第4章-加性高斯白噪声信道的最佳接收机

1、第四章第四章 AWGN信道的最佳接收机信道的最佳接收机l 4.1 波形与矢量信道的模型波形与矢量信道的模型l 4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道l 4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率l 4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率l 4.5 非相干检测非相干检测l 4.6 数字传输方法的比较数字传输方法的比较l 4.8 有记忆信号传输方式的检测有记忆信号传输方式的检测l 4.9 CPM信号的最佳接收机信号的最佳接收机12系统框图。系统框图。接收机的核心功能：通过接收到的信号判断出发送的是接收机的核心功能：通过接收到的信

2、号判断出发送的是M个信号中的哪一个。个信号中的哪一个。设计思路：设计思路：(1) 信号的差异性信号的差异性(2) 更严格的统计和概率描述，目标是获得错误概率更严格的统计和概率描述，目标是获得错误概率最小的最佳接收机最小的最佳接收机220| ( )( )|Tmmrsr tstdt 021)(Nfnn 接收信号通过接收信号通过AWGN信道的数学模型信道的数学模型目标目标: : 根据对根据对r( t )在信号间隔时间上的观测，设计一个接收在信号间隔时间上的观测，设计一个接收机，使机，使错误概率最小错误概率最小 最佳接收机最佳接收机.发射机发射机接收机接收机sm(t)n( t )r( t )=sm(t

3、)+n(t)sm(t), m=1, 2, MAGWN:输出判决输出判决每个波形在持续时间每个波形在持续时间T的符号间隔内传输的符号间隔内传输在在 0 t T 内内4.1 波形与矢量信道的模型波形与矢量信道的模型r( t )=sm(t)+n(t)在在 0 t T 内内3r( t )的概率描述？的概率描述？简单而有效！简单而有效！采样值？采样值？ 或者信号空间？或者信号空间？补充：此处的信道模型中未考虑信号在信道中的波形变化补充：此处的信道模型中未考虑信号在信道中的波形变化4噪声分量噪声分量 n =n1, n2, , nN 的联合条件的联合条件PDF:2012nN 基于标准正交基对接收信号进行展开

4、，得到基于标准正交基对接收信号进行展开，得到噪声方差：噪声方差：2/21001( )exp()NkNknp nNN mrsn且噪声间相互独立。且噪声间相互独立。mkkmkksnsErE rk 的均值：的均值： NkmkkNmNsrNsrp1022/0)(exp)(1)|( 决定了概率密度决定了概率密度值的大小值的大小4.1 波形与矢量信道的模型波形与矢量信道的模型5最佳检测器：基于接收信号或向量，对最佳检测器：基于接收信号或向量，对sm的可能取值做出估计，并的可能取值做出估计，并 使得错误概率最小。使得错误概率最小。判决函数和判决域判决函数和判决域 ： 对应每个对应每个m，确定一个对应的区域，

5、确定一个对应的区域Dm，只要接收信号向量落，只要接收信号向量落在该区域内，就认为发送的是在该区域内，就认为发送的是Sm 。显然，判决域需要互不重叠。显然，判决域需要互不重叠。接收机设计的关键问题：接收机设计的关键问题： 如何划分判决域，才能够使得正确判决的平均概率最大？如何划分判决域，才能够使得正确判决的平均概率最大？最大后验概率准则，最大后验概率准则，MAP；最大似然准则，最大似然准则，ML。PCorrect Decision|P|P|mmmm mrDm 4.1 波形与矢量信道的模型波形与矢量信道的模型正确判决的概率正确判决的概率 ：6最佳检测器：基于接收信号或向量，对最佳检测器：基于接收信

6、号或向量，对sm的可能取值做出估计，并的可能取值做出估计，并 使得错误概率最小。使得错误概率最小。最大后验概率准则，最大后验概率准则，MAP：4.1 波形与矢量信道的模型波形与矢量信道的模型最大似然准则，最大似然准则，ML：11arg max (| )arg max (| )mm Mm Mmp m rp sr ( |)(| )( )mmmP p r sp srp r 由由如果消息是先验等概发送，即如果消息是先验等概发送，即1mPM 则有则有1arg max ( |)mm Mmp r s 7最佳检测器：基于接收信号或向量，对最佳检测器：基于接收信号或向量，对sm的可能取值做出估计，并的可能取值做

7、出估计，并 使得错误概率最小。使得错误概率最小。PCorrect Decision|P|P|mmmm mrDm 4.1 波形与矢量信道的模型波形与矢量信道的模型正确判决的概率正确判决的概率 ：符号错误概率符号错误概率 ：|11|MMemmme mmmPP P rDmP P |1( |)( |)cmmMe mmmDDmMmmPp r sdrp r sdr 11arg max (| )arg max (| )mm Mm Mmp m rp sr 8最佳检测器：基于接收信号或向量，对最佳检测器：基于接收信号或向量，对sm的可能取值做出估计，并的可能取值做出估计，并 使得错误概率最小。使得错误概率最小。

