巧用二次求导解决函数单调性和极值问题（课堂PPT）

1、1巧用二次求导解决函数单调性和极值问题深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰制作2导 言在历年高考试题中，导数部分是是以导数作为压轴题来考查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数；求 的零点；列出 的变化关系表；根据列表解答问题。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。3一二阶导数与凸性一二阶导数与凸性一二阶导数与凸

2、性一二阶导数与凸性定义定义1 1. 设 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 与 ，恒有 ，那么称 在 I 上的图形是凹的；如果恒有 ，那么称 在 I 上的图形是凸的；定理定理1 1 设 在 上连续，在 内可导，那么：（1）若在 内 单调增加，则 在 上的图形是凹的； （2）若在 内 单调减少， 则 在 上的图形是凸的；( )f x1x2x1212()()()22xxf xf xf1212()()()22xxf xf xf , a b( , )a b( , )a b( )fx( )f x , a b( , )a b( )fx( )f x , a b( )f x4一二阶导数与凸性一二阶导数

3、与凸性定理定理 2 2设 在 上连续，在 内二阶可导，那么：（1）若在 内 ，则 在 上的图形是凹的；（2）若在 内 ，则 在 上的图形是凸的 凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合 的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。( )f x , a b( , )a b( , )a b( )0fx( )f x , a b( , )a b( )0fx( )f x , a b(),(),()fxfxfx5二二阶导数与极值

4、二二阶导数与极值二二阶导数与极值二二阶导数与极值在高中，判断函数是否在 取得极值，经常是利用函数导数在 两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断 是否为函数的极值点。有如下的判定定理：定理定理3 3设函数 在点 处具有二阶导数且 ， ，那么 （1） 当 时，函数 在 处取得极大值； （2） 当 时，函数 在 处取得极小值)(xf0 x0()0fx0()0fx0()0fx0()0fx0 x0 x6典型例题讲解例题1、已知函数 ，求函数 的单调区间。解： 的定义域是 .xxxxf1)1 (ln)(22)(xf xf), 1(22)1 (21)1ln(2)( xxxxxxf22)1

5、(2)1ln()1 (2xxxxx设xxxxxg2)1ln()1 (2)(2则xxxg2)1ln(2)( xxxg12)( 7典型例题讲解）上是增函数；在（时，,01)( , 0)( 01xgxgx当0 x当.0)( , 0)( ）上为减函数，在（xgxg时),0(0)( , 0)0( 0)( xxggxxg所以处有最大值，而在所以函数在)( xg), 1(上是减函数.;)(, 0)( , 0)0()(01递增时，xfxfgxgx当当递减时，)(, 0)( , 0)0()(0 xfxfgxgx所以，函数 的单调递增区间是 ，递减区间是 . )(xf)0, 1(),0(8典型例题讲解例题2、设函

6、数 21xf xexax （）若0a fx求 的单调区间；（）若当 时，0 x 0fx。求 的取值范围。a9典型例题讲解（2）、解：当 a 0时，在区间 上显然 ，综上(1)可得在区间 上 成立。故 a 0满足题意。当 a0 时， ， ，显然 ， 当 在区间 上大于零时， 为增函数， ，满足题意。而当 在区间 上为增函数时， ，也就是说，要求 在区间 上大于等于零，又因为 在区间 上为增函数，所以要求 ，即 ，解得 。综上所述，a 的取值范围为 。0,20ax0, 210 xf xexax 1 2xfxeax 2xfxea 00f 00f fx0, f x 0f xf xfx0, 00fxf

7、fx0, 2xfxea0, 10f 020ea12a 1,210典型例题讲解例题3、已知函数 .（）若 ，求 的取值范围；（）证明： 解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。采用分离参数法解决恒成立问题就行了。而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用 去分析 的单调性受阻。( )(1)ln1f xxxx2( )1xfxxax(1) ( )0 xf xa fx f x11典型例题讲解我们可以尝试再对 求导，可得 ，显然当 时， ；当 1 时， 0 ，即 在 区间 上为减函数，所以有当 0 x 时， ，我们通过二次求导分析 的单调性，得出当0 x 时 ，则 在区间 上为增函数，即 ，此

8、时， 则有 成立。下面我们在接着分析当 1x 时的情况，同理，当 1 x时， 0，即 在区间 上为增函数，则 ，此时， 为增函数，所以 ，易得 也成立。综上， 得证。 1lnfxxx 211fxxx0 x1 0fx x fx 1lnfxxx0,1 11fxf1 1fxfx0 ,1 10f xf(1) ( )0 xf xfxfx1, 11fxf fx 10f xf( 1 ) ( ) 0 xf x( 1 ) ( ) 0 xf x12典型例题讲解例题4、设a 为实数，函数 。（）求 的单调区间与极值；（）求证：当 a 且x 0时， 。（）解：设 ，则： 22 ,xf xexa xRfxln21xe221xax 221xg xexax 22xgxexa 2xgxe 0+ 减减 极小值极小值 增增ln2, gx gxln20,ln 213典型例题讲解由上表可知 ，而 ln2gxgln2ln22ln2222ln222ln2 1geaaaln21由由a a 知知 0 0，所以，所以 00，即，即 在区间在区间 上为增函数。ln2g gx g x0, g x 0g 020020 1 0gea 于是有于是有，