随机变量的方差和标准差ppt课件

1、第二节、随机变量的方差和规范差 一、随机变量的方差和规范差的概念和性质 1、方差和规范差的定义、方差和规范差的定义XEX表示随机变量表示随机变量 X 对数学对数学期期望望 EX 的离差；为防止离差符号的影响，人们常运用的离差；为防止离差符号的影响，人们常运用X 对对数数学期望学期望 EX 的平方离差的平方离差 2)(XXE它显然也是随机变量；称 的数学期望 2)(XXE222)()(XXXXXEEEED为随机变量X的方差，称 为随机变量X的规范差 XD2、方差的性质、方差的性质(1) DX0，并且DX0当且仅当X以概率为常数； (2) 对于恣意实数，有 ； XXDD2(3) 假设随机变量X1

2、, X2 , Xm两两独立，那么mmXXXXXXDDDD2121)(4) 对于恣意常数C，有 22)()(CXXXXEEED例例4.9 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 22 22e , 0( ) 0 0 xaxxf xax若；， 若，(1) 求随机变量Y = 1/X的数学期望EY；(2) 求随机变量X的数学期望EX和方差DX 解解 (1) 随机变量随机变量Y = 1/X的数学期望：的数学期望： 2222 222201111( )ded ed2xxaaYf x xxxXxaa EE22 221ed 222 xaxaaa(2) 随机变量X的数学期望： 22222222222000e

3、deedxxxaaaxXxxxa E22221ed222xaaxaa；2222223222222000ede2edxxxaaaxXxxxxa E22222222222002ed2e22xxaaxaaaa ；22222(4)22aaXXXaDEE例例4.10 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，证明，假设相互独立，证明，假设DX,DY存在，那么存在，那么DXYDXDY 证明证明 现实上，有现实上，有 2222222()() ()XYX YXYXYXYDEEEEEE2222() () () ()XXYYXYDEDEEE22()()XYXYYXXYDDEDEDDD ，其中 0)()(22XYYXD

4、EDE二、切贝绍夫不等式 设随机变量X的数学期望和方差都存在，那么对于恣意0，事件|XEX|的概率有如下估计式切贝绍夫不等式： 221E E XXXXXXDPDP或证明证明 (1) 设设X是非负离散型随机变量，其一切能够值为是非负离散型随机变量，其一切能够值为Xi，那么对于恣意那么对于恣意0，有，有 iixXXXXxE PE P221()iixXXXXxE EP 2221(),iixXXXXxD EP其中前两个和式表示对于满足| xi EX|的X 的一切能够值xi求和，后一个和式表示对于X 的一切能够值xi求和 (2) 设X 是延续型随机变量，其概率密度为f (x)，那么 222|d)()(1d)( | XxxfXxxxfXxXxDEEPE例例4.11 设随机变量设随机变量X的数学期望为的数学期望为，方差为，方差为 ，那么由切，那么由切贝绍夫不等式，有289. 09113 33XXPP然而，假设 ),(2NX那么利用附表1，可得9974. 03| 3| 33XXXPPP例例4.12 对于恣意非负随机变量对于恣意非负随机变量X和和0恣意，证明不等式恣意，证明不等式 XXEP证明证明 (1) 设设X是离散型随机变量，其一切能够值为是离散型随机变量，其一切能够值为xi，那么那么 1iiiixxXXxXx PP P1