8、4.1 波形与矢量信道的模型波形与矢量信道的模型充分统计量：如果充分统计量：如果那么那么r2与与sm的判决无关的判决无关12121( ,|)(|) (|)mmp r rsp rsp rr 1211121111arg max( |)arg max( ,|)arg max(|) (|)arg max(|)mmmmm Mm Mmmmmm Mm MmP p r sP p r rsP p rsp rrP p rs 接收机的预处理：接收机的预处理： 接收信息的可逆预处理不会改变接收机的最佳性。接收信息的可逆预处理不会改变接收机的最佳性。9接收信号通过接收信号通过AWGN信道的数学模型信道的数学模型,21N

9、rrrr 信号信号解调器解调器检测器检测器将接收波形变将接收波形变换成换成 N 维向量维向量根据向量根据向量 r ，在，在 M 个可能波个可能波形中判定哪一个波形被发送形中判定哪一个波形被发送相关解调器；匹配滤波器相关解调器；匹配滤波器r( t )输出判决输出判决接收机结构：接收机结构：r( t )=sm(t)+n(t)在在 0 t T 内内要求：要求： 从模拟波形到向量表示，不丢失任何接收时需要的信息！从模拟波形到向量表示，不丢失任何接收时需要的信息！ 其次，可以方便对其进行统计和概率描述（联合概率密度分布其次，可以方便对其进行统计和概率描述（联合概率密度分布函数）。函数）。注意：尚未严格证

10、明这种功能模块划分能满足这两个条件！注意：尚未严格证明这种功能模块划分能满足这两个条件！4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道101( )( )Njjjr trt 正交基函数正交基函数：jmjjrsn00( )( )( )( ) ( )TTjjmjrr tt dtstn tt dt 将接收到的将接收到的信号加噪声信号加噪声变换成变换成 N 维向量维向量，即将，即将 r(t) 展开成一系展开成一系列线性加权正交基函数之和列线性加权正交基函数之和( j =1, 2, N )问题：根据上述抽样值问题：根据上述抽样值 rj 进行判决，条件是否充足？进行判决，条件是否充足？4.2 波形与矢量波形与

11、矢量AWGN信道信道( )jt 11211( )( )( )( )NNmjjjjjkr tstntn t 21( )( )( )Njjjn tn tnt 21( )( )Njjjrtn t 相关器的输出相关器的输出 kmkmmk01 0)()()(0 TkkdttftnEnEsm(t) 是确定的是确定的信号分量信号分量smk也是确定的也是确定的kmkknsr nk 是高斯随机变量是高斯随机变量mkN 021 TTmkmkdtdftfntnEnnE00)()()()()( 均值：均值：协方差：协方差：nk 是零均值，方差是零均值，方差 的的不相关不相关的高斯随机变量！的高斯随机变量！2/02Nn

12、 接收信号矢量接收信号矢量rj剩余噪声：剩余噪声：是零均值的高斯噪声过程是零均值的高斯噪声过程的联合概率密度分布函数：的联合概率密度分布函数：114.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道121( )( )NjjkjEn tntn 2( )n t因此，因此，判决可以完全根据相关器输出信号判决可以完全根据相关器输出信号 rm= smk+ nk 来进行。来进行。0011( )( )022kkNtNt 2( ) kE n t r另外，另外， 与与N个相关器输出个相关器输出 rk 是不相关的：是不相关的：相关器的输出相关器的输出 (r1 , r2 , rN ) 对判决来说是充分统计的！对判决来说是充

13、分统计的！01 ( ) ( )( )( )NTkjkkjE n t ndE n nt 2( )kE n t n 0( ) ( )Tjjnnd 结论：结论：就哪一个信号波形被发送而言，就哪一个信号波形被发送而言， 不包含与判决有关的任何信息不包含与判决有关的任何信息。22( )( )mkkE n t sE n t n 21( )( )( )Njjjn tn tnt 代入：代入：代入：代入：4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道2( )n t13随机向量随机向量 r =r1, r2, rN 的联合条件的联合条件PDF: Nkmkkmsrpsrp1)|()|(mkkmkksnsErE m =1

14、, 2, M02221Nnr 在发送第在发送第m个信号的条件下，相关器输出个信号的条件下，相关器输出 rk 是是统计独立统计独立的高斯随的高斯随机变量！机变量！rk 的均值：的均值：方差：方差： NkmkkNmNsrNsrp1022/0)(exp)(1)|( 决定了概率密度决定了概率密度值的大小值的大小4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道14最大后验概率准则：最大后验概率准则：选择后验概率集选择后验概率集 P P( (s sm m| |r r) ) 中最大值的信号。中最大值的信号。 NkmkkNmNsrNsrp1022/0)(exp)(1)|( 发送信号等概时：发送信号等概时：4.2

