8.8-立体几何中的向量方法(Ⅱ)----求空间角、距离

1、8.8立体几何中的向量方法口求空间角、距离.相交.异面不垂直、选择题1 如以下图，在正方体 ABCDABCD中，0是底面正方形 ABCD勺中心，M是DD的中点，N是AiBi上的动点，那么直线NO AM的位置关系是().D.Xif用/A/A.平行C.异面垂直解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2,那么 A(2,0,0) ，M(0,0,1)，qi,1,0) ，N(2，t, 2)，NO ( 1,1 -1，- 2)， AM= ( 2,0,1)，NO- AM= 0,那么直线 NO AM的 位置关系是异面垂直.答案 C 2. 正方体ABCDABCD的棱长为a，点M在 AG上且AM= MC, N为BB的中

2、点,那么|MN为()."宀 B. 為6 6B.C.15解析 以D为原点建立如以下图的空间直角坐标系D-xyz，那么 A(a, 0,0)，C(0，a，aa)，Na，a，2 .设 Mx，y，z)， 1点 M在 AC上且AM= 2MC,1(x a, y, z) = 2( x, a y, az)2 a/. x=ay =3.3，y 3,2a a3I MN =得 M§，3,答案 A3. 在正方体ABCDABGD中，M N分别为棱AA和BB的中点，那么sinCM DN 的值为.1A.1B.C.D.DN= (2,2，- 1)，解析 设正方体的棱长为2,以D为坐标原点，坐标系如图，可知CW

3、2，- 2,1，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立空间直角 1 cos CM DN= -， sinCM DN答案 B4. 两平行平面a，B分别经过坐标原点O和点A2,1,1，且两平面的一个法 向量n = 1,0,1，那么两平面间的距离是A.| B. 豎 C.3D . 3边解析 两平面的一个单位法向量n°= ¥，0，¥，故两平面间的距离 d=I OA- no| = 2 .答案 B5.直二面角a - I- B，点 A a ， ACL l ，C为垂足，点B B，BD丄I，D为垂足，假设A吐2, AC= BD= 1,贝U CD=().A. 2B.：3C.,l，2 D解

4、析 如图，建立直角坐标系D-xyz，由已知条件 B(0,0,1) , A(1 , t, 0)( t > 0),由A吐2解得t = 2答案 C 6正方体ABCD-ABCD中，E是棱BB中点，G是DD中点，F是BC上一点且FB1二4BC,那么GB与 EF所成的角为().A. 30°B . 120°.60°D . 90°解析如图建立直角坐标系D- xyz ,设D心1,由条件G0,0,B1, 1, 0E1,1,f4,1, 0GB=1,1,EF=140,cos GBEF> GB，EF = °,那么 GBL EF| GBI EF答案 D在直三棱

5、柱 ABC-A1B1C中，/ ACB= 90°7.如图,角B1-DC- C1的大小为60°,那么AD的长为(),2AC= AA= BC= 2.假设二面B.C. 2D.；3','22解析 如图，以C为坐标原点，CA CB CG所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么q0,0,0) , A(1,0,0) , B1(0,2,2),G(0,0,2) , D(1,0,1)设 A a,那么 D点坐标为(1,0 , a) , CD = (1,0 , a),CB?二(0,2,2),设平面BCD的一个法向量为nn= (x, y, z).m CB? = 0 2y

6、+ 2z = 0 那么 .?，令 z= 1,mi- CD = 0x + az= °得(a,1, 1)，又平面CDC的一个法向量为n(0,1,0),im n11那么由cos60°=而亓，得?+ 2二2,即a2,故 AD= ；2.答案：A二、填空题8 正方体ABC A1B1C1D的棱长为1,点P在线段BD上.当/ APC最大时，三棱锥P ABC的体积为.解析 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB为z轴建 立空间直角坐标系(如图)，设BP 八而，可得P(入，入，入),ap . CP再由cos /APC= m而可求得当故 Vp ABC=答案1189.如图，在空间直角坐标系中

7、有棱长为 a的正方体ABC A1B1GD，点M是线段 DG上的动点，那么点M到直线AD距离的最小值为.解析 设M(0 , m m(0 w mK a), AD= ( - a, 0, a)，直线AD的一个单位方向向 量 So= ¥，0,乎，由 mD=(0 ,m a m，故点M到直线AD的距离d=、| MD|2 | MD- So|2 =式内的二次函数当am=-22 , 2 1 2 m+ a m a m = =3时取最小值2 3 2ax |+2&2m am 2a2，根1i2=3a2，故d的最小值为a. 答案咨a810假设向量a = (1，入，2)，b= (2， 1,2)且a与b的夹角

