极点。一般零点、极点可为实数，也可为复数，若为复数，必共轭成对出现。 传递函

21、数的求取方法很多，也很灵活，一般可由下列途径获得。 1、由系统的原理图求传递函数；2、由系统的微分方程求传递函数；3、由系统的结构图求传递函数；4、由系统的频率特性曲线求传递函数；5、由系统的响应曲线或响应的解析式求传递函数。传递函数的求取：传递函数的求取：三、典型环节三、典型环节 典型环节的传递函数 控制系统是由若干元部件或环节组成的，那么一个系统的传递函数总可以分解为数不多的典型环节的传递函数的乘积。 逐个研究和掌握这些典型环节的传递函数的特性，就不难进一步综合研究整个系统的特性。输出量与输入量成比例关系叫比例环节，也称为无惯性环节无惯性环节比例环节的微分方程为 y(t)= K x(t)

22、两边取拉氏变换得 Y(s)=K X(s) 比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 G(s)= Y(s)/ X (s)=KG(s)X (s) Y(s)方框图实际对象如：杠杆、放大器、传动链之速比、测速发电机的电压与转速1比例环节比例环节作用：能将输入信号放大或缩小的环节能将输入信号放大或缩小的环节2、惯性环节、惯性环节(一阶环节一阶环节) 这种环节具有一个储能元件一个储能元件，惯性环节的微分方程为)()()(tKrtytydtd式中 惯性环节的时间常数；K惯性环节的比例系数两边取拉氏变换得(S+1) Y(s)= K X (s)1/S+1X（S） Y（S）S Y(s)+Y(s)=K X (s)惯

23、性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为 G(s)=1/ s+1考查单位阶跃响应：设 x(t) = 1(t), 求 y(t)=?解：tetysssssxssy11)(111111)(11)(t=2时，y=0.87; t=3时， y(3)=0.95t , y=1t=0时，y=0 ； t= 时，y()= 0.75动态响应曲线： Amplitude Step Response 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 3、积分环节、积分环节积分环节的输出量等于输入量对时间的积分，即 xdty其传递函数 s)s(X)s(Y)s(G1式中 T积分时间常数。在单位阶跃信号作用下的响应为 : A

24、mplitude Step 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 1 2 3 4 5 4、微分环节、微分环节理想的微分环节是指输出量与输入量的一阶导数成正比的环节，其微分方程为： 式中 时间常数微分环节的传递函数为 dttrdty)( )(ssRsYsG)()()(5、振荡环节、振荡环节振荡环节的微分方程为 222nnnyw yw yw r振荡环节的传递函数为振荡环节的传递函数为 2222)(nnnwSwSwsG式中参数：振荡环节的阻尼比阻尼比。 wn 振荡环节的自然振荡角频率自然振荡角频率。 振荡环节及其动态响应曲线 Amplitude Step Respons

25、e 0 5 10 15 0 0.5 1 0=1振荡的强度与阻尼比有关，值越小，振荡越强；当=0时，输出量为等幅振荡曲线，振荡的频率为自然振荡频率, 值越大则振荡越小；当1时，环节输出量则为单调上升曲线；当01时，振荡环节的动态响应曲线具有衰减振荡特性。6、时滞环节、时滞环节时滞环节也称延迟环节延迟环节。输出为输入信号的延迟。数学表达式为 y(t)= r (t - ) 式中 纯滞后时间对上式求拉氏变换，可得0)(0)()()()(sRederdtetrsYssst式中 = t - 传递函数为（将时滞环节展开成泰勒级数，并略去高次项） G(s)=Y(s)/R(s)=e - s时滞环节及其动态响应曲

26、线 AmplitudStep Response 0 0.5 1 0 1 2 从简化后的传递函数来看，时滞环节在一定条件下近似为惯性环节。 时滞环节的动态响应如图所示，输出与输入波形相同，但延迟了时间，系统中有延迟环节时，可能使系系统中有延迟环节时，可能使系统变得不稳定统变得不稳定，且越大对系统的稳定越不利。四、一般传递函数获取骤四、一般传递函数获取骤 1.了解原理，找出输入r(t) , 输出 y(t)）2.列原始方程（各环节方程)3.消去中间变量4.在零初始条件下，取L变换，?)()(sRsY例例1 1、无源网络、无源网络 RLCUcUr改写成运算网络（用运算阻抗） 可见：Ur(s)=IR+I