15、波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道1arg max( |)mmm MmP p r s 210|arg max lnmmm MrsPN 2011arg maxln|22mmm MNPrs 011arg maxln22mmmm MNPEr s 2211arg max|arg min |mmm Mm Mmrsrs 距离度量距离度量15距离度量：距离度量：)2, 1(22)(),(221211212MmssrrssrrsrsrDmmNnmnNnmnnNnnNnmnnm 最小最小等价于等价于最大最大22),(mmmssrsrD ),(msrD ),(),(mmsrDsrC 变型距离度量：变型距离度量：

16、信号的能量信号的能量相关度量：相关度量：mms 222),(mmmssrsrC 注意：如果信号具有相同的能量，计算中可以忽略该项注意：如果信号具有相同的能量，计算中可以忽略该项4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道161. 1. 二进制双极性信号传输的最佳检测：二进制双极性信号传输的最佳检测： 21112( |)P()(| )exp( )22bnnrEp r sspp srP r 给定发送信号给定发送信号 条件下接收信号值的条件条件下接收信号值的条件PDF一维信号表示：一维信号表示：brEn 2121( |)exp22bnnrEp r s 2221( |)exp22bnnrEp r s

17、psps 1P ,P21MAPMAP准则：准则： 22222( |)P()1(| )exp( )22bnnrEp r sspp srP r 4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道12( )( ), ( )( )s ts ts ts t 17MAPMAP准则：准则：2211211)|()|( 1)|()|(srsprspsrsprsp 22122(| )exp(| )12bbnrErEp srpp srp 122221ln2sbbnsrErEpp 120th11ln4ssspE rNrp 如果发送信号等概，则判决阈值为如果发送信号等概，则判决阈值为0，判决区域等分。这时也就是，判决区域等分

18、。这时也就是ML准则的判决依据。准则的判决依据。如果如果 s1 的发送概率更大，则判决阈值为负，的发送概率更大，则判决阈值为负， s1 的判决区域更大；反的判决区域更大；反之亦然。之亦然。一维的判决区域。一维的判决区域。4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道1. 1. 二进制双极性信号传输的最佳检测：二进制双极性信号传输的最佳检测：120th11ln4sbsprNrpE 在发送等概时，在发送等概时，02beEPQN thth00(1)/ 2/ 2bbErErpQp QNN 184.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道1. 1. 二进制双极性信号传输的最佳检测：二进制双极性信号传输的最

19、佳检测：21( |)(1)( |)ebbDDPpp r sdrpp r sdr 1/ 2p 其中，其中，21202dQN 194.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道2. 2. 等概率二进制信号传输方式的差错概率：等概率二进制信号传输方式的差错概率：22112122112()()22ben ssddPPPP n ssd 1221|dss 221212( ( )( )2 (1)ds ts tdtE 双极性信号时，双极性信号时， ，可得最小的错误概率。，可得最小的错误概率。1 判决区域划分。判决区域划分。0beEPQN 204.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道3. 3. 二进制正交信号

20、传输的最佳检测：二进制正交信号传输的最佳检测：1221|2dssE 0 , ( )( ) 1,20, ijEijs t s t dti jij 每比特信噪比：每比特信噪比：0bbEN 1s2s0122dE 211( )( )Njjjr trt 相关接收机相关接收机正交基函数正交基函数jmjjrsn( )( )jjrr tt dt 将接收到的将接收到的信号加噪声信号加噪声变换成变换成 N 维向量维向量，即将，即将 r(t) 展开成一系列线性加权正交基函数之和展开成一系列线性加权正交基函数之和( j=1, 2, N )correlated4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道( )jt 01

21、1arg maxln22mmmm MNmEr s 只要获得了接收信号的矢量表示，就可以只要获得了接收信号的矢量表示，就可以完成完成MAP检测需要的相关运算。检测需要的相关运算。22( )()(0)jh tTttT 匹配滤波器匹配滤波器t=T 抽样：抽样：滤波器冲激响应滤波器冲激响应:0( )( )()Tkkr trTtd 用一组用一组 N 个线性滤波器替代一组个线性滤波器替代一组 N 个相关器来产生个相关器来产生 rk 滤波器输出：滤波器输出：0( )( )( )Tkkkr Trdr 在在 t=T 时刻滤波器输出样值与由时刻滤波器输出样值与由 N 个个相关器得到的一组相关器得到的一组 rk 完

22、全相同。完全相同。4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道23 TdtTssty0)()()( 对信号的响应：对信号的响应：本质上是本质上是 s( t ) 的时间自相关函数，的时间自相关函数，是是 t 的偶函数，在的偶函数，在t=T 时达到峰值，时达到峰值，并可以获得最大的输出信噪比。并可以获得最大的输出信噪比。h( t )=s( T-t )y( t )s( t )如果匹配的是发送信号波形如果匹配的是发送信号波形 s(t) ，匹配结果如何？，匹配结果如何？匹配滤波器匹配滤波器0tT匹配的时域输出：匹配的时域输出：4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道24匹配滤波器输出信噪比：匹配滤波

