242抛物线的简单几何性质

1、xyOKFM l（一）（一）一、复习1. 1.抛物线的定义抛物线的定义 我们我们把平面内与一个定点把平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l( (不经过点不经过点F F) )的距离的距离相等相等的点的轨迹叫做抛物的点的轨迹叫做抛物线。线。 点点F F叫做抛物线的叫做抛物线的焦点焦点，直线，直线l叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线. .xyOKFM l2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程p(,0)2px2 xyOFM xyOFM y2=2px(p0)p(,0)2px2y2=-2px(p0)xyOFM p(0,)2py2 x2=2py(p0)yxOFM p(0,)2py2x2=-2py(p0

2、)2222(0)2ypxxymx mypx 可合设为焦点在 轴上2222(0)2xpyyxmy mxpy 可合设为焦点在 轴上3.3.抛物线，标准型抛物线，标准型: :焦点紧随一次项，数量只有四分一焦点紧随一次项，数量只有四分一. .焦点:,04m焦点:0,4m二、性质探讨二、性质探讨1.范围范围以以y2=2px(p0)为例为例xyOKFM l利用利用y20可得：可得：x0这条抛物线在这条抛物线在y轴右侧；轴右侧；开口与开口与x轴的正向相同；轴的正向相同；x的值增大时，的值增大时， y 也增大也增大,抛物线向右抛物线向右上方和右下方无限延伸上方和右下方无限延伸.2.对称性对称性以以y代代y，方

3、程，方程y22px不变，不变，这条抛物线关于这条抛物线关于x轴对称，轴对称，x轴称为这条抛物线的对称轴轴称为这条抛物线的对称轴.对称轴对称轴过焦点，且与准线垂直过焦点，且与准线垂直.xyOKF l3.顶点顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线和它的轴的交点叫顶点顶点.标准形式的抛物线的顶点就是原点标准形式的抛物线的顶点就是原点.4.离心率离心率抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离的比，叫做抛物线的离心率离心率，用，用e表示表示.由定义知，由定义知，e11、斜率为、斜率为1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点,且且与抛物

4、线相交于与抛物线相交于A、B两点两点,求求AB的长的长.解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出线方程联立方程组，求出A A、B B坐标，利用两坐标，利用两点间的距离公式求出点间的距离公式求出|AB|.|AB|.解法二解法二( (数形结合数形结合) )：由右图由右图, , 利用抛物线的定义可知利用抛物线的定义可知：xyOA FA BB 即只要求出即只要求出x1+x2即可求出即可求出|AB|AB| ,AFAABFBBABAABB1212112xxxx 三、性质运用三、性质运用解：解：p=2，焦点焦点F(1,0)，准线，准线l：x=-1

5、则直线则直线l的方程为：的方程为：y=x-1，代入代入y2=4x化简得：化简得：x2-6x+1=0所以所以|AB|=|AA|+|BB|=x1+x2+2=8 线段线段|AB|的长为的长为8.x1+x2=61、斜率为、斜率为1的直线的直线l经过抛物线经过抛物线y2=4x的焦点的焦点,且且与抛物线相交于与抛物线相交于A、B两点两点,求求AB的长的长.xyOA FA BB 设设AB是过抛物线是过抛物线y22px焦点的一条弦焦点的一条弦(焦点焦点弦弦)，若，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有则有 |AB|=x1+x2+p 特别地：特别地： 当当ABx轴，抛物线的轴，抛物线的通径通径|AB|=2px

6、yOAFA BB 焦点弦长公式：焦点弦长公式：练习：以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物练习：以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物线的准线的关系是（线的准线的关系是（ ）A.相交；相交； B.相切；相切； C.相离；相离； D.不确定不确定.提示：利用焦点弦的特点，结合梯形中位线提示：利用焦点弦的特点，结合梯形中位线的性质的性质.BxyOKFM l（二）（二）（需两课时）（需两课时）一、复习抛物线的几何性质抛物线的几何性质1.范围范围以以y2=2px(p0)为例为例x0 xyOKFM l这条抛物线在这条抛物线在y轴右侧；轴右侧；开口与开口与x轴的正向相同；轴的正向相同；x的值增大时，的值增大时，

7、y 也增大也增大,抛物线向右抛物线向右上方和右下方无限延伸上方和右下方无限延伸.2.对称性对称性这条抛物线关于这条抛物线关于x轴对称，轴对称，x轴称为这条抛物线的对称轴轴称为这条抛物线的对称轴.对称轴对称轴过焦点，且与准线垂直过焦点，且与准线垂直.xyOKF l3.顶点顶点抛物线和它的轴的交点叫抛物线和它的轴的交点叫顶点顶点.标准形式的抛物线的顶点就是原点标准形式的抛物线的顶点就是原点.4.离心率离心率e1设设AB是过抛物线是过抛物线y22px焦点的一条弦焦点的一条弦(焦点焦点弦弦)，若，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有则有 |AB|=x1+x2+p 特别地：特别地： 当当ABx轴，抛