8、的余弦值为9,那么 入=.解析由得8=為=:2 2二 8 ； 5 + X = 3(6 X )，解得 X = 2 或 X = 55.答案-2 或 5511 正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 Sd OD那么直线BC与平面PAC的夹角的大小为.解析 如以下图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设 0D= SO= OA= OB= OC= a,P0,a2,那么 A(a, 0,0) , B(0 , a,0), C( a, 0,0), a, 0).a a那么CA= (2 a, 0,0) , AF= a， y 2 , CB= (a,设平面PAC的法向量为n,可求得n

9、= (0,1,1),那么 cosCB, n>CB na 1_ :2a2 2_2.I CB| n|T CE, n= 60°,直线BC与平面PAC的夹角为90° 60°= 30 答案 30° 12 点E、F分别在正方体 ABCDABiCD的棱BB, CC上，且BiE= 2EB CF=2FC ,那么面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为 .解析 如图，建立直角坐标系 Dxyz , 设DA= 1由条件A(1,0,0),1 2E1, 1, 3 , F0 , 1 , 3 ,TT1 2AE= 0, 1, 3 , AF= 1, 1, 3 ,设平面AEF的法向量为

10、n= (x, y , z),Tn AE= 0 , 由Tn AF= 0面AEF与面ABC所成的二面角为9 ,1y+3z= 0 得2 门x + y + tz = 0.3x = 1,贝 U n = ( 1,1 , 3)3 -平面ABC的法向量为m= (0,0 , 1)3cos 9 = cos n , m> = , tan 11答案32 三、解答题13. 如图,四棱锥P ABCD中 , PAL底面ABCD四边形ABCD ' 中,AB丄 AD, AB+ AD= 4 , CD= .''2 , / CDAf 45°.求证：平面PABL平面PAD设A吐AP假设直线PB与

11、平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.解析：(1)证明：因为PAL平面ABCDAB?平面 ABCD所以PAL AB又 AB丄 AD PAH AD= A,所以AB丄平面PAD又AB?平面PAB所以平面PABL平面PAD 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz(如图).在平面ABCC内，作CE/ AB交AD于点E,贝U CEL AD1.在 Rt CDE中, DE= CD cos45°= 1, CE= CD- sin45 ° =设 A吐A吐t，那么 B(t, 0,0) , P(0,0 , t).由 AB+ AD= 4 得 AD= 4-1 ,所以 E(0,3

12、-1, 0) , q1,3 -1, 0) , D(0,4 -1, 0) , CD = ( 1,1,0),PD = (0,4 t , - t).设平面PCD的一个法向量为n = (x, y, z),x + y = 0 ,由n丄CD , n丄PD ,得4-1 y tz = 0.取x = t ,得平面PCD的一个法向量n= (t , t, 4-1).又PB = (t, 0, -1),故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得on- PB阳|2t2-4t |1I | n| -丨 PB Lt2+12+ 4-1 2 岳 2，4解得t = 5或t = 4(舍去，因为AD= 4 t >0),4

13、所以AB-.514. 如以下图,四棱锥 A-BCDE中 ,底面BCDE为矩形，侧面ABCL底面BCDE BC=2 , CD= 2 , AB= AC(1)证明：AD丄CE设侧面ABC为等边三角形，求二面角 解析(1)证明取BC中点0,连接A0那么AOL BC由条件A0L平面BCDE如图，建立直角坐标系 O xyz ,那么 A(0,0 , t) , D(1 ,.：2, 0),qi,0,0) , E( - 1, ；2, 0),A (1，:2,-t),CE= ( 2,：2, 0),G AD E的大小.贝UAD- CE= 0,因止匕 ADLCE 作CFLAD垂足为F,连接EF,由ADL平面CEF知EFL