27、SL+Uc(s)Uc(s)=1/SC I11112RCSLCSSCSLRSC)s(Ur)s(Uc 二阶系统 例2 运放组成环节的传递函数Z0ZfI1UrUfIfI1假设运放的输入阻抗很大，输出阻抗很小。 A可视为虚地，UA=0 I1+If=I1=0 ZoZfsUrsUfZfsUfZosUrIIf)()()()(1Z0、Zf的不同构成，可形成不同的典型环节或典型环节的组合。 A 例3 直流电机电枢控制积分环节RCSRCSUrUc11RUrUcC惯性环节12121212CSRRRRCSRRRUrUfRUrUfCR C当ML =0（空载），La =0时， 惯性环节1TaSKm)s(Ua)s(wKmU

28、awdtdwTa例4:直流电机调速系统当ML =0（空载）,La =0时， 惯性环节11111SKmKtKTaKmKtKKmK)KmKtK(TaSKmK)s(Ur)s(wKmKUrw)KmKt(dtdwTa可看到： 不同的物理系统，可得到系统的数学模型。数学模型相同的物理系统，称为相似系统相似系统。相似系统具有相同的内在运动规律。 在以后的分析中，可能不顾及具体的物理系统，而偏重于其数学模型的分析。特别说明：特别说明： 线性系统是由各典型环节组成，典型环节概念只适用于能用线性定常数学模型描述的系统。 （控制系统是由一些典型环节组成的，将各环节的传递函数框图，根据系统的物理原理，按信号传递的关系

29、，依次将各框图正确地连接起来，即为系统的方框图。) 方框图是系统的又一种动态数学模型方框图是系统的又一种动态数学模型，采用方框图更便于求传递函数，同时能形象直观地表明各信号在系统或元件中的传递过程。2-4 方框图方框图 建立自动控制系统的传递函数的图示方法方框图（结构图、方块图）和信号流图。方框图（结构图、方块图）和信号流图。一、方框图的组成 信号线（物理量）：信号线（物理量）： 带箭头的线段。 表示系统中信号的流通方向，一般在线上标注信号所对应的变量。引出点：引出点：信号引出或测量的位置表示信号从该点取出。注意，从同一信号线上取出的信号，大小和性质完全相同。注意，比较点处信号的运算符号（正、

30、负）必须标明，一般不标明则取正号。比较点：比较点：表示两个或两个以上信号在该点相加（+）或相减（-）。方框方框：（环节）（环节）表示输入、输出信号之间的动态传递关系 Y（S）=G（S）X（S）方框图的特点方框图的特点1、依据微分方程或经拉氏变换得到的变换方程，可以方便地画出结构图。再经过结构图的等效变换，便可求出图中任意两信号（变量）间的传递函数。2、结构图对研究整个控制系统的动态性能及分析各环节对系统总体性能的影响，比较形象和直观。形象和直观。3、同一系统，可以画出不同形式的结构图，即结构图对所描述的系统来说不是唯一的唯一的。但是，经结构变换所得的结果应该是相同的，即同一系统的传递函数是唯一

31、的唯一的。4、结构图只包括与系统动态特性有关的信息，并不显现系统的物理结构，不同的物理系统有可能具有相同的结构图。方框图（也称结构图）的绘制步骤：方框图（也称结构图）的绘制步骤： 1、按照系统的结构和工作原理，分解出各环节，并写出它的传递函数。2、绘出各环节的动态框图，框图中标明它的传递函数，并表明其输入量和输出量。3、将系统的输入量放在最左边，输出量放在最右边，按照信号的传递顺序把各框图依次连接起来，就构成了系统的动态结构图。例2-5:画出图所示电路的方框图。RCUoUi1/RUi(s)Uo(s)I(s)1/CsUo(s)I(s)1/CsUo(s)1/RUi(s)Uo(s)I(s)解：根据电

32、路列出如下方程：在零初始条件下得：RsUsUsIoi)()()(CssIsUo)()(其相应方框如图所示将两个单元的方框图结合在一起，就可以得到如图所示的系统完整方框图。例2-6 图中为电枢电压控制的直流电动机,描述其运动方程为前例已得到微分方程零初始条件下，对式中两边取拉氏变换 )()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME 将同一变量的信号线连接起来，将输入Ua(s)放在左端，输出(s)放在图形右端，得系统方框图如图所示。 二、联接方式二、联接方式1.串联：串联：环节首尾相联的方式。 G1（s）X (s) U(s) Y

