2017-2018学年(新课标)最新浙江省台州市高一下期末数学试卷及答案-精品试题

1、2017-2018学年浙江省台州市高一（下）期末数学试 卷一、 选择题 ：本大 题共 14 小题，每小 题 3 分，共 42 分。在每小 题给 出的四 个选项 中，只有一 项是符合 题目要求的1 sin50 °cos20°cos50°sin20 °=（）a b c cos70° d sin70 °2. 已知等差 数列a n 中首 项 a1=2 ，公差 d=1 ， 则 a 5= （）a 5b 6c 7d 83. 已知 实数 a， b 满足 a b， 则下列不等式中成立的是（）a a3 b 3b a 2 b2c d a 2 ab4. 若

2、实数 a， b 1 ， 2 ， 则在不等式 x+y 3 0 表示的平面 区域内的点 p （a， b）共有（）a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 4 个5. 在 abc 中，角 a 、b 、c 的对边 分别为 a，b， c ，a=1 ， b=， a=则b 等于（）a b c或d6. 若 tan （+）=2 ，则 tan =（）a b c 3d 37. 已知正 实数 a， b 满足+=1 ， 则 a+b的最小 值为 （）a 1b 2c 4d 28. 在 abc 中， 内角 a ， b ，c 所对的边分别为 a， b， c，若 a+b=2，c=1 ， c=， 则a= （）a b 1c d 9.

3、已知 a n 是一 个无穷等比 数列， 则下列说法错误 的是（）a 若 c 是不等于零的常 数，那 么数 列 c?an 也一定是等比 数列b 将数 列a n 中的前 k 项去掉，剩余各 项顺 序不 变组 成一个新的 数列， 这个数 列一定是等比 数列c a 2n 1 （ nn *）是等比 数列d 设 sn 是数列a n 的前 n 项和，那 么 s6、s12 s6、s18 s12 也一定成等比 数列10 已知 x ， 0 y ， 则 x y 的取 值范围（）a （ ，）b （ ，）c（，）d （，）11 如 图，已知 两灯塔 a ，d 相距 20 海里，甲、乙 两船同 时从 灯塔 a 处出发，分

4、别沿与 ad 所成角相等的两条 航线 ab ，ac 航行，经过 一段 时间 分别到达 b ，c 两处 ，此时恰好 b，d ，c 三点共 线，且 abd=， adc=， 则乙船航行的距离 ac 为（）a 10+10海里 b 10 10海里 c 40 海里 d 10+10海里12 若 关于 x 的不等式 ax 2+bx+c 0 的解集 为x| 2 x 1 ，则函数 f（ x） =bx 2+cx+a的图象可能为（）a b cd 13 若 钝角三角形的三 边长 和面积都是整 数， 则称这样 的三角形 为“钝角整 数三角形”，下列 选项中能 构成一个“钝角整 数三角形”三边长 的是（）a 2， 3 ，

5、4b 2 ， 4 ，5 c 5 ， 5 ， 6 d 4 ， 13 ， 1514 已知 实数 x ，y 满足 x 2 +y 2 xy=2 ， 则 x 2+y 2 +xy的取 值范围（）a （ ， 6b 0 ， 6c ， 6d 1 ， 6二、 填空题: 本大题共 6 小题，每小 题 3 分，共 18 分15 在等差 数列a n 中，若 a 6=1 ， 则 a2+a 10 =16 若 变量 x ， y 满足约束条件，则 z=2x+y的最小 值为17 设 sn 是数列a n 的前 n 项和，若 a 1=2 ， sn=a n+1 （ n n* ）， 则 a4 =18 已知 锐角 ，满足，则 + =19

6、已知各 项都不 为 0 的等差 数列a n ， 设 bn=（ n n * ）， 记数 列b n 的前 n 项和为 sn， 则a1 ?a2018 ?s2017=20 在平面四 边形 abcd中， a= b=60 °， d=150°，bc=1 ， 则四边形 abcd面积的取值范围是三、解答 题：本大 题共 5 小题，共 40 分。解答 应写 出文字 说明、 证明过程或演算步 骤21 已知函 数 f（ x） =（ 1 ）比较 f （1 ） 与 f（ 2）的大小 关系；（ 2 ）求不等式 f （ x ）的解集22 已知 a n 是等比 数列， b n 是等差 数列，且 a 1=b

