电路(第五版)第八章 相量法12

1、第八章第八章 相量法相量法 8-1 复数复数 8-2 正弦量正弦量 8-3 相量法的基础相量法的基础 8-4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式第八章第八章 相量法相量法重点：重点： 正弦量的三要素、正弦量的三要素、相位差相位差 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 电路定律的相量表示电路定律的相量表示1、代数形式、代数形式F =a + jbabarctan 22baF 复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角一、一、 复数表示形式复数表示形式 8- 1 复复 数数Fb+1+jaO |F|代数形式、三角函数形式、指数形式、极坐标形式代数形式、三角函数形式、指数形式、极坐标形式实部实部虚部虚部FbRe

2、ImaO复平面复平面 ReF = a，ImF = b 2、 三角函数形式三角函数形式)sinj(cossinjcos FF FF cosFa sinFb Fb+1+jaO |F|F=a + jbF=|F|ej 3、 指数形式指数形式F=|F| 4、 极坐标形式极坐标形式利用欧拉公式：利用欧拉公式： sincosjej 复数的共轭复数的共轭:复数复数F的共轭复数的共轭复数:F* =a - jb则则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)1、加减运算、加减运算若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2F1F2ReImO加减法可采用图解法：加减法可采用图解法：F1+F2F1-F2二、二、 复数运

3、算复数运算选复数的代数形式选复数的代数形式2、 乘除运算乘除运算若若 F1=|F1| 1 ，若若F2=|F2| 22121)j(212j2j1221121 |e|e|e| | |211F FF FF FF FF FF FF FF FF FF F 除法：模相除，辐角相减除法：模相除，辐角相减乘法：模相乘，辐角相加乘法：模相乘，辐角相加则则:2121)(2121212121 F FF Fe eF FF Fe eF Fe eF FF FF Fj jj jj j选复数的指数形式或极坐标形式选复数的指数形式或极坐标形式例例1. ?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(25

4、10475jj 569. 047.12j 61. 248.12 解解:复数运算举例复数运算举例: :例例2. ?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解：解：上式上式2 .126j2 .180 04.1462.203 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 提示：通过电子计算器进行计算！提示：通过电子计算器进行计算！思考思考: F.F*=?三、三、 旋转因子旋转因子复数复数 ej =cos +jsin =1 F ej 相当于相当于F逆时

5、针逆时针旋转一个角度旋转一个角度 ，而模不变。故，而模不变。故把把 ej 称为旋转因子。称为旋转因子。 旋转因子旋转因子几种不同几种不同 值时的旋转因子：值时的旋转因子：ReIm0FFjFjFj jj je ej j 2sin2cos,22 j jj je ej j )2sin()2cos(,22 1)sin()cos(, j je ej jej/2/2 =j , e- -j/2/2 = - -j, ej = 1 故故 +j, j, - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。 8-2 正弦量正弦量一、一、 正弦量：正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。按正弦规律变化的电压或电流。瞬时值表

6、达式：瞬时值表达式：i（t）=Imcos（w w t+ i）i+_u波形：波形：iw w tO iT二、正弦量的三要素：二、正弦量的三要素：(1) 幅值幅值 (amplitude) (振幅、振幅、 最大值、峰值最大值、峰值)ImIm反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。(2) (2) 角频率角频率(angular frequency)w wTf w w22 单位：单位： rad/s，弧度，弧度 / 秒秒iw w tO iTi(t)=Imcos(w w t+ i)w w t+ i 称为正弦量的称为正弦量的相位相位或或相角相角。w w ：正弦量的相位随时间变化的角速度。：正弦量的相位

7、随时间变化的角速度。dttdi)(ww反映正弦量变化的快慢。反映正弦量变化的快慢。频率频率f ：每秒重复变化的次数。每秒重复变化的次数。周期周期T ：重复变化一次所需的时间。重复变化一次所需的时间。单位：单位：Hz，赫，赫(兹兹)单位：单位：s，秒，秒 w w2 T T(3) 初相位初相位(initial phase angle) i(w w t+ i ) 大小决定该时刻正弦量的值。当大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位时，相位角角(w wt+ i)= i ，故称，故称 i为初相位角，简称为初相位角，简称初相位初相位。反映了正弦量的计时起点。反映了正弦量的计时起点。* 无线通信频率：无线