33、(S)G2（s）Y(S)=G2(S)U(S)=G2(S)G1(S)X(S)等效： G（s）X (s) Y(s)其中G（S）=G1(S)G2(S)2.并联：并联：环节输入信号相同，输出信号相加（减）G1G2X(S)Y(S)等效： G（s）X (s) Y(s)其中G（S）=G1(S)G2(S)3反馈联接反馈联接 G(s） H（s）R(s) C(s)E(s)B(s) 主通道：由输入信号开始经G(S)到输出通道称为主通道，也称前向通道前向通道。 反馈通道反馈通道：由取出点经反馈装置到主反馈 B(S)的通道称为反馈通道，也称反馈通路。可见：E(S)=R(S)-B(S)为偏差信号偏差信号。几个定义：开环传

34、递函数开环传递函数：主反馈信号与偏差信号之比 GK(S)=B(S)/E(S) B(S)=H(S)y(S)= H(S)G(S)E(S) B(S)/E(S)=H(S)G(S)=G(S)H(S)前向通路的传递函数：输出信号与偏差信号之比( )( ) ( )( )( )( )C sG s E sGoG sE sE s( )( )( )( )( ) ( )( )( ( )( )( ) ( )( )( ) ( )1( )( ) ( )( ) ( )( )( )1( )( )1BOKC sGsR sC sG s E sG s R sB sG s R sG s H s C sG s H s C sG s R

35、sGC sGR sG s H sG闭环传递函数：闭环传递函数：三、方框图变换与简化三、方框图变换与简化 变换前后，回路回路中的传递函数乘积不变 变换法则变换法则： 变换前后前向通路前向通路中的传递函数乘积不变途径：途径：移动比较点或引出点（首先考虑移动引出点） 关键：关键：解除方框图中出现的嵌套。 例： G1 G2 G6 G3 G4 G5 G7R(s)C(s)分析方框图中，出现三个环且其中两环出现交叉。 如解除交叉，则可方便简化可见：移动G6分支所在取出点，则可使问题简化。解： G1 G2 G6 G3 G4 G5 G7R(s)C(s) 1/G4 G1 G2 G3G41+G3G4G5 G7R(s

36、)C(s) G6/G4 G1 G7R(s)C(s) G2G3G4 1+G3G4G5 1+ G2G3G6 1+G3G4G5 G7R(s)C(s) G1G2G3G4 1+G3G4G5+G2G3G6 R(s)C(s) G1G2G3G41+G3G4G5+G2G3G6+G1G2G3G4G7 R(s) G1G2G3G4G7G2G3G6G3G4G51G1G2G3G4C(s) 引出点移动引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41请你写出结果请你写出结果,行吗？行吗？G2H1G1G3比较点移动比较点移动G1G2G3H1错！错！G2无用功无用功向同类移动向同类移动G1G1G4H3

37、G2G3H1作用分解作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1四、一般反馈控制系统的结构图四、一般反馈控制系统的结构图N(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)C(s)Eb1.传递函数传递函数 N(s)=0时(无扰动)，输入R(s)，输出C(s)()()()(1)()()( 12121sRsHsGsGsGsGsC G1G2 HR(s)C(s) R(s)=0时（无参数输入）)()()()(1)()(2212sNsHsGsGsGsC G2 HC(s) G1N(s)注意：注意：线性系统用叠加原理)()()(1)()()()()( )(1)(1 )()()(21221212212121sHsGsGsN

38、sGsRsGsGsNHGGGsRHGGGGsCsCsC称1+G1G2H（s）=0为特征方程。2.误差传递函数误差传递函数（误差响应，输入（扰动）)()()(G )()()(eNsNsEssRsEsGeR N(s)=0时（无扰动） E(s)=R(s)-B(s)= R(s)- H(s)C(s)= R(s)-H(s)G1(s)G2(s)E(s)()()(1)()(121sHsGsGsRsE G1G2 HR(s)C(s)E(s)B(s) R(s)=0时（无参数输入）)()(1)()()()()()()()()()()()(212212sNsHGGsGsHsEsEsGsNsGsHsCsHsBsE利用叠加