8、物线的轴，抛物线的通径通径|AB|=2pxyOAFA BB 焦点弦长公式：焦点弦长公式：若抛物线为若抛物线为y22px，焦点弦焦点弦AB，则有，则有 |AB|= p （x1+x2）练习：以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物练习：以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物线的准线的关系是（线的准线的关系是（ ）A.相交；相交； B.相切；相切； C.相离；相离； D.不确定不确定.提示：利用焦点弦的特点，结合梯形中位线提示：利用焦点弦的特点，结合梯形中位线的性质的性质.B三、性质运用三、性质运用xyOFA B PF02 焦点 （，）ABP:k()2lyx代入代入y2=2px化简得：化简得：22222k P

9、k(k p2p)04xx3. 直线直线l经过抛物线经过抛物线y2=2px(p0)的焦点的焦点,且与抛且与抛物线相交于物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点两点,求证：求证：1) 2) y1y2=p2.212p4xx212p 4xx22421212124y yp x xpy yp利用，可得：=-1212221212222222()()22()242424ppy yk xk xppkx xxxppk pppkkp 也可利用；也可联立直线也可联立直线方程与抛物线方程与抛物线方程后消去方程后消去x斜率不存在呢？斜率不存在呢？过抛物线焦点的直线与抛物线相交于过抛物线焦点的直线与抛物线相交于A

10、A、B B两点两点, ,过点过点A A和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于D D，求证：直，求证：直线线DBDB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴. .分析：根据已知条件写出分析：根据已知条件写出ABAB所在所在的直线方程，与抛物线方程联立的直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出方程组，求出A A、B B坐标，进而写坐标，进而写出出AOAO的直线方程，求出它与准线的直线方程，求出它与准线的交点的交点D D，观察，观察B B、D D坐标，判断坐标，判断结果。结果。变式训练变式训练A xyOFDB 点评：相交问题要活用方程组思想点评：相交问题要活用方程组思

11、想.例例1.已知抛物线方程为已知抛物线方程为y2=4x,直线直线l过定点过定点P(2，1)斜斜率为率为k.k为何值时，直线为何值时，直线l与抛物线与抛物线y2=4x只有一个公共只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？点；有两个公共点；没有公共点？分析：分析：直线与圆锥曲线的关系问题就是运用方程直线与圆锥曲线的关系问题就是运用方程思想，讨论方程组的解的个数思想，讨论方程组的解的个数.关键：关键：列方程组：列方程组：消去消去x：ky24y+4(2k+1)=0 抓住抓住k是否为零进行讨论，是否为零进行讨论，21(2),( )4 ,yk xyx 注：注：2、过定点、过定点P(0,1)且与抛物线且与抛

12、物线y2=2x只有一个公只有一个公共点的直线方程共点的直线方程.提示：先作图探讨，提示：先作图探讨，分类讨论是关键！分类讨论是关键！当直线有斜率时设其方程为：当直线有斜率时设其方程为：y=kx+1与抛物线方程联立，消去与抛物线方程联立，消去x得：得：ky22y20k0或或k0.5所求直线有三条：所求直线有三条：x0，y=1或或y=0.5x+13、过抛物线、过抛物线y2=2x的顶点做互相垂直的两条弦的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB.（1）求）求AB中点的轨迹方程；中点的轨迹方程； （2）证明：）证明：AB与与x轴的交点为定点轴的交点为定点.提示：使用参数法，以提示：使用参数法，以A、B的坐标的

13、坐标为参数，为参数，但对每个点只需设横坐标或纵坐标但对每个点只需设横坐标或纵坐标利用垂直关系和中点坐标公式可消利用垂直关系和中点坐标公式可消去参数去参数.这里设纵坐标这里设纵坐标较好较好所求为：所求为：y2=x2(2)设设AB与与x轴交于轴交于M(m,0)利用三点共线可得：利用三点共线可得：m2参数法的三个关键：参数法的三个关键：（1）选择适当的参数；）选择适当的参数；（2）列出方程组）列出方程组(比参数多一个比参数多一个);（3）消去参数）消去参数.变式练习：抛物线变式练习：抛物线y2=8x上有一点上有一点P(2,4),以以P作作为一个顶点，作抛物线的内接为一个顶点，作抛物线的内接PQR，使得，使得PQR的重心恰好