7、1=1 ， a1 +a 2=b 4 ， b 1 +b 2=a 2（ 1 ）求a n 与b n 的通项公式；（ 2 ） 记数列a n+b n 的前 n 项和为 t n，求 tn23 已知函 数 f（ x） =sin （ x+） cosx （ 1 ）求函 数 f（ x ）的单调递 增区间 ；（ 2 ）若 f（）=，求 sin4 的值24 已知函 数 f（ x） =x 2 2x+t， g（ x ） =x 2 t （t r）（ 1 ） 当 x 2 ，3 时，求函 数 f（ x ）的值域（用 t 表示）（ 2 ） 设集合 a=y|y=f（ x ）， x 2 ， 3 ，b=y|y=|g（ x） | ， x

8、 2 ， 3 ，是否存在正整数 t，使得ab=a若存在，请求出所有可能的 t 的值；若不存在， 请说明理由25 若正 项数 列a n 满足：=a n+1 an（a n * ）， 则称 此数列为“比差等数列”（ 1 ） 请写出一 个“比差等数 列”的前 3 项的值；（ 2 ） 设数列a n 是一 个“比差等数列”（ i）求证： a24 ；（ ii ） 记数 列a n 的前 n 项和为 sn，求证： 对于任意 n n* ，都有 sn参考答案与试题 解析一、 选择题 ：本大 题共 14 小题，每小 题 3 分，共 42 分。在每小 题给 出的四 个选项 中，只有一 项是符合 题目要求的1 sin50

9、 °cos20°cos50°sin20 °=（）a b c cos70° d sin70 °【考点】三角函 数的化简求值【分析】由已知及 两角差的正弦函 数公式，特殊角的三角函 数值 即可化 简求值得解【解答】解： sin50 °cos20° cos50°sin20 °=sin （50°20°）=sin30 °=故选： b 2. 已知等差 数列a n 中首 项 a1=2 ，公差 d=1 ， 则 a 5= （）a 5b 6c 7d 8【考点】等差 数列的通 项公式【分

10、析】利用等差 数列的通 项公式能求出 该数 列的第 5 项【解答】解：等差 数列a n 中首 项 a 1=2 ，公差 d=1 ， a5=2+4×1=6 故选： b 3. 已知 实数 a， b 满足 a b， 则下列不等式中成立的是（）a a3 b 3b a 2 b2c d a 2 ab【考点】不等式的基本性质；不等式的 综合【分析】根据已知， 结合幂函数的单调 性可判 断 a ， 举出反例可判 断 b ， c， d， 进而得到答案【解答】解：若 a b， 则 a3 b 3，故 a 正确；当 a=1 ， b= 1 时，满足 a b，但 a2 =b 2 ，故 b 错误 ； 当 a=2 ，

11、 b=1 时， 满足 a b，但 ，故 c 错误；当 a=0 ， b= 1 时，满足 a b，但 a2=ab ，故 d 错误； 故选： a4. 若 实数 a， b 1 ， 2 ， 则在不等式 x+y 3 0 表示的平面 区域内的点 p （a， b）共有（）a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 4 个【考点】二元一次不等式（组）与平面 区域【分析】根据 题意， 写出满足不等式 x+y3 0 的点的坐 标即可【解答】解： a， b 1 ， 2 ， p （a， b）共有 2 ×2=4个，分 别是（ 1 ， 1 ），（ 1 ，2 ），（2 ，1 ）和（ 2 ，2 ）；满足不等式 x+y 3

12、 0 的点是（ 1 ， 2 ），（ 2 ， 1 ）和（ 2 ， 2 ）共 3 个故选： c5. 在 abc 中，角 a 、b 、c 的对边 分别为 a，b， c ，a=1 ， b=， a=则 b 等于（）a b c或d【考点】正弦定理【分析】直接利用正弦定理求解即可【解答】解：在abc 中，角 a 、b 、c 的对边分别为 a， b， c， a=1 ，b=， a=，由正弦定理可知： sinb=b=或 故选： c6. 若 tan （+） =2 ， 则 tan =（）a b c 3d 3【考点】 两角和 与差的正切函 数【分析】由 条件利用 两角和的正切公式，求得tan 的 值【解答】解： tan

13、 （+）=2 ，则 tan = ， 故选： a 7. 已知正 实数 a， b 满足 +=1 ， 则 a+b的最小 值为 （）a 1b 2c 4d 2【考点】基本不等式【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性 质即可得出【解答】解：正 实数 a， b 满足 +=1 ，则 a+b= （ a+b ）=2+2+2=4 ， 当且仅当 a=b=2时取等 号 a+b的最小 值为 4 故选： c8. 在 abc 中， 内角 a ， b ，c 所对的边分别为 a， b， c，若 a+b=2，c=1 ， c=， 则a= （）a b 1c d 【考点】余弦定理【分析】由已知及余弦定理可求ab=1 ， 结合 a+b