23、器输出信噪比：h( t )= s( T-t )y( t )r( t )0tT定义：定义： TTTdthndthsdthrty000)()()()()()()( )()()()()()()(00TyTydThndThsTynsTT )()(SNR22OTyETyns TTTTTndttThNdtdtThThtNdtdtThThtnnETyE020000002)(2)()()(2)()()()()( 4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道25匹配滤波器输出信噪比：匹配滤波器输出信噪比：h( t )= s( T-t )y( t )r( t )0tTCauchy-Schwarz不等式：不等式：匹

24、配滤波器的输出信噪比决定于信号波形匹配滤波器的输出信噪比决定于信号波形 s(t) 的能量，而与的能量，而与 s(t) 的的细节特征无关！细节特征无关！ TTnsdThNdThsTyETy0202022O)(21)()()()(SNR dttgdttgdttgtg)()()()(2221221取等条件：取等条件：)()(21tCgtg 最大输出信噪比：最大输出信噪比：0020O2)(2SNRNdttsNT )()(tTCsth 能量与平均功率。能量与平均功率。最大信噪比与最小错误概率最大信噪比与最小错误概率4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道26)()(tTsth 匹配滤波器的频域解释匹

25、配滤波器的频域解释h( t )=s( T-t )y( t )r( t )0tT TftjdtetTsthFfH02)()()( fTjefSfSfHfY 22)()()()( fTjefS 2)( 匹配滤波器输出：匹配滤波器输出： dfeefSdfefYtyftjfTjftj 2222)()()(抽样时刻抽样时刻 t = T： TdttsdffSTy022)()()( dffHNdffPn200)(21)( dffSN20)(21021N 002O22/SNRNNPPns 4.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道274.2 波形与矢量波形与矢量AWGN信道信道最大似然检测错误概率的一致边界

26、：最大似然检测错误概率的一致边界：min1,min|mmm mMmmdss 22min0022mmddQQNN 2min0(1)2edPMQN 基于基于 ， 2212xQ xe 2min0412dNeMPe 选择离选择离r最近的幅度电平为判决输出最近的幅度电平为判决输出M个一维信号个一维信号minminmin131, , , 222Mddd 最大相关度量判决规则：最大相关度量判决规则：nAnsrmgm 21落在此区间判决为落在此区间判决为smsmsm+1sm-14.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率1. ASK或或PAM信号信号2minbavg212log(1

27、)MdEM 对于中间的符号：对于中间的符号：2minmin0P |222eiddPnQN对于最外层的两个符号：对于最外层的两个符号：2min02eodPQN bavg2206log2(1)1eEMMPQMMN 假设信息发送等概，假设信息发送等概，4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率1. ASK或或PAM信号信号22minmin002min012(2)2222(1)2eddPMQQMNNdMQMN l M=2时，相当于二进制双极性信号时，相当于二进制双极性信号的错误概率的错误概率l M较小时，较小时，M每增加每增加1倍，比特倍，比特SNR的增加超过的增加超过4

28、dBl M较大时，较大时，M每增加每增加1倍，要求比特倍，要求比特SNR增加近增加近6dB304.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率bavg2206log2(1)1eEMMPQMMN 1. ASK或或PAM信号信号计算接收信号计算接收信号 r=( r1, r2 ) 的相位，选择相位最接近的相位，选择相位最接近r的信号向量的信号向量sm信号二维向量表达式信号二维向量表达式)1(22cos)()( mMtftgtscm 信号波形信号波形22cos(1),sin(1)msssmmMM 121tanrrr1mM，0tTg( t ) 发送信号的脉冲波形发送信号的脉冲波形

29、4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率2. PSK信号信号例如例如 ，这时，这时1,0ss 1212 ,srr rnn 22120()1201( ,)srrNp r reN PSK信号的判决域：基于相位的判决方法。信号的判决域：基于相位的判决方法。假设：发送信号相位假设：发送信号相位发送信号向量发送信号向量0 r 1, 0ss 11nrs 接收信号接收信号 r =r1, r2 向量分量向量分量，也就是发送信号，也就是发送信号s1(t)22nr 32121tan (/)rr 设设2221rrV 2,002cos1( , )expssVvvPvNN 22,0(2c

30、os ) /22sin0( )( , )12ssVvPPvdvevedv 符号符号SNR0/ Nss 4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率22120()1201( ,)srrNp r reN 讨论几种特殊情况讨论几种特殊情况02bbPQN lM=2，二进制相位调制二进制相位调制lM=4，实际上是实际上是两个相位正交的二进制相位调制两个相位正交的二进制相位调制正确判决概率：正确判决概率：202221)1( NQPPbc 错误概率：错误概率：002211212bbecPPQQNN u比特错误概率：比特错误概率：同上同上u符号错误概率：符号错误概率：33/1( )