8、通信频率：* 电网频率：电网频率：* 高频炉频率：高频炉频率：* 中频炉频率：中频炉频率：iw w tO iTi(t)=Imcos(w w t+ i)同一个正弦量，同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同计时起点不同，初相位不同。一般规定一般规定：| | 。对于一个正弦量来说，初相可以任意指定，但对对于一个正弦量来说，初相可以任意指定，但对于一个电路中有许多相关的正弦量，它们只能相对于一于一个电路中有许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。i(t)=Imcos(w w t + i ) iw w tiIm i 0 iI Im

9、 i = 0w w ti 2 三、同频率正弦量的相位差三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)设设 u(t)=Umcos(w w t+ u), i(t)=Imcos(w w t+ i)则则 相位差相位差 即相位角之差：即相位角之差： = (w w t+ u)- - (w w t+ i)= u- - i 0， u 超前超前于于 i ，或，或 i 滞后于滞后于 u (u 先到达最大值先到达最大值)； 0， i 超前超前于于u，或，或u 滞后于滞后于 i (i 先到达最大值先到达最大值)。恰好等于初相位之差恰好等于初相位之差u, i u w w tu iO i =0， 同相同相

10、： = ( 180o ) ，反相反相：特殊相位关系：特殊相位关系：w w tu, iu iOw w tu, iu iO = /2/2：u 超前于超前于i /2/2, 不说不说 u 滞后于滞后于i 3 /2； i 滞后于滞后于u /2/2, 不说不说 i超前于超前于u 3 /2。w w tu, iu iO称两同频正弦量称两同频正弦量正交正交一般规定一般规定：| | 。 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用工程上采用有效值有效值来表示。来表示。 正弦（周期性）电流正弦（周期性）电流 i 流过电阻流过电阻 R，在一周期，在一周

11、期T 内吸收的电能，内吸收的电能，等于一直流电流等于一直流电流I 流过流过R , 在时间在时间T 内吸收的电能，则称电流内吸收的电能，则称电流 I 为周期性电流为周期性电流 i 的有效值。的有效值。1. 正弦电流有效值正弦电流有效值物理意义：物理意义：四、正弦量有效值四、正弦量有效值Ri(t)RI TttiTI02d)(1有效值也称为有效值也称为均方根值均方根值同样，可定义同样，可定义电压有效值电压有效值：TttuTU02d)(12. 正弦电流、电压的有效值与其最大值的关系式正弦电流、电压的有效值与其最大值的关系式IIIITITI2 707. 0221 mmm2m) cos(2) cos()(

12、m w w w w t tI It tI It ti i同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为U=380V， Um 537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。测量中，电磁式交流

13、电压、电流表读数均为有效值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I, imUm 311V； 8-3 相量法的基础相量法的基础 正弦稳态交流电路（正弦稳态电流电路）：正弦稳态交流电路（正弦稳态电流电路）：主要指电路中主要指电路中的激励和响应均为的激励和响应均为同频率同频率的正弦量。的正弦量。 电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间，仅在电路处于正弦稳态时，同频率的各正弦量之间，仅在有效有效值（振幅）、初相位值（振幅）、初相位上存在上存在“差异和联系差异和联系”。 相量法相量法是

14、分析研究是分析研究正弦稳态交流电路正弦稳态交流电路的一种简单易行的方的一种简单易行的方法。法。两个正弦量两个正弦量i1+i2 i3w ww ww wI1I2I3 1 2 3无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只只要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值(或最大值或最大值)就行了。就行了。角频率：角频率：有效值：有效值：初相位：初相位：)cos(2111 w w t tI Ii i)cos(2222 w w t tI Ii ii1i2 w w tu, ii1

15、i2Oi3复数复数，包含一个模和一个辐角，因此，可以把正弦，包含一个模和一个辐角，因此，可以把正弦量与复数对应起来，量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算以复数计算来代替正弦量的计算，使，使计算变得较简单。计算变得较简单。相量法相量法 ) cos(2)(wIItIti正弦量的正弦量的有效值有效值（或最大值）作为相量的（或最大值）作为相量的模模正弦量的正弦量的初相位初相位作为相量的作为相量的辐角辐角一、一、 正弦量的相量表示正弦量的相量表示表示正弦电压、电流的复数表示正弦电压、电流的复数相量的定义：相量的定义：例：例：加一个小圆点是用来和普通的复数相区别（强调它与正加一个小圆点是用来和普

