【重要资料】2014上海中学自主招生数学试题[带答案

1、2014年上海中学“创新素养培育项目”数学测试卷一、填空题(8X9=72)1.已知则【变式】已知:则1 14I=a h a + bb a 4-= a b【变式】已知:则1 14 zz a b a + bh a【变式】已知:则【变式】已知:y/a h y/a + bb y/a2 .有 个实数X,可以使得7120-Vx为整数.【变式】X为1,2, 3,，2014,使得 J1OO-4为有理数的X 有 个.【变式】X为1,2, 3,2014,使得75x 为有理数的X有 个.【变式】有 个整数X ,可以使得J120-24 为整数.3 .如图，在MBC,用含的式子表示,应为I【变式】如图,中，,则2AZE

2、DFNEDFA D在等腰直角htBC4=90°, AB = AG CD = BF, BD = CENEDFA AX中,AB = AG CD = BF, BD = CEBCD【变式】如图，在等腰直角ABC中,4 = 90°, AB = AC = tD、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，且CD = BF, BD = CE,则面积最大值为.4 .在在直角坐标系中，抛物线23 2/y = x +7MX-/« (tn >与X 轴交于A、B 两点，若A、B 两点到原点的距离分别为OA. OB,且满足J1_ = 2砺一次一？5 .定圆A的半径为72,动圆B的半径为r9

3、r<72且是一个整数，动圆'B 保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一周，若动圆B开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则共有 个可能的值.'6 .学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8 人，那么就有一船不空也不满，则学生共有 人.7 .对于各数互不相等的正整数组（勺，4）（n是不小于2的正整数），如果在时有% >% ,则称4是该数组的一个“逆序”，例如数组（Z3J4）中有逆序“2,1” , “4,3” , “4,1”，“3,1”，其逆序数为4,现若各数互不相 同的正整数组（q, %，4， 4）的逆序数为2,则（% %，%，%, % q）的

4、逆序数为.8 .若n为正整数，则使得关于X的不等式有唯一整数解的n 的最大值为.【变式】若n为正整数，则使得关于X的不等式11 n 10<< 21 x + n 19有唯一整数解的n 的最小值为.二、选择题（4X10二40）9.已知x2 + ar-12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数的个数为（）D. 8个A. 3个 B. 4个C. 6个10 .如图，D, E 分别为MBC 的底边所在直线上的两点，DB = EC ,过A 作直线/,作DMHBA 交/ 于M,作EN/CA 交I 于N,设面积为S、9AACN 面积为，则（MANA.B.C.D.与的大小与过点的直线位置有关

5、11 .设为实数， ,若方程，甲：S = $2$ < S?$2APf Pv % %叼 “2 =2(%+%)x? + pm + % = 0乙:x2 + p2x + % = 0A.中必有实根，乙也必有实根B.甲没有实根，乙也没有实根C.甲、乙至少有一个有实根D.甲、乙是否总有一个有实根不能确定12 .设I2223210072i 12223210072a = +-I+h= +I»-+13520133572015，则以下四个选项中最接近a-b的整数为（ ）A. 252B. 504C. 1007D. 2013三、解答题（38分，13题18分，14题20分）13 .直角三角形ABC 和直角

6、三角形ADC 有公共斜边AC（B、D 位于AC 的两侧），M. N 分别是AC. BD 的中点，且M. N 不重合，（1）线段MNBD是否垂直？证明你的结论.若WC = 30°ZCAD = 45°,AC = 4,求的长.14 .是否存在m个不全相等的正数,使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存 在，求出所有这样的m值，若不存在，说明理由.答案：La + b _ 1 0 (a + 1ah a + b' aba b ababb a a2+b2 (a+b -lab (a + b) =2 = 1 - Z, 1事实上，这道题是一道错题: a +

7、b注意了,(a+/>)2 N 4ab,已知条件就错了，同样结果也错了，=22. 11,3.NEDF =90°A4.2,5. 11,6. 44, 7. 13. 8.220,9. C10.B,11 C. 12. B. 13. (1)MN1BD14.【解析】设a =Xt % =y，% x，显然是一个周期为6的数列，11x一,%=一，/=一，%=距4=入 xyym = 0(mod 6)(2) 当与不全相等矛盾；(3) 当与不全相等矛盾；(4) 当与不全相等矛盾.；x =广土 x>0< =j= jy >o< 府= a* ix11m1-=xy ym = l(mod6)(x = yx< x>x = y = itn = 2(mod 6) x = yy <=x = y =y=x-x.m = 3(mod 6) x = y- -dm J J< =><ZZ>X= J = 1小“/】2=X.yXm = 4(mod 6)<=>x = j? = l|% 二 6,%-1 l = r.ZX