14、=2， 联立即可解得 a 的值【解答】解： a+b=2， c=1 ， c=，由余弦定理 c 2 =a 2 +b 2 2abcosc ，可得： 1=a 2 +b 2ab= （ a+b ） 2 3ab=4 3ab ，解得： ab=1 ， a（ 2 a） =1 ，整理可得： a2 2a+1=0，解得： a=1 故选： b 9. 已知 a n 是一 个无穷等比 数列， 则下列说法错误 的是（）a 若 c 是不等于零的常 数，那 么数 列 c?an 也一定是等比 数列b 将数 列a n 中的前 k 项去掉，剩余各 项顺 序不 变组 成一个新的 数列， 这个数 列一定是等比 数列c a 2n 1 （ nn

15、 *）是等比 数列d 设 sn 是数列a n 的前 n 项和，那 么 s6、s12 s6、s18 s12 也一定成等比 数列【考点】等比 关系的确定【分析】利用等比 数列的定 义，分析 4 个选项 ，即可得出 结论 【解答】解： 对于 a ，若 c 是不等于零的常 数，那么数 列 c?an 也一定是等比 数列，首 项为 a1，公比 为 cq ， 正确；对于 b ， 将数列a n 中的前 k 项去掉，剩余各 项顺序不 变组成一 个新的数列， 这个数 列一定是等比 数列， 首项为 ak+1 ，公比 为 q，正确；对于 c，等比 数列的奇 数项 仍是等比 数列，正确；对于 d，设 sn 是数列a n

16、 的前 n 项和，那 么 s6、s12 s6 、s18 s12 也一定成等比 数列，不正确，比如 1， 1 ， 1， 1 ， 故选： d10 已知 x ， 0 y ， 则 x y 的取值范围（）a （ ，）b （ ，）c（，）d （，）【考点】不等式的基本性质；不等式的 综合【分析】根据已知 结合不等式的基本性 质，可得 x y 的取值范围【解答】解： 0 y， y 0， 又 x ， x y ， 即 x y ， x y（ ，），故选： d11 如 图，已知 两灯塔 a ，d 相距 20 海里，甲、乙 两船同 时从 灯塔 a 处出发，分别沿与 ad 所成角相等的两条 航线 ab ，ac 航行，经

17、过 一段 时间 分别到达 b ，c 两处 ，此时恰好 b，d ，c 三点共 线，且 abd=， adc=，则乙船航行的距离 ac 为（）a 10+10海里 b 10 10海里 c 40 海里 d 10+10海里【考点】解三角形的 实际应 用【分析】求出 acd=， acd 中，由正弦定理可得乙船航行的距离ac 【解答】解：abd=， adc=， bad= cad ， acd= acd 中，由正弦定理可得， ac=10+10海里， 故选： a 12 若 关于 x 的不等式 ax 2+bx+c 0 的解集 为x| 2 x 1 ，则函数 f（ x） =bx 2+cx+a的图象可能为（）a b cd

18、【考点】函 数的图象；二次函 数的性 质【分析】根据 韦达 定理和不等式的解集得到b=a ， c= 2a ， a 0 ，即 f（ x ） =a （ x 1 ）2 ，故可判 断【解答】解： 关于 x 的不等式 ax 2+bx+c0 的解集 为x| 2 x 1 ， a 0 且 = 2+1 ，= 2×1 ， 即 b=a ，c= 2a ，a 0 ， f（ x ） =bx 2 +cx+a=ax2 2ax+a=a（ x 1 ） 2 ，故 f （ x） =bx 2+cx+a的图象开口向下，且最大 值为 0 ，关于 x=1 对称 ， 故选： c13 若 钝角三角形的三 边长 和面积都是整 数， 则称

19、这样 的三角形 为“钝角整 数三角形”，下列 选项中能 构成一个“钝角整 数三角形”三边长 的是（）a 2， 3 ， 4b 2 ， 4 ，5 c 5 ， 5 ， 6 d 4 ， 13 ， 15【考点】正弦定理【分析】 设三角形的最大角 为 ，则利用余弦定理可求cos，利用同角三角函数基本关系式可求 sin ，利用三角形面 积公式可求三角形面积，逐一判 断各个选项 即可【解答】解： 设三角形的最大角 为 ，则：对于 a ，cos= ，sin =， s=×2 ×3×=，不能；对于 b ，cos= ，sin =， s=×2×4 ×=，不能；