31、MMMPPd 符号错误概率符号错误概率（发送信号相位为（发送信号相位为0时）时） ：4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率lM4数值积分数值积分l在在大大M值和大值和大SNR时：时：近似处理近似处理2/sin/1cossMsMMPed 2sin( )cosssPe )/sin(222Musdue )/sin(22MQs )/sin(22MkQb bskMk 2logMbPkP1 Gray码，且差错为相邻的相位，此时有码，且差错为相邻的相位，此时有当当M增加时，比特增加时，比特SNR付出的代价付出的代价344.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最

32、佳检测和错误概率PSK相干解调存在的问题相干解调存在的问题 相位模糊相位模糊解决办法：解决办法：采用采用差分编码差分编码PSKl相干解调：相干解调： 近似于近似于PSK错误概率的错误概率的2倍！倍！u将当前时刻接收信号与前一时刻接收信号的相位进行比较。将当前时刻接收信号与前一时刻接收信号的相位进行比较。l非相干解调：非相干解调：l相干相位解调需要载波相位的信息；相干相位解调需要载波相位的信息；l载波相位来自接收信号通过某些非线性运算得到。载波相位来自接收信号通过某些非线性运算得到。因为：因为：对前后两个信号间的相位差进行编码。对前后两个信号间的相位差进行编码。DPSK 性能：性能：u经推导可得

33、二进制经推导可得二进制DPSK错误概率：错误概率：0/21NbbeP 354.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率二维向量表达式二维向量表达式( )( )cos2( )sin2mmicmqcstA g tf tAg tf t 3. QAM信号信号,22ggmmimqsAA 222avg12( 3 )224AAA 1mM0tT平均功率：平均功率：1). M=4的的QAM22avg14 ( 2 )24AA 两幅度，四相位两幅度，四相位QAM：四相信号：四相信号：结论：结论：两个信号集具有相同的差错性能！两个信号集具有相同的差错性能！QAM的错误概率与信号点的星座图有

34、关！的错误概率与信号点的星座图有关！两种信号星座图两种信号星座图Ad2min AAAA321错误概率主要取决于信号点之间的最小距离。错误概率主要取决于信号点之间的最小距离。364.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率2). M=8的的QAM2avg6A 平均发送功率：平均发送功率：主要研究四相信号星座图主要研究四相信号星座图22avg122211()()MmcmsmMmcmsmAAMAaaM Ad2min 图（图（a）,（c）：）：),(msmcaa由由A归一化的信号点坐标归一化的信号点坐标2avg6.83A 图（图（b）：）：2avg4.73A 图（图（d）：

35、）：(d)信号星座图要求的功率最信号星座图要求的功率最小小 最好的最好的8点点QAM星座图星座图比比(a)、(c) 小小1dB；比；比 (b) 小小1.6dB。374.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率3). M16QAMl 圆周形多幅度信号星座圆周形多幅度信号星座对于对于AWGN信道，圆周形信道，圆周形16 QAM星星座不是最好的。座不是最好的。l 矩形信号星座矩形信号星座在两个正交载波上施加两个在两个正交载波上施加两个PAM信号来产生信号来产生16QAM星座是最佳星座是最佳8QAM信号星座的推广信号星座的推广容易产生，容易解调。容易产生，容易解调。384.

36、3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率3). M16QAMQAM信号星座信号星座在两个正交载波上的在两个正交载波上的两个两个PAM信号信号等效为等效为其中每个具有其中每个具有 个信号点个信号点2/2kM 39注意：矩形信号星座注意：矩形信号星座 QAM 虽不是最好的，但所需要的平均发送光虽不是最好的，但所需要的平均发送光功率仅稍大于最好的功率仅稍大于最好的QAM。4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率l 矩形信号星座矩形信号星座对于对于 ，且，且k是偶数时，有是偶数时，有22,QAM,QAM,QAM(1)c McMeMPPP mi

37、n,QAM012 12eMdPQMN kM2 2minavg6log1MdM 393). M16QAM矩形信号星座的错误概率：矩形信号星座的错误概率：4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率40avg2,QAM0avg20avg203log14 113log11113log41e MMPQMNMMQMNMMQMN 414-QAM，QPSK：4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率b4022PQN 16-QAM：bavg160435PQN l 矩形信号星座矩形信号星座avg2,QAM03log41e MMPQMN l 非矩形信号星座