16、通的复数相区别（强调它与正弦量的联系），同时也改用弦量的联系），同时也改用“相量相量”，而不用，而不用“向量向量”，是，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。 ) cos(2)(wUUtUtummIImmUU有效值相量有效值相量幅值相量幅值相量已知已知例例1 1：试求试求i、u有效值相量有效值相量。)V6014311.1cos(3A)30314cos(4 .141oo tuti解解：V60220A30100oo UI例例2：试写出电流试写出电流i的瞬时值表达式的瞬时值表达式。解解： A)15314cos(250 ti. 50H

17、z A,1550 fI已已知知提示：提示：相量相量正弦量！正弦量！fw2 相量图相量图（相量和复数一样可以在复平面上表示）：（相量和复数一样可以在复平面上表示）： IItIti) cos(2)(UUtUtu )cos(2)(w w U I二、二、 相量运算相量运算1、 同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减同频的正弦量的加减运算变成对应的相量的加减运算。同频的正弦量的加减运算变成对应的相量的加减运算。i1 i2 = i3321 III 21UUU 例例V )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21 ttuttu同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图同频正弦量的加、

18、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V604V 306o2o1 UUV )9 .41314cos(264. 9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU首尾相接首尾相接46. 32319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9o 602U)()()(21tututu 2、 正弦量的微分正弦量的微分 )cos(2iiIItIiw)2cos()sin()cos(2wwwwwiiitItItIdtddtdi 2 2

19、 IjIdtdiiww)2()(微分运算微分运算:IjdtdiIiw wIjdtidnnn)()()(w w 3 、 正弦量的积分正弦量的积分 )cos(2iiIItIi w w )2cos(2 )sin(2 )dcos(2d w w w w w w iiitItIttItiwwjIIidti)2()(积分运算积分运算: w wjIidtIi njIni）（重积分重积分的的w w 8-4 8-4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式电路定律的相量形式：电路定律的相量形式：对于正弦稳态电路，借助相量，以复数形式的电路对于正弦稳态电路，借助相量，以复数形式的电路方程描述电路的基本定律：方程描述电路

20、的基本定律：KCL、KVL 、 VCR 。对于电路中任一结点，对于电路中任一结点，根据根据KCL有：有： 0i0 I对于电路中任一回路，对于电路中任一回路，根据根据KVL有：有： 0u0 U一、基尔霍夫定律的相量形式一、基尔霍夫定律的相量形式即：对于电路中任一结点，电流相量的代数和为零；即：对于电路中任一结点，电流相量的代数和为零；即：对于电路中任一回路，电压相量的代数和为零；即：对于电路中任一回路，电压相量的代数和为零；1、 电阻电阻时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：iRiRIUII 相量模型相量模型)cos(2)( itIti w w 已已知知)cos(2)()( iRtRItRit

21、u w w 则则uR(t)i(t)R+- -有效值关系：有效值关系：UR=RI相位关系相位关系 u= i (u,i同相同相)R+- -RU IUR u相量关系相量关系：IRUR UR=RI u= i二、二、R、L、C的的 VCR 相量形式相量形式2、 电感电感时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：2 iLiLIUII )cos(2)( itIti w w 已已知知)2cos(2 )sin(2d)(d)( iiLtILtILttiLtu w ww w w ww w则则相量模型相量模型jw w L+- -LU I相量关系：相量关系：ILjULw w 有效值关系：有效值

22、关系： UL=w w L I相位关系：相位关系： u= i +90 (u 超前超前 i 90)（1） 相量关系：相量关系：LUI iUL u)2cos(sin感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；U= XL I=w w LI= 2 fLI(2) 感抗和频率成正比；感抗和频率成正比；w wXL相量表达式相量表达式:XL=w w L=2 fL，称为感抗，单位为，称为感抗，单位为 (欧姆欧姆)BL=- -1/w w L = -1/2 fL， 感纳，单位为感纳，单位为 S (同电导同电导)（2）感抗和感纳）感抗和感纳 ,ILjIjXULw w ; , ,; ,

23、 0 ),(0开路开路短路短路直流直流 w w w wLLXXULjULjUjBILw w w w 113、 电容电容时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：2 uCuCUIUU w w )cos(2)( utUtu w w 已已知知)2cos(2 )sin(2d)(d)( uuCtCUtCUttuCti w ww w w ww w则则相量模型相量模型有效值关系：有效值关系： IC=w w CU相位关系：相位关系： i = u +90 (i 超前超前 u 90)iC(t)u(t)C+- - UCI +- -Cj1相量关系：相量关系：ICjICjUUCjIwww11UCI uIC i令令XC=- -1/w w C， 称为容抗，单位为称为容抗，单位为 (欧姆欧姆) ) B B C = w w C， 称为容纳，