2020年人教A版高中数学必修第一册5.4-三角函数的性质(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上5.4 三角函数性质思维导图躬行实践运用一 五点画图【例1】（1）在0,2内用五点法作出ysinx1的简图.（2）画出函数y1cos x，x0,2的图象【答案】见解析【解析】（1）按五个关键点列表x02322y12101描点并用光滑曲线连接可得其图像，如图所示.（2）列表如下：x0cos x101011cos x21012描点：连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象【思路总结】五点法画图作形如yasin xb(或yacos xb)，x0,2的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：列表，取x0、2；描点；用光滑曲线连成图【触类旁通】1用“五点法”作函数y2cos

2、 x3(0x2)的简图【答案】见解析【解析】由条件列表如下：描点、连线得出函数y2cos x3(0x2)的图象如图所示2.画出函数y32cos x的简图【答案】见解析【解析】(1)列表，如下表所示x02ycos x10101y32cos x53135(2)描点，连线，如图所示：3.y|sin x|，x0,4【解析】首先用“五点法”作出函数ysin x，x0,4的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y|sin x|，x0,4的简图，如图所示运用二 周期【例2-1】求下列函数的周期(1)y2sin 2x；(2)ycos.【答案】（1） （2）4【解析】(1)方法一因为2sin(

3、2x2)2sin 2x，即2sin 2(x)2sin 2x.由周期函数的定义，可知原函数的周期为.方法二T.(2)方法一因为coscos，即coscos.由周期函数的定义，可知原函数的周期为4.方法二T4【例2-2】下列函数中，不是周期函数的是()A.y|cos x| Bycos|x|Cy|sin x| Dysin|x|【答案】D【解析】画出ysin|x|的图象，易知ysin|x|不是周期函数【触类旁通】1（2019·平罗中学高一期中（文）函数的最小正周期是（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，所以其最小正周期为,故选C.2（2019·云南高二期末）函数 的最小正周期为_【

4、答案】【解析】由题得函数的最小正周期.故答案为：运用三 正余弦函数曲线的运用【例3】根据正弦曲线求满足sin x在0,2上的x的取值范围【解析】在同一坐标系内作出函数ysin x与y的图象，如图所示观察在一个闭区间0,2内的情形，满足sin x的x，所以满足sin x在0,2上的x的范围是x0x或x2.或【触类旁通】1不等式sin x>0，x0,2的解集为()A0， B(0，) C. D.【答案】B【解析】由ysin x在0,2的图象可得2直线y与函数ysin x，x0,2的交点坐标是_【答案】，【解析】令sin x，则x2k或x2k，又x0,2，故x或.3根据ycos x的图象解不等式

5、：cos x，x0,2【答案】见解析【解析】函数ycos x，x0,2的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为运用四 奇偶性【例4】（1）下列函数不是奇函数的是Aysin x Bysin 2xCysin x2 Dysin x（2）（2019·陕西高一期末）若函数的图像关于轴对称,则=（ ）ABCD【答案】（1）C（2）B【解析】当x时，ysin23，当x时，ysin()21，函数ysin x2是非奇非偶函数（2）函数f（x）cos（）sin （0，2）的图象关于y轴对称，由题知 ，故选：B【触类旁通】1. 判断函数的奇偶性(1)f(x)|sin x|cos x；(2)f(x).【答

6、案】（1）偶函数（2）既是奇函数又是偶函数【解析】(1)函数的定义域为R，又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以f(x)是偶函数(2)由1cos x0且cos x10，得cos x1，从而x2k，kZ，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数2函数f(x)sin是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数【答案】B【解析】f(x)sinsinsincos 2 010x，f(x)定义域为R，且f(x)cos(2 010x)cos 2 010xf(x)，所以函数f(x)为偶函数答案：B3下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()Ayc

7、os|2x| By|sin x|Cysin Dycos【答案】D【解析】ycos|2x|是偶函数；y|sin x|是偶函数；ysincos 2x是偶函数；ycossin 2x是奇函数，且其最小正周期T.4（2019·榆林市第二中学高一期末）已知，若函数为奇函数，则_【答案】【解析】若函数为奇函数，则，即，解得，又因为，所以运用五 单调性【例5】(1)函数f(x)sin的一个递减区间是()A.B，0C.D.(2)求函数y2sin的单调递增区间【答案】见解析【解析】(1)由x，可得x.所以是函数的一个减区间(2)由y2sin，得y2sin.要求函数y2sin的单调递增区间，只需求出函数y