39、原理叠加原理：（R(s)、N(s)同时作用）)(1)(HGG11 (s)E(s)EE(s)2122121sNHGGHGsR G2C(s) G1N(s)E(s)B(s) H2-5 信号流图信号流图 采用2-4中的方法可使系统简化，但对复杂系统 其变换和化简过程往往繁琐而费时。本节介绍一种方法，可利用信号传递的网络信号流图，用公式求得系统中任意两变量之间的传递关公式求得系统中任意两变量之间的传递关系。系。一、构成用节点和有向线段表示系统的变量和变量之间的关系。 X1 x2节点 a 支路表示为x2=ax1 在信号流图中，用符号“”表示变量，称为节点。节点之间用有向线段连接，称为支路。支路是有权的。通

40、常在支路上标明前后两变量之间的关系，称为传输。（信号流程图是一种将线性代数方程用图形表示的方法） 例 设有线性方程组：4543423212111gxxfxexxcxbxxdxaxxxx 用节点o表示变量x1,x2,x3,x4,x5x1x2x3x4x5acefdfb信号流图的绘制可见：信号流图是一种将代数方程用图形表示的方法。信号流图中的常用术语信号流图中的常用术语： 节点：节点：表示变量或信号的点。 支路：支路：起源于一个节点，终止于另一个节点，而这二个节点之间不包括或经过第三个节点。(出支路：离开节点的支路。 入支路：指向节点的支路。)源节点：源节点：只有出支路，没有入支路的节点。 （对应于

41、自变量或外部输入；输入。）汇节点：汇节点：只有入支路，没有出支路的节点。（对应于因变量；输出量）混合节点混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。 通道通道：又称路径，从一个节点出发，沿着支路的箭头方向相继经过多个节点的支路。一个信号流图可以有很多通道。 开通道开通道：如果通道从某节点开始，终止在另一节点上，而且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为开通道。 闭通道闭通道：如果通道的终点就是通道的始点，并且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为闭通道或闭通道或反馈环、回环、回路反馈环、回环、回路等。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回环。 前向通道：前向通道：从源节点开始到

42、汇节点终止，而且每个节点只通过不多于一次的通道，称为前向通道。不接触回环：不接触回环：如果一些回环没有公共节点，就称它们为不接触回环。 支路传输：支路传输：两个节点之间的增益。通道传输或通道增益：通道传输或通道增益：沿通道各支路传输的乘积。回环传输或回环增益：回环传输或回环增益：闭通道中各支路传输的乘积。 二、信号流图的基本性质信号流图的基本性质1节点信号是输入信号的叠加。2信号沿支路流通具有方向性3增加一个具有单位传输的支路，可以把混合节点化为汇节点。4非唯一性（对于同一个系统，信号流图的形式不是唯一的）。例1（利用原始方程直接画出信号流图）1U1(s)U2(s)R1CS1/R1-1/R11

43、I1(s)I2(s)I (s)设网络中电流如图所设则 )s(ICs)s(IR)s(I)s(I)s( I)s( IR)s(U)s(U)s(IR)s(U211121222111设输入电压为源节点U1， R2上电压U2为汇节点。中间变量为混合节点。 例2直流电机调速系统信号流图（由结构图画信号流图） Kb KfUr(s)(s)UaE Ka MLRaLaSCmfmJmS11Ur(s)ka1MLKbUaE Kf可对应先画出源节点，汇节点，再画出混合节点，按其关系画出支路。三、信号流图的等效变换信号流图的等效变换 1.串联支路的总增量等于各支路增量的乘积。 2.并联支路的总增量等于各支路增量的和 3.混合

44、节点可通过移动支路方法消去 4.混合节点可通过移动支路方法消去四、梅逊公式四、梅逊公式nkKKPP11n：前向通路的数目。Pk从从R(s)到到C(s)的第的第k条前向通路传递函数条前向通路传递函数梅逊公式介绍梅逊公式介绍C(s)R(s)=Pkk:称为系统特征式称为系统特征式=其中其中:所有单独所有单独回路回路增益增益之和之和LaLbLc每两互不接触回路增益乘积之和每两互不接触回路增益乘积之和LdLeLf每三个互不接触回路增益乘积之和每三个互不接触回路增益乘积之和k称为第称为第k条前向通路的余子式条前向通路的余子式k求法求法: 去掉第去掉第k条前向通路后所求的条前向通路后所求的- La+ LbL

45、c-LdLeLf+1k=1-LA+ LBLC- LDLELF+四个单独回路，两个回路互不接触四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s)R(s)=1+前向通路两条前向通路两条信号流图信号流图afbg ch efhgahfced(1g)bdabcR(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s)H3(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G