20、 对于 c，cos=，故三角形 为锐角三角形，不符合 条件；对于 d ，cos= ，sin =，s=×4 ×13 ×=24 ，符合 条件； 故选： d14 已知 实数 x ，y 满足 x 2 +y 2 xy=2 ， 则 x 2+y 2 +xy的取 值范围（）a （ ， 6b 0 ， 6c ， 6d 1 ， 6【考点】二 维形式的柯西不等式【分析】 设 x 2 +y 2 +xy=a，分 别求得 x 2+y 2 和 2xy ，分别构 造（ x+y） 20 及（ x y） 20 ，解关于 a的不等式，即可求得a 的取范 围【解答】解： 设 x 2+y 2+xy=a， x

21、 2+y 2xy=2 ，两式相加可得， 2（ x 2 +y 2 ） =2+a（ 1） 两式相 减得得： 2xy=a2（ 2）（ 1 ） + （ 2）×2 得：2 （ x 2 +y 2 ） +4xy=2（ x+y ） 2 =3a 2 0 a ，（ 1 ） （ 2 ）×2 得：2 （ x y ） 2= a+6 0 ， a 6综上：a 6 ， 故选： c二、 填空题: 本大题共 6 小题，每小 题 3 分，共 18 分15 在等差 数列a n 中，若 a 6=1 ， 则 a2+a 10 =2【考点】等差 数列的通 项公式【分析】由已知 条件利用等差 数列通 项公式能求出 a 2+

22、a 10 【解答】解：在等差数列a n 中， a 6=1 ， a2 +a 10 =a 1 +d+a1+9d=2（ a 1+5d ） =2a 6=2 故答案 为： 2 16 若 变量 x ， y 满足约束条件， 则 z=2x+y的最小 值为4【考点】 简单线 性规划【分析】 画出满足条件的平面 区域，求出角点的坐标，平移直 线结 合图象求出 z 的最小 值即可【解答】解： 画出满足条件的平面 区域，如 图示：，由，解得 a （ 1， 2 ），由 z=2x+y得： y= 2x+z ，结合图象直线 y= 2x+z过 a （ 1 ， 2） 时， z 最小， z 的最小 值是 4 ， 故答案 为： 4

23、17 设 sn 是数列a n 的前 n 项和，若 a 1=2 ， sn=a n+1 （ n n* ）， 则 a4 =8【考点】 数列递推式【分析】分 别令 n=1 ， 2 ， 3 ，由 数列递推公式能 够依次求出 a2， a 3， a4 【解答】解： a1 =2 ，a n+1 =s n（ n n* ）， a2 =s 1 =2 ， a3=s 2=2+2=4，a4=s 3=2+2+4=8故答案 为： 8 18 已知 锐角 ，满足， 则 + =【考点】 两角和 与差的正弦函 数【分析】由 、（0 ，），利用同角三角函 数的关系算出 cos、sin 的值，进而根据 两角和的余弦公式算出 cos （+

24、）=，结合 + （0 ，）可得 + 的值【解答】解：、（ 0，）， 满足，cos=，sin =由此可得 cos （+ ） =coscossin sin =?=又+ （0，），+ = 故答案 为：19 已知各 项都不 为 0 的等差 数列a n ， 设 bn=（ nn * ），记数 列b n 的前 n 项和为 sn， 则a1 ?a2018 ?s2017=2017 【考点】 数列的求和【分析】利用裂 项求和，代入 计算，即可得出 结论【解答】解： 设 an=kd+b（ k 0 ， d 0 ）， 则 bn=（）， sn=（）， a1 ?a2018 ?s2017 =a 1?a2018 ?（）=a 1?

25、a2018 ?=2017 ，故答案 为： 2017 20 在平面四 边形 abcd 中， a= b=60°，d=1 50°，bc=1 ，则四 边形 abcd面积的取值范围是 （，）【考点】解三角形【分析】把 ab 长度调整， 两个极 端分 别为 c， d 重合， a ， d 重合分 别计算两种极 限前提下 ab 的长度， 利用割 补法求出四 边形 abcd面积的取 值范围【解答】解：平面四 边形 abcd 中， a= b=60°， d=150°， c=90° 当把 ab 长度调整， 两个极 端分 别为 c， d 重合 时， ab=bc=1；当