8、2sin的单调递减区间令2k2x2k，kZ，解之得kxk，kZ.函数的单调递增区间为(kZ)【触类旁通】1.函数ycos的单调递增区间是_【答案】(kZ)【解析】因为2k2x 2k，kZ.所以kxk，kZ.2（2019·内蒙古高一月考）函数的单调递减区间是_【答案】【解析】正弦函数的单调递减区间为，由，得，记，则，故答案为：.运用六 对称性【例6】（1）函数ysin的一个对称中心是()ABCD（2）（2019·天水市第一中学高一期末（理）函数图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（）A，B，C，D，（3）（2019·上海市控江中学高一期末）已知是常数，如果函数的图像

9、关于点中心对称，那么的最小值为（ ）ABCD【答案】（1）B（2）B（3）C【解析】（1）ysin=cos2x，可令2x=，可得x=，,可得函数的对称中心（，0），结合选项可得，当k=0时，选项B正确，故选B.（2）由题意，函数的性质，令，解得，当时，即函数的一条对称轴的方程为，令，解得，当时，即函数的一个对称中心为，故选：B（3）由于函数的图象关于点中心对称，则，则，因此，当时，取得最小值，故选：C.【触类旁通】1（2019·西藏高一期末）函数的图像关于直线对称，则的最小值为（）ABCD1【答案】C【解析】对称轴为：当时，有最小值为 故答案选C2“”是“函数的图象关于直线对称”的（

10、 ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时， ，若时 ，故： 是对称轴，排除：B,D函数对称轴若是，则，故排除：C，答案选A3（2019·湖南高一期末）函数f(x)=3cos4x+56图像的一个对称中心是（ ）A.12,0B.6,0C.3,0D.56,0【答案】B【解析】由题得4x+56=k+2，kZ,所以x=k4-12(kZ)，所以f(x)=3cos4x+56图像的对称中心是k4-12,0(kZ)当k=1时，函数的对称中心为6,0.故选：B运用七 最值（值域）【例7】求下列函数的值域：(1)ycos，x；(2)y2sin2x2sin

11、x，x.【答案】（1）（2）【解析】(1)由ycos，x0，可得x，函数ycos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.(2)令tsin x，y2t22t221.x，sin x1，即t1，1y，函数f(x)的值域为.【触类旁通】1函数y2sin x的最大值及取最大值时x的值为()Aymax3，x Bymax1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ) Dymax3，x2k(kZ)【答案】C【解析】x2k(kZ)时，ysin x有最小值1，函数y2sin x有最大值3.2函数f(x)sin在区间上的最小值为_【答案】【解析】当0x时，2x，因为函数ysin x在上的函数值恒为正数，在上的函数值

12、恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0).3（2019·榆林市第二中学高一期末）函数的值域为（ ）ABCD【答案】C【解析】，当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最大值为，所以函数的值域为，故选C运用八 比较函数值的大小【例8】不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin 14°与sin 156°；（2）cos 515°与cos 530°【答案】（1）sin14°<sin156°（2）cos515°>cos530°【解析】利用三角函数单调性比较（1）sin15

13、6°sin(180°24°)sin24°90°<14°<24°<90°，ysinx在90°，90°上是增函数，sin14°<sin24°，即sin14°<sin156°（2） cos 515°cos(515°360°)cos155°，cos 530°cos(530°360°)cos170°，90°<155°<170&

14、#176;<180°而ycosx在90°，180°上是减函数cos155°>cos170°即cos515°>cos530°【触类旁通】不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小(1)sin与sin；(2)cos 870°与sin 980°.【答案】见解析【解析】(1)sinsinsin，sinsinsin，因为ysin x在上是增函数，所以sin<sin，即sin<sin.(2)cos 870°cos(720°150°)cos 150°

15、，sin 980°sin(720°260°)sin 260°sin(90°170°)cos 170°，因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.运用九 正切函数性质【例9】(1)求函数ylg(tan x)的定义域 。（2）函数ytan的单调区间 。（3）函数f(x)tan的最小正周期为 。【答案】（1）（2）(，)(kZ)（3）【解析】（1）