38、非矩形信号星座2min0(1)2MdPMQN )/(sin2)1/(32MMRM lM=4时：时：RM=1，4-PSK与与4-QAM具有同样的性能具有同样的性能lM4时：时：RM1，M元元QAM的性能比的性能比M元元PSK好好32-QAM比比32-PSK有有7dB的性能改善！的性能改善！42M元元QAM和和M元元PSK的比较的比较 2b2022logsinMPQMMN 4.3 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率关键？相关接收机关键？相关接收机1222( )( )cos2, ( )( )sin2ccggtg tf ttg tf t4. 解调和检测解调和检测434.3

39、 带限信号传输的最佳检测和错误概率带限信号传输的最佳检测和错误概率01011arg maxln221arg max Re()ln2mmmm Mlmlmmlm MNmr sPr sNP *( )( )lmllmlr sr t st dt ( )( )mlmstA g t 匹配滤波器！匹配滤波器！当使用匹配滤波器时，误码性能与使用的当使用匹配滤波器时，误码性能与使用的脉冲波形无关！脉冲波形无关！假定发送信号假定发送信号s1，则接收向量，则接收向量(M维维)：12,Mrnnn 相关值运算结果：相关值运算结果：1MmmkmkkRr sr s 11Rnm=1, 2, ，M, 2mmRnmM m =2,

40、3, ，M最大相关度量判决规则最大相关度量判决规则（等能量）（等能量）选择最大者对应的选择最大者对应的sm44注意：不是比特能量注意：不是比特能量4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率1. M元正交信号：假设等能量正交信号元正交信号：假设等能量正交信号12(,0,0,0)(0,0,0)(0,0,0,)Msss 1arg maxmm Mmr s 121100()1()exprxPxNN 的的PDF： 020/exp1)(NxNxPmmrm 其它其它M-1个输出的个输出的PDF：11rn rm = nm454.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳

41、检测和错误概率1. M元正交信号：元正交信号：1MmmkmkkRr sr s 11Rn, 2mmRnmM 检测器检测器正确判决的概率：正确判决的概率：121311121311P,| sendP,| sendcMMPRR RRRRsnnnnnns ( R1 大于其余大于其余 M-1 个相关器输出个相关器输出 Rm 的概率的概率)在给定在给定r1条件下，条件下，n2, , nM 同时小于同时小于r1 的联合概率的联合概率检测器检测器正确判决的概率：正确判决的概率：11213111112111P,| send, ( )P| send, ( )cMnMnPnn nnnn snn pn dnnn snn

42、pn dn 1)()|(11rmmrmdxxPrrnPm 111/2/2/)(21012drrPdxePMNrxc 012/2/2/21Nrxdxe 将这个联合概率将这个联合概率在所有在所有n1上平均上平均正确判决的概率：正确判决的概率：46注意：此处为符号正确判决的概率，每个符号对应注意：此处为符号正确判决的概率，每个符号对应 k 个比特。个比特。2131111211P,| send P| sendMMnn nnnn snn s 021112P| send, 1Nnnn snnQ 4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率检测器检测器正确判决的概率：正确判决的概

43、率：11213111112111P,| send, ( )P| send, ( )cMnMnPnn nnnn snn pn dnnn snnpn dn 将这个联合概率将这个联合概率在所有在所有n1上平均上平均472131111211P,| send P| sendMMnn nnnn snn s 021112P| send, 1Nnnn snnQ 其中，由高斯分布有其中，由高斯分布有2001/0211MnNcNnPQednN 正确判决的概率：正确判决的概率：注意：此处为符号正确判决的概率，每个符号对应注意：此处为符号正确判决的概率，每个符号对应 k 个比特。个比特。4.4 功限信号传输的最佳检测

44、和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率符号错误概率：符号错误概率： 21011211( )exp22MePQ xxdxN M个信号等概个信号等概平均符号错误概率平均符号错误概率l符号符号SNR比特比特SNR 转化为转化为0/ Ns 0/ Nb kM2 l 等效二进制错误概率等效二进制错误概率121eekPPM 等概情况下，所有符号的差错概率都为：等概情况下，所有符号的差错概率都为：每个符号的每个符号的平均比特差错数：平均比特差错数：121212kbeekPPP 一个符号一个符号 ( k 个比特个比特) 中中有有 n 比特差错比特差错的情况：的情况：bsk 每个符号传送每个符号传送k比特比特

45、注意：所有星座点间的距离相同。注意：所有星座点间的距离相同。当当k足够大时足够大时484.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率注意：注意： 为了达到给定的比特错误概率，为了达到给定的比特错误概率，增加波形增加波形个数个数 M 可以减少对比特可以减少对比特SNR的要求的要求。例：例：Pb=10-5 时时M=2 SNR大约为大约为12dBM=64 SNR大约为大约为6dB节省了节省了6dB !问题：问题： 当当 M 时，为了达到任意小的错误概时，为了达到任意小的错误概率，所要求的最小率，所要求的最小 SNR 是多少？是多少？每个符号的每个符号的平均比特差错数：平均比

