初二奥数题及答案

1、初二数学奥数1 如图，梯形ABCD中,AD/BC,DE EC,EF/AB交 BC于点F,EF= EC,连结DF。(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；假设AD= 1, BC= 3, DO 2，试判断厶DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点 P,使厶PCD是等腰三角形，假设存在，请直接写 出PB的长；假设不存在，请说明理由。2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿 B宀C向终点C运动，连接 DM交AC于点N.1如图251，当点M在AB边上时，连接BN. 求证： ABNADN ; 假设/ ABC = 60 ° AM = 4，求点 M到AD的距离；2如图252

2、，假设/ ABC = 90°记点M运动所经过的路程为 x6<x< 12试问：x 为何值时， ADN为等腰三角形.图 25-1©25-23、对于点 O M点 M沿 MO勺方向运动到 O左转弯继续运动到 N使OMk ON,且OML ON, 这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动正方形ABCD点P, P点关于A左转弯运动到 Pi, Pi关于B左转弯运动到 F2, F2关于C左转弯运动到P3, P3关于D左转弯运动到 R, R关于A左转弯运动到 F5,.1请你在图中用直尺和圆规在图中确定点Pi的位置；2连接PiA、PiB,判断 ABP与厶ADP之间有怎样的关系？并

3、说明理由。以D为原点、直线 AD为y轴建立直角坐标系，并且点B在第二象限，A P两点的坐标为0, 4、 i, i，请你推断:P4、P202i、 P?02i三点的坐标.图iPAr£爲.:r.H.L-r-'-illl. ?'M i-=-工:! -.i-工-* 奮-i.l*鏗-2-I-.X.TJ'.£ 皆'X一徹-T-i.-x'*!tF-r'-l8:F:'J.''1,I±!为 mTi-i!-i±:?.¥"|3'屮!"rirT'-J 1* *呷

4、I If Ii4.二 iM -rhT-*-.:.li.-4.jl:EyrH'Fhbi -4-1-414、如图1和2,在20X 20的等距网 格每格的宽和高均是1个单位长 中，Rt ABC从点A与点M重合的位 置开始，以每秒1个单位长的速度先 向下平移，当 BC边与网的底部重合 时，继续同样的速度向右平移，当 点C与点P重合时，Rt ABC停止 移动设运动时间为 x秒， QAC勺 面积为y.1如图1,当Rt ABC向下平移到 Rt AB1C1的位置时，请你在网格中画出Rt ABC关于直线QN成轴对称的图形；2如图2,在Rt ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分

5、别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？3在Rt ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图， ABC中，AB=AC , / B、/ C的平分线交于 0点，过0点作EF/ BC交AB、 AC 于 E、F.(1) 图中有几个等腰三角形 ？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由.(2) 如图，假设 ABM AC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？如图，假设 ABC中/ B的平分线B0与三角形外角平分线 CO交于O,过0点 作OE/

6、BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗 ？EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。AF-$6、，如图， ABC 中，/ BAC=90 ° , AB=AC,D 为 AC 上一点，且 / BDC=124°,延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点 F，求/ E的度数。7、如图，正方形 ABCD勺对角线AC,BD交于点0,将一三角尺的直角顶点放在点0处，让其绕点0旋转，三角尺的直角边与正方形 ABCD勺两边交于点E和F。通过观察或测量 0E,0F的长度，你发现了什么？试说明理由。1 解：1证明：T EF=EC ,/ EFC= / ECF, / EF/

7、AB ,/-Z B= / EFC,/ B= Z ECF，梯形 ABCD是等腰梯形；12 DCF是等腰直角三角形，证明：T DE=EC , EF=EC，/ EF= CD ,2 CDF是直角三角形如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，梯形ABCD是等腰梯形， CF= 1 BC-AD=1 ,/ DC= 2 ,由勾股定理得:2DF=1 , DCF是等腰直角三角形；3共四种情况：PB=1 , PB=2, PB=3- 2 , PB=3+ 22、证明：1四边形 ABCD是菱形， ABN ADN .解：作 MH丄DA交DA的延长线于点 H . AB=AD , Z 1 = Z

