初二数学面积法几何专题

1、初二数学-面积法解题【本讲教育信息】【讲解内容】一一怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题【教学目标】1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。【重点、难点】：重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。难点：灵活运用所学知识证明面积问题。【教学过程】一证明面积问题常用的理论依据1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的局部。2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的局部。4. 同底等底的两个三角形面积的比等于高的比。 同高或等高的两个三角形面积的比等于底的比。5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边

2、形的面积的一半。6. 三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的7. 三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。二证明面积问题常用的证题思路和方法1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。2. 作平行线法：通过平行线找出同高或等高的三角形。3. 禾U用有关性质法：比方利用中点、中位线等的性质。4. 还可以利用面积解决其它问题。【典型例题】一怎样证明面积问题1. 分解法例1.从厶ABC的各顶点作三条平行线 AD、BE、CF，各与对边或延长线交于 D、E、F, 求证： DEF的面积=2

3、 ABC的面积。分析：从图形上观察，高，故 S adeSadbDEF可分为三局部，其中是ADE，它与 ADB同底等二是 ADF，和上面一样，SAdfADC三是 AEF，只要再证出它与 ABC的面积相等即可 由 SCFE = CFB故可得出S AEF = S ABC证明： AD/BE/CF ADB和厶ADE同底等高J. SADB = SADE同理可证：S ADC = SSDF.SABC = SADE +SADF又 T SCEF = S CBF S ABC = S AEF. SSEF+S ADE+S ADF = 2S ABCSDEF= 2SABC2作平行线法例 2.:在梯形 ABCD 中，DC/A

4、B , M求证： S ADM 二 SABCD2分析：由M为腰BC的中点可想到过 利用平行线间的距离相等，设梯形的高为为腰BC上的中点M作底的平行线 MN，那么MN为其中位线，再hBS AMD S DMN S aMN证明：过M作MN/AB M为腰BC的中点 MN是梯形的中位线 设梯形的高为hDC ABMN2那么 SabcdMN h又 SSSAMDAMNMNDMN1s ADM匚 SabCD2二用面积法解几何问题有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到以下性质: 性质1等底等高的三角形面积相等性质2:同底等高的三角形面积相等性质3:三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一

5、半性质4:等高的两个三角形的面积比等于底之比性质5:等底的两个三角形的面积比等于高之比1.证线段之积相等例3.设AD、BE和CF是厶ABC的三条高，求证： AD BC = BE AC = CF AB分析:从结论可看出，AD、BE、CF分别是BC、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。证明:/ AD、BE、CF ABC的三条高SAD BC BE ACCF ABABC_22 2AD BC BE AC CF AB2. 证等积问题例4.过平行四边形 ABCD的顶点A弓I直线，和BC、DC或其延长线分别交于E、F,求:Sa ABF = Sa ADE分析：因为AB/DF，所以 ABF与厶ABC是同底

6、AB和等高的两个三角形，所以这两 个三角形的面积相等。证明：连结AC/ CF/AB2 S平行四边形ABCD寸S平行四边形ABCDS ABF S ABC又 CE/ADS ADES ACDS ABFS ADE3. 证线段之和例5. ABC中，AB = AC , P为底边 BC上任一点，PE丄AB , PF丄AC , BH丄AC ,求 证：PE+PF= BHA分析：有垂线，就可看作三角形的高，连结AP,那么S ABCS ABP S apc11-AB PE -AC PF22又由AB AC,所以S ABC-AC (PE PF)2又 S ABC1丄 AC BH2故 PE+PF= BH11S ABC-ABP

7、EACPF22又 BH 丄 AC1S ABC-ACBH211-AC(PEPF)-ACBH22证明：连结AP,那么S ABC S ABP S APC/ AB = AC , PE丄 AB , PF丄 AC PE+PF= BH丄 AC (PE PF)24. 证角平分线例6.在平行四边形 ABCD的两边 AD、CD上各取一点 F、E,使AE = CF,连AE、CF 交于P,求证：BP平分/ APC。分析：要证BP平分/ APC，我们可以考虑，只要能证出 B点到PA、PC的距离相等即 可，也就是厶ABE和厶BFC的高相等即可，又由 AE = FC可联想到三角形的面积，因此只 要证出Saabe = Sab

8、cf即可由平行四边形 ABCD 可得 SaABE = SaABC , SaBFC = SaABC所以SaABE = SABFC，因此问题便得解。证明：连结AC、BE、BF四边形ABCD是平行四边形 - Sa ABE = S ABCSa BFC = Sa ABC.SABE = & BFC又 AE = CF而厶ABE和厶BFC的底分别是 AE、CF ABE和厶BFC的高也相等即B到PA、PC的距离相等 B点在/ APC的平分线上 PB 平分/ APC【模拟试题】答题时间：25分钟1.在平行四边形 ABCD中，E、F点分别为BC、CD的中点，连结 AF、AE，求证：SABE = SADF2.在梯形A

9、BCD中，DC/AB , M为腰BC上的中点，求证： S ADM S DCM S ABMB3. Rt ABC 中，/12h,求证：a1 1b2h2G、H为边DC的三等分点，求证:4. : E、F为四边形 ABCD的边AB的三等分点,ABCDBSeFGHCE13 , CD 和 BE 交于 G, 求 ABC5. 在厶ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且 AC 和四边形ADGE的面积比。【试题答案】1.证明：连结 AC,那么Sabc S ADC又 E、F分别为BC、CD的中点2.S ABES ADFS ABE证明：过1s21s2SABCADCADFM 作 MN/DC/ABB M为腰BC上的中点

10、DCM和厶ABM 的高相等，设为 hiS DCM S ABMAB) h1-DC h1-AB h11 ( DC2 2 2又 DMN与厶AMN的高也为hiS ADM S DMN S AMN11-MN h1- MN h1221-MN (h1 h1)2MN h1/ MN为梯形的中位线1 MN(AB CD)S ADMS DCM S ABM3. 证明：在 Rt ABC 中，/ ACB = 90, CD 丄 AB11S ABC ab AB h22ab AB h2 2 2 2 2 22a2b2 AB2 h2 (a2 b2) h22 2两边同时除以a b得：1 1 1_2-F -Fa b h4. 证明：连结 FD、FG、FCDS FGH那么由可得作DM/AB，设它们之间的距离为 h, G到DM的距离为a,那么由可得 H、C到DM 的距离分别为2a、3a1SEFGEF(h2a)SAFDS bfc1-AF h212BF(h 3a)13EF h-EF hEF a2233-EF hEFa22113( EFh-EF a