46、特差错数：121212kbeekPPP 当当k足够大时足够大时494.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率 kPM，0Shannon极限极限 在在 k （即（即M=2k ）的极限情况下，达到任意小）的极限情况下，达到任意小的错误概率所要求的最小的错误概率所要求的最小SNR为为 -1.6 dB.)6 . 1(693. 02ln0dBNb 若：若：当：当：502min0/4min1, 22dNeMPed 02/0)/(NsseNQ 利用利用00/2(/2ln2)/22bbkNkNkePee )42. 1(39. 12ln20dBNb 若：若：，有，有有：有：(2)0

47、kekMP， 更紧的错误概率上限：更紧的错误概率上限： 20/ln22bkNePe 4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率解调：解调：用用N=M/2个相关器或匹配滤波器个相关器或匹配滤波器假定发送信号假定发送信号s1(t)，相应的信号向量：，相应的信号向量：星座图由星座图由M/2个正交信号及其个正交信号及其M/2个负值信号构成个负值信号构成2. 2. 双正交信号：双正交信号：514.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率11222(,0,0,0)(0,0,0)(0,0,0,)NNNNssssss 1, 0, 0s 12,Nrnnn

48、 接收信号向量：接收信号向量：( ,)mmC r sr s m=1, 2, ，M/2最大相关度量判决规则：最大相关度量判决规则：( ,)mmC r sr s m=1, 2, ，M/22. 2. 双正交信号：双正交信号：最大相关度量判决规则：最大相关度量判决规则：l 选取输出幅度最大项为判决信号选取输出幅度最大项为判决信号l 正负号用来确定发送信号是正负号用来确定发送信号是 sm(t) 还是还是 -sm(t)正确判决的概率：正确判决的概率：110rn 且且 r1 超过超过 |rm|=|nm|同时满足同时满足的概率的概率524.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率

49、2/2/2/011010121102211)0|(|NrNrxrrNxmdxedxeNrrnP 21100()1( )exprP rNN 1ecPP 22000/2 12 /2/22 /(2 /)12MvNxvcNvNPedxedv 符号错误概率符号错误概率:正确判决的概率：正确判决的概率： 011122/2/2/)(2101012drrpdxePMNrNrxc 02/21111)()0|(|MmmcdrrPrrnPP53噪声信号间相互独立噪声信号间相互独立2. 2. 双正交信号：双正交信号：4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率说明：说明：l为了达到给定的比

50、特错误概率，为了达到给定的比特错误概率，增增加波形个数加波形个数M可以减少对比特可以减少对比特SNR的要求的要求l当当M 时，达到任意小的错误时，达到任意小的错误概率需要的最小概率需要的最小 为为 -1.6 dB 0Nb Shannon极限极限。M元双正交信号的符号错误概率元双正交信号的符号错误概率lPe 是是 的函数，的函数，结果类似于正交信号的情况。结果类似于正交信号的情况。bk 0/ Nb 2. 2. 双正交信号：双正交信号：4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率542 M3. 单纯信号：单纯信号：l 单纯信号的发送能量为单纯信号的发送能量为 ，低于正交

51、信号，低于正交信号l 具有相同的相邻信号点间的最小距离具有相同的相邻信号点间的最小距离2 因此具有相同的误码性能。因此具有相同的误码性能。(1)/MM MM1log10 的误码性能优势。的误码性能优势。，单纯信号就是双正交信号，单纯信号就是双正交信号，3dB的误码性能优势。的误码性能优势。 21011211( )exp212MeMPQ xxdxMN 4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率功限信号传输的最佳检测和错误概率554.5 非相干检测非相干检测)(Re)(2ttfjcetgts )(Re2200tfjtfjcceettg 02tfc 背景背景: :实际中，接收信号的载波相位具有不确定性

52、实际中，接收信号的载波相位具有不确定性l 发送机和接收机中振荡器产生的载波相位不同步发送机和接收机中振荡器产生的载波相位不同步l 不能准确知道信号从发送到接收的传播延迟不能准确知道信号从发送到接收的传播延迟发送信号发送信号接收信号接收信号传播延迟引起的载波相移：传播延迟引起的载波相移：(经信道传播延时经信道传播延时 t0，不考虑信道噪声，不考虑信道噪声)问题：问题：在不知道载波相位的情况下，并且也不必对该相位值进行在不知道载波相位的情况下，并且也不必对该相位值进行估计时，最佳接收机的形式如何设计？估计时，最佳接收机的形式如何设计？)(Re)()()(2000ttfjcettgttstr fc=