8、2. 又T AN=AN , 由 AD / BC，得Z MAH= Z ABC=60 ° .在 Rt AMH 中，MH=AM ?sin60=4X sin60=23.点M到AD的距离为23 . AH=2 . DH=6+2=8 .2解：tZ ABC=90 ° ,菱形 ABCD 是正方形.CAD=45 ° .下面分三种情形：I假设 ND=NA，那么Z ADN= Z NAD=45 ° .此时，点M恰好与点B重合，得x=6 ;假设 DN=DA，那么Z DNA= Z DAN=45 ° . 此时，点 M恰好与点C重合，得x=12 ;川假设 AN=AD=6，那么Z

9、 1 = Z 2./ AD / BC,1 = Z 4，又Z 2= Z 3, Z 3= Z 4. CM=CN . AC=6 2 . CM=CN=AC-AN=6 2-6故 x=12-CM=12- 6 2-6=18-6 2 .综上所述：当x=6或12或18-6 2时， ADN是等腰三角形。作图痕迹清晰;2 ABP1 ADP，且 ABP1可看成是由 ADP绕点A顺时针旋转90°而得.理由如下：在 ABP1和厶ADP中,由题意：AB=AD , AP=AP1,Z PAD= Z P1AB , ABP1 ADP , 又 ABP1和厶ADP有公共顶点 A，且Z PAP1=90 ABPi可看成是由 AD

10、P绕点A顺时针旋转90°而得；3点P 1,1关于点A 0, 4左转弯运动到 Pi-3, 3，点Pi-3，3关于点B-4，4左转弯运动到点P2-5，3，点P2-5，3关于点C-4，0左转弯运动到点P3-1，1，点P3-1，1关于点D 0，0左转弯运动到点 P4 1，1，点P4 1，1关于点A 0，4左转弯运动到点 P5 -3，3，点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，点P2021的坐标为-3，3点P2021的坐标为-5，3.4、解：1如图， A2B2C2是厶A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形;图1S 22当厶ABC以每秒1个单位长的速度向下平移 x秒时如图2，那么有：MA=x，M

11、B=x+4，MQ=20，y=S 梯形 QMBC-S AMQ-SSBC111=4+20x+4- X 20x- X 4 X 4222=2x+40 0< x< 16.由一次函数的性质可知：当x=0时，y取得最小值，且 y最小=40，当x=16时，y取得最大值，且 y最大=2X 16+40=72 ;3解法一： 当厶ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时, 此时 16W xw 32，PB=20- x-16=36-x，PC=PB-4=32-x，- y=S 梯形 BAQP-SCPQ-SABC =1 4+20 36-x-1 X 20 X 32-x- 1 X 4 X 42 2 2=-2x+104

12、 16< x w 32.由一次函数的性质可知:当x=32时，y取得最小值，且y 最小=-2 X 32+104=40 ;当x=16时，y取得最大值，且 y最大=-2 X 16+104=72 .解法二：在厶ABC自左向右平移的过程中， QAC在每一时刻的位置都对应着2中厶QAC某一时刻的位置, 使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称.因此，根据轴对称的性质，只需考查厶ABC在自上至下平移过程中厶 QAC面积的变化情况， 便可以知道 ABC在自左向右平移过程中厶 QAC面积的变化情况. 当x=16时，y取得最大值，且y最大=72, 当x=32时，y取得最小值，且y最小=40.5、解：1图中有

13、5个等腰三角形，EF=BE+CF , BEO CFO,且这两个三角形均为等腰三角形， 可得 EF=EO+FO=BE+CF ;2还有两个等腰三角形，为BEO> CFO ,如以下图所示： EF/ BC ,aZ 2= / 3,又/ 1 = / 2 ,/ 仁/3, BEO为等腰三角形，在 CFO中，同理可证. EF=BE+CF 存在.3有等腰三角形： BEO、 CFO,此时EF=BE-CF ,如以下图所示：OE/ BC， / 5=7 6,又/ 4= 7 5，/ 4= 7 6 , BEO是等腰三角形，在厶CFO中，同理可证 CFO是等腰三角形，此时 EF=BE-CF ,6、解：在 ABD和厶ACE中，/ AB=AC，/ DAB= / CAE=90 ° AD=AE , ABD ACE SAS，/ E= / ADB ./ ADB=180 ° -/ BDC=180 ° -12