16、要使ylg(tan x)有意义，需使，所以函数的定义域是.（2）ytantan.由k<3x<k(kZ)，得<x<(kZ)所以函数ytan的单调递减区间为(，)(kZ)（3）方法一函数f(x)tan(x)的周期是T，直接利用公式，可得T.方法二由诱导公式可得tantantan，所以ff(x)，所以周期T.【触类旁通】1下列关于函数ytan的说法正确的是()A在区间上单调递增 B最小正周期是C图象关于点成中心对称 D图象关于直线x成轴对称【答案】B【解析】令k<x<k，解得k<x<k，kZ，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为，故

17、B正确；令x，解得x，kZ，任取k值不能得到x，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数ytan的图象也没有对称轴，故D错误故选B.2画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性【答案】见解析【解析】由函数y|tan x|得y根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图由图象可知，函数y|tan x|是偶函数函数y|tan x|的单调增区间为，kZ，单调减区间为，kZ.3（2019·永昌县第四中学高一期末）函数的最小正周期是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，函数的最小正周期，故选：D.4（2019·湖南长郡中学高二期末（理）函数的单调递增区

18、间为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为，解得：，所以函数的单调递增区间为：，故选C.融会贯通1（2019·沙雅县第二中学高二期末）已知函数，下面结论错误的是( )A函数的最小正周期为B函数在区间上是增函数C函数的图像关于直线对称D函数是奇函数【答案】D【解析】,所以函数的最小正周期为,函数在区间上是增函数, 函数的图像关于直线对称, 函数是偶函数.2（2019·天水市第一中学高一期末（文）函数图像的一条对称轴方程为（）ABCD【答案】B【解析】依题意有解得 故选B3（2019·辽宁高一期末）已知直线是函数的一条对称轴，则的一个单调递减区间是（ ）ABCD【答案】

19、B【解析】因为，若取到最大值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，故B符合；若取到最小值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，此时无符合答案；故选：B.4（2019·内蒙古高一期末（文）函数的单调递增区间是（ ）ABCD【答案】B【解析】，要求其单调递增区间则：，解得：当时，递增区间为：；当时，递增区间为：因为，所以递增区间为：，故选：B5（2019·江西省奉新县第一中学高三月考（理）函数在其定义域上是( )A奇函数B偶函数C既非奇函数也非偶函数D不能确定【答案】B【解析】函数，此时函数为偶函数，故选：B。6（2019·河北高三月考）若曲线关于点对称，则（

20、 ）A或B或C或D或【答案】A【解析】因为曲线关于点对称，所以，又，所以时，时.7（2019·安徽马鞍山二中高二开学考试）若函数是偶函数，且在上是增函数，则实数可能是（）ABCD【答案】D因为函数是偶函数，所以，排除A，C；当时，函数在上是减函数，故排除B，故选：D.8（2019·河南高一期末）已知奇函数满足，则的取值不可能是（ ）A2B4C6D10【答案】B【解析】由是奇函数得又因为得关于对称，所以，解得所以当时，得A答案；当时，得C答案；当时，得D答案；故选B.9（2019·河北高三月考）若曲线关于点对称，则（ ）A或B或C或D或【答案】A【解析】因为曲线关于

21、点对称，所以，又，所以时，时.10函数：；中，奇函数的个数为（ ）ABCD【答案】C【解析】先判断各函数的定义域，的定义域都满足关于原点对称，但是不满足，排除，再利用关系式为奇函数，可知：是奇函数.故选C.11若函数f(x)=cos2+2x，xR，则f(x)是（ ）A.最小正周期为为奇函数B.最小正周期为为偶函数C.最小正周期为2为奇函数D.最小正周期为2为偶函数【答案】A【解析】由题意，函数f(x)=cos2+2x=-sin2x，又由f(-x)=-sin(-2x)=sin2x=-fx可得fx是奇函数，且最小正周期T=22=，故选：A12（2019·内蒙古集宁一中高一期末（文）下列四个函数中，既是0，2上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（ ）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinxD.y=cosx【答案】C【解析】A项：函数y=sinx周期为2，在0，2上是增函数,奇函数；B项：函数y=cosx周期为2，在0，2上是减函数，偶函数；C项：函数y=