53、1MHz时：时：t0=0.5us, 180o相移！相移！传播延迟可能迅速发生变化。传播延迟可能迅速发生变化。564.5 非相干检测非相干检测57( )( ; )( )mr tstn t 假设接收信号：假设接收信号：,mrsn 最佳判决准则（最佳判决准则（MAP准则）：准则）：11,1arg max( |)arg max( |, ) ( )arg max() ( )mm Mmm Mmnmm MmP p r mPp r mpdPp rspd 错误概率计算：错误概率计算： 11,1 1( |)( |, ) ( )() ( )ccmmmMMemmmDDmmMMmnmDmmmmPPp r sdrPp r

54、 mpddrPp rspddr 4.5 非相干检测非相干检测58( )( )( )mr tAstn t 例例4.5-1：双极性二进制调制，未知的随机增益：双极性二进制调制，未知的随机增益A，且已知，且已知A非负非负最佳判决准则（最佳判决准则（MAP准则）：假设先验等概准则）：假设先验等概,11arg max( |,) ( )arg max() ( )mmnm Am Mm MmPp r m A p A dAPp rsp A dA 00()()100:( )( )bbrA ErA ENNDrep A dAep A dA 1:0Dr r 0()0000021( )( )brA ENbbEPedrp

55、A dAQ Ap A dANN 4.5 非相干检测非相干检测59( )( )( )mr tAstn t 例例4.5-1：双极性二进制调制，未知的随机增益：双极性二进制调制，未知的随机增益A，且已知，且已知A非负非负00211222bbbEEPQQNN假设假设(1)(0.5)0.5P AP A思考：注意此时接收机的平均比特能量有思考：注意此时接收机的平均比特能量有bavg11 15()22 48bbbEEEE 同时同时bavg0002211222bbbEEEPQQQNNN 为什么会出现这样的性能损失？怎么办？为什么会出现这样的性能损失？怎么办？4.5 非相干检测非相干检测60( )( )( )j

56、lmllr te stn t 1. 载波调制信号的非相干检测载波调制信号的非相干检测随机相位的概率描述：随机相位的概率描述：0, 2间的均匀分布间的均匀分布jmllre sn 1arg max()2ljmnlmlm MPmpre sd 2000|240101|cos()222011arg max2(4)arg max2jlmlmlmlresNmNm Mr sNNmm MPmedNPeed 02010|arg max2mNlmlmm Mr smP eIN 2cos( )001( )2xIxed 4.5 非相干检测非相干检测611. 载波调制信号的非相干检测载波调制信号的非相干检测假设先验等概且各

57、符号等能量时，更进一步的有，假设先验等概且各符号等能量时，更进一步的有，0110|arg maxarg max|2lmllmlm Mm Mr smIr sN*1arg max|( )( )|lmlm Mmr t st dt 包络检测器包络检测器4.5 非相干检测非相干检测622. FSK调制信号的最佳非相干检测调制信号的最佳非相干检测 22 (1)( )( )cos(22 (1)Re( )cjf tjmftmcstg tf tmftg t ee 2 (1)( )( )jmftmlstg t e 假设发送的是第假设发送的是第m个符号，这时接收机包络检测器的第个符号，这时接收机包络检测器的第m个支

58、路个支路的输出是的输出是*( )( )( )( )( )( )( )( )( )lm lmllm lmlm llm lr t st dtstn t st dtst st dtn t st dt 如果如果FSK使用的频率间隔满足正交性的要求时，第一项使用的频率间隔满足正交性的要求时，第一项*( )( )0, for all mlm lst st dtmm 4.5 非相干检测非相干检测633. 正交信号传输非相干检测的错误概率正交信号传输非相干检测的错误概率假设先验等概，等能量，假设先验等概，等能量，M维的信号空间矢量描述维的信号空间矢量描述1010Re(2cos , 2)Im(2sin , 2)

59、llssllssr sNEE Nr sNEE N 假设发送的是第假设发送的是第1个符号，由此可得包络检测器各支路输出有个符号，由此可得包络检测器各支路输出有12( 2,0,0,0)(0,2,0,0)(0,0,0,2)lslsMlssEsEsE 00Re(0, 2)Im(0, 2)lmlslmlsr sNE Nr sNE N2mM4.5 非相干检测非相干检测643. 正交信号传输非相干检测的错误概率正交信号传输非相干检测的错误概率|mlmlRr s 定义定义 ，则判决规则为，则判决规则为2mM1arg maxmm MmR 为了计算错误概率，需要求出为了计算错误概率，需要求出 的分布的分布mR22

60、12111210122( ), 0rsRrsrprIer 22222(), 0mmrsmRmmrprer 202, 2sssEE N Ricean分布分布Rayleigh分布分布错误概率计算错误概率计算（发送信号为（发送信号为 s1(t) 时）时）：12131111110(,|)( )MRP RR RRRrRr pr dr ),(11312RRRRRRPPMc 4.5 非相干检测非相干检测65正确判决概率正确判决概率（发送信号为（发送信号为 s1(t) 时）时）：112111110 (|)( )McRPP RRRrpr dr 2112222111220(|)()1rrRP RRRrpr dre