中南大学高数25方向导数与梯度重要例题

1、设设 0002222422yxyxyxxyyxf,),(求求 f 沿沿e = (cos , sin ) 在点在点 (0,0)的方向导数的方向导数. 当当 cos 0 时时, (0,0)0( cos ,sin )(0,0)limtfffe .cossinsincossincoslim242220当当 cos = 0时时, 因为因为 f ( cos , sin ) = 0.),(0 00ef用定义计算方向导数用定义计算方向导数解解 例例1用定理计算方向导数用定理计算方向导数例例 2 2 求函数求函数yxez2 在点在点)0 , 1(P处沿从点处沿从点 )0 , 1(P到点到点)1, 2( Q的方向

2、的方向导数的方向的方向导数. ; 1)0, 1(2)0, 1(yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向导导数数 lz.22 这这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,.22,22cos,cos.22222coscos)0, 1()0, 1(yzxz解解例例3. 设设 z = 3x4 +xy +y3 , 求求z 在在M (1,2)点处点处 沿方向沿方向角为角为 =135 的方向的方向导数。的方向的方向导数。(1,2)(1,2)(1,2) cossinzzzlxy135313512212213sin)(cos)(),(),(yxyx.22解解例4. 求函数求函数 在点

3、 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦为由点),P(yx到坐标原点的距离定义的函数22yxz在坐标原点处向导数值都等于 1:222200000 (cos,cos)0limlim1 xxyyxyzflxy 的两个偏导数均不存在, 但它在该点沿任何方向的方向导数均存在, 且方此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件P80-2,7. 例例并并求求在在求求设设

4、, grad , 5 2uzxyzu. )( ) 1, 1 , 0( 值值小小处处方方向向导导数数的的最最大大点点M,yzxu,xzyu,2zxyzu)2,0, 1(从而从而 5|grad|maxuluM5|grad|minuluM解解)1, 1 , 0()1, 1 , 0()2,(gradzxyxzyzu例例 5 5 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点 )2 , 1 , 1 (处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些点点处处梯梯度度为为零零？ 解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2

5、, 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处处梯梯度度为为 0.备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d2. 函数函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,

6、21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21sin) 1 , 1 (cos) 1 , 1 ()1 , 1(yxfflf,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx )sin,(cos的方向余弦为由题设知l 例例解解 sincos),4sin(2 故故（1）当当4 时时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当）当45 时，时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当当43 和和47 时时，方向导数等于方向导数等于 0.例3. 设设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指

7、向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn例例5. 设设 u = x y + e z , M0(1,-1,0), P(3,-3,1), 求求 (1)在在 M0 沿沿M0 P 的方向导数的方向导数; (2)在在 M0 沿曲线沿曲线x=t , y= t 2-2, z= t t 3的切线方向的方向导数的切线方向的方向导数(本节本节不讲不讲);(3)在在 M0 的最

8、大方向导数与梯度。的最大方向导数与梯度。解：解： (1) 3122 1222200)(,PMPM,cos,cos,cos3132321 1 1 also000MMMzuyuxu,.)(11313213210Mlu1 1 when 2ttxx,)(2 1, 2 , 1 3Stt切线的方向向量3 and 2 2 10SSM,)(321321311 Therefore0Msu3131)(3)在在 M0 的最大方向导数与梯度的最大方向导数与梯度:.,3 gard and gard 00MMukjiu1 1 1 000MMMzuyuxu,设点电荷 q 位于坐标原点, 在点),(zyxM,4rqv处的电位为其中,为介电系数