26、a ，d 重合 时，由正弦定理得=，解得 ab=2 ； 故 ab 的取值范围是（ 1 ，2 ），设 ad=x ，则 ao=x ，oad=12°0 四 边形 abcd面积 s=， ob=2 ， x （ 0 ， 1 ）， s（，）故答案 为：（，）三、解答 题：本大 题共 5 小题，共 40 分。解答 应写 出文字 说明、 证明过程或演算步 骤21 已知函 数 f（ x） =（ 1 ）比较 f （1 ） 与 f（ 2）的大小 关系；（ 2 ）求不等式 f （ x ）的解集【考点】分段函 数的应用【分析】（ 1 ）分别算出 f（ 1 ）和 f （2 ）的值，比较大小即可得出答案；（ 2 ）

27、 当 x 1 时，解出 x 的范 围； 当 x 1 时，解出 x 的范 围， 两者取并集【解答】解： （ 1 ） f （1 ） =3 ，f （ 2） =， f（ 1 ） f （2 ）；（ 2 ） 当 x 1 时，f （ x） = ， 1 x 2 ， 当 x 1 时，f（ x） = x 2 ， x ，不等式 f（ x ） 的解集 为x|1 x 2 或 x 22 已知 a n 是等比 数列， b n 是等差 数列，且 a 1=b 1=1 ， a1 +a 2=b 4 ， b 1 +b 2=a 2（ 1 ）求a n 与b n 的通项公式；（ 2 ） 记数列a n+b n 的前 n 项和为 t n，求

28、tn【考点】 数列的求和； 数列递推式【分析】（ 1） 设出公比和公差，根据等差、等比数列的通 项公式，列出方程 组求出公比和公差，再求出an、bn；（ 2 ）由（ 1 ）求出 an+b n，利用分 组求和法、等比、等差 数列的前 n 项和公式求出 t n【解答】解： （ 1 ） 设等比数列a n 的公比 为 q，等差 数列b n 的公差 为 d， 由 a 1=b 1=1 得， an=1 ×qn 1， bn=1+ （ n 1） d，由 a 1+a 2=b 4， b 1 +b 2 =a 2 得，解得 d=1 ， q=3 ，所以 an=3 n1 ，bn=n ；（ 2 ）由（ 1 ）得，

29、an+b n=n+3 n1， t n= （ 1+3 0 ） + （ 2+3 2 ） + + （ n+3 n1）=（ 1+2+ +n ） + （ 30 +3 2+ +3 n1 ）=23 已知函 数 f（ x） =sin （ x+） cosx （ 1 ）求函 数 f（ x ）的单调递 增区间 ；（ 2 ）若 f（）=，求 sin4 的值【考点】三角函 数中的恒等 变换应 用；正弦函 数的图象【分析】（ 1 ）由两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简解析式，由正弦函数的增区间 求出 f （ x）的增区间 ；（ 2 ）由（ 1 ）化 简 f（）=，由角之 间的关系、 诱导 公式、二倍角余弦公式的变形求

30、出 sin4 的值【解答】解： （ 1 ）由 题意得 f（ x ） =sin （ x+） cosx=，由得，函 数 f （x ）的单调递 增区间 是；（ 2 ）由（ 1 ）得， f（）=，= 1 =24 已知函 数 f（ x） =x 2 2x+t， g（ x ） =x 2 t （t r）（ 1 ） 当 x 2 ，3 时，求函 数 f（ x ）的值域（用 t 表示）（ 2 ） 设集合 a=y|y=f（ x ）， x 2 ， 3 ，b=y|y=|g（ x） | ， x 2 ， 3 ，是否存在正整数 t，使得ab=a若存在，请求出所有可能的 t 的值；若不存在， 请说明理由【考点】二次函 数的性质；

31、函 数的值域【分析】（ 1 ）通过配方求出 f（ x ）的 值域；（ 2 ）求出集合 a ，通 过讨论 t 的范 围，求出集合 b，解不等式求出 t 的值即可【解答】解： （ 1 ） f （x ） =（x 1 ） 2+t 1 ， x 2 ， 3 ， 对称轴 x=1 ，f（ x ）在 2 ， 3 递增， x=2 时， f（ x ）最小， f（ 2 ）=t ，x=3 时， f （x ）最大， f （3 ） =t+3 ， f（ x ）的 值域是t ，t+3；（ 2 ）由（ 1 ）得： a=t，t+3， b 即为|g （ x ）| 的值域，ab=a， a ? b ， g （x ） =x 2 t， x 2 ， 3 ， 假设存在正整 数 t 符合要求， 当 1 2 时，即 1 t4 时，|g （ x ） | 的值域是 b=4 t ，9 t ， 由 4 t