《曲边梯形的面积》课件3

1、曲边梯形的面积情境创设情境创设 金门大桥金门大桥 （美国）（美国） 一般地一般地, ,如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在某个区间在某个区间I上的图象是上的图象是一条连续不断的曲线一条连续不断的曲线, ,那么就把它称为区间那么就把它称为区间I上的上的连续函数连续函数. .如不加说明，以后研究的都是连续函数如不加说明，以后研究的都是连续函数 1. 1.什么是区间什么是区间I I上的连续函数上的连续函数. .aboxyaboxy和曲线和曲线 所围成的所围成的图形称为曲边梯形。图形称为曲边梯形。 曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：由直线由直线 0),(,ybabxax)(xfy 概念形成概念形成

2、 2xy 案例探究案例探究 1xyo如何求由直线如何求由直线 与抛物线与抛物线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 S？2xy 0, 1, 0yxx看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？思维导航不规则的几何图形可以分割成不规则的几何图形可以分割成若干个规则的几何图形来求解若干个规则的几何图形来求解魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?思维导航-割圆术割圆术魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽的这种研究方法对你有什

3、么启示?思维导航-割圆术割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?-割圆术割圆术思维导航 以“直”代“曲”无限逼近案例探究案例探究 2xy 1xyo如何求由直线如何求由直线 与抛物线与抛物线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 S？2xy 0, 1, 0yxx思考1：怎样“以直代曲”？能整体以“直”代“曲吗？思考2：怎样分割最简单？nininii, 2 , 1,1 个区间为记第nninix11:长度y=x2xyO11 1、分割、分割这样这样0,10,1区间区间分成n个小区间： 1 ,

4、1,2,1,1, 0nnnnn对应的小曲边梯形面积为SininSSSSS 211ininy=x2把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, , 在每个分点作底边在每个分点作底边的垂线的垂线, ,1n2n1nn案例探究案例探究 2( )( )iifnn2( )( )iifnn2 2、近似代替(以直代曲）方案方案一一方案方案二二方案三方案三xyO11ininy=x2211()()iifnn案例探究案例探究 思考3：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？怎样使各个结果更接近真实值？深入思考 oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo由方案一，由方案一，n越大，区间分割越细，面

5、积越大，区间分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积积S。下面看第一种方案下面看第一种方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程 ,1 ,n1n,n2,n1,n1, 0:n,1n1 , 01 个小区间分成将它等个点隔地插入上间在区间分割.n1n1inix,n, 2 , 1ini,n1ii 其长度为个区间为记第ox1y2xy n1ini轴的个点作分别过上述x1n.,.,121 niinSSSSsn显然它们的面积记作如图个小曲边梯形把曲边梯形分成垂线 直线段近似轴的就是

6、用平行于上看从图形处的函数值它近似地等于左端点不妨认为似等于一个常数近的值变化很小函数上在区间时很小即很大当如图记近似代替xnifnixxfninixnxxf,.11,1,.222 ox1y2xy n1inin1i nix12xy yo., 2 , 1111, ,1,.2ninnixnifSSSSniniiiii 则有以直代曲小范围内即在局部近似地代替用小矩形的面积上在区间这样边地代替小曲边梯形的曲ox1y2xy n1inin1i nix12xy yo nnixnifSSSnininiinn111,232111 为图中阴影部分的面积由求和n1n1n102n1n1n2 61n2n1nn13.n2

7、11n1131SSSn的近似值从而可得n1i nix12xy yo .312111131lim11limlim,2111131,0,20, , 8 , 41 , 041 nnnifnSSSnnSxnnninnnn从而有趋向于时趋向于即趋向于无穷大当可以看到上图等份等分成分别将区间取极限 oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo区间区间00，11的等分数的等分数n nS S的近似值的近似值20.125 000 0040.218 750 0080.273 437 50160.302 734 50320.317 871 09640.325 561 52 1280.329 43

8、7 262560.331 382 755120.332 357 4110240.332 845 21 20480.333 089 23 nS我们还可以我们还可以从数值上可从数值上可以看出这一以看出这一变化趋势变化趋势（请见表）（请见表） n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin1, iinn在区间上的左端点和右端点的函数值来计算有和区别 n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？ （2）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗 ？ （3）总结一般曲边梯形面积的表达式？两个结论1.1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。 2. 2. 在近似代替时，用小区间内任在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值