14、 AD,那么/ CFE为二面角GADE的平面角.在 Rt ACD中 , CF=AC- CD 2也AD = 3在等腰 ADE中 EF=;303cos / CFE=CF+ eF CE _2CF- EF _；1010 .面角CADE勺余弦值为：1010 .15. 在如以下图的几何体中，四边形 ABCE为平行四边形，/ AC_90°, EA丄平面ABCD EF/ AB, FG/ BC, EG/ AC, A吐 2EF.假设M是线段AD的中点, 求证：GM/平面ABFE 假设AO BC= 2AE求二面角 A-BF-C的大小.解析证明法一因为EF/ AB,FG/ BQ EG/ AC,/ ACB=

15、90°,所以/ EGF= 90°,A AB3A EFG 由于A吐2EF,因此BC= 2FG1连接AF,由于FG/ BC, FG=尹C,1在?ABC冲,M是线段AD的中点,贝U AM/ BC,且AM= qBC因此 FG/ AM且 FG= AM所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM/ FA又FA?平面ABFE GM平面ABFE所以GM/平面ABFE 法二 因为 EF/ AB, FG/ BC EG/ AC, / AC* 90 所以/ EGF= 90°, AB3A EFG由于A吐2EF,所以BC= 2FG取BC的中点N,连接GN因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN/

16、 FB在?ABC冲,M是线段AD的中点,连接 MN贝U MN/ AB因为 MNn GNh N , ABA FB= B,所以平面GMN平面ABFE又GM平面GMN所以GM/平面ABFE 法一 因为/ ACB= 90°,所以/ CAD= 90° ,又E蝕平面ABCD所以AC, AR AE两两垂直.分别以AC AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如以下图的空间直角坐标系，不妨设AC= BC= 2AE= 2,那么由题意得A(0,0,0) , B(2 , - 2,0) , q2,0,0), E(0,0,1),所以 A吐(2, - 2,0) , BQ (0,2,0)又 ef= 2

17、ab,所以 F(1 , 1,1) , BF= ( - 1,1,1).设平面BFC的法向量为vm= (X1 , y1 , z“， 贝U m- BC= 0 , m- BF= 0 , 所以 取乙=1,得 X1 = 1,所以 m= (1,0,1). 设平面ABF的法向量为n= (X2 , y, Z2), 贝U n AB= 0 , n BF= 0 ,x2 = y2 ,所以乙=0 ,取 y2= 1,得 X2 = 1,那么 n= (1,1,0),m-n1所以 cosm n= |m| . |n| = 2.因此二面角A-BF-C的大小为60°法二 由题意知,平面ABFEL平面ABCD取AB的中点H,连

18、接CH因为AC= BC,所以CHLAB,那么CHL平面ABFE过H向BF引垂线交BF于R,连接CR那么 CRL BF,所以/ HRC为二面角A-BF-C的平面角.由题意，不妨设AC= BC= 2AE= 2.在直角梯形ABFE中，连接FH,那么 FH丄AB,又 AB-2 2,所以 HF= AE= 1, BH= 2,因此在Rt BHF中，HFU J.3由于 CH= 2ab 2,所以在 Rt CHR中, tan / HR(|/3,3_因此二面角A-BF-C的大小为60°AD= DE=16如图，AB丄平面ACD DEL平面ACD ACD为等边三角形, 2AB, F为CD的中点.(1)求证：A

19、F/平面BCE求证：平面BCEL平面CDE 求直线BF和平面BCE所成角的正弦值.解析方法一：证法一：取CE的中点G,连接FG BG1 F为 CD的中点，二 GF/ DE且 GF= DE AB丄平面ACD DEL平面ACD AB/ DE 二 GF/ AB1又 A吐 2。乓 GF= AB 又 DE= 2AB,四边形GFAB为平行四边形,那么AF/ BG/ AF?平面 BCE B(?平面 BCE AF/ 平面 BCE证法二：取DE的中点M连接AM FM, F为 CD的中点， FM/ CE/ AB丄平面 ACD DE丄平面 ACD /. DE/ AB又 A吐 1dE= ME四边形ABEM为平行四边形，那么 AM BE FM AMP平面 BCE CE BE?平面 BCE FM/ 平面 BCE AM/ 平面 BCE又 FM? AM= M,二平面 AFM/ 平面 BCE/ AF?平面 AFM AF/ 平面 BCE证明： AFX CDv DEL平面 ACD AF?平面 ACD 二 DEL AF. 又CD? DE= D,故AF丄平面CDEv BG/ AF,二 BGL平面 CDEv B(?平面 BCE平面BCL平面CDE在平面CDE内 ,过F作FH丄CE于H,连接BH