同济第三版-高数-(6.5)第五节二阶常系数齐次线性微分方程

1、 二阶线性微分方程的一般形式为二阶线性微分方程的一般形式为 y + p( x ) y + q( x ) y = f( x ). 所谓线性微分方程是指方程中出现的所谓线性微分方程是指方程中出现的 y, ,y ,y 都是都是一次的。一次的。 若若 f( x ) 0 ，就称方程为二阶齐次线，就称方程为二阶齐次线性微分方程。性微分方程。 若同时若同时 p( x ), , q( x )均是常数，均是常数，就称此就称此方程为二阶常系数齐次线性微分方程，方程为二阶常系数齐次线性微分方程，其其一一般形式为般形式为 y + p y + q y = 0 . . 设有二阶常系数齐线性方程设有二阶常系数齐线性方程 y

2、 + p y + q y = 0 如果如果 y1( x ), ,y 2( x )是齐次线性方程的两个解，那末是齐次线性方程的两个解，那末y = C1 y1( x )+ C2 y 2( x )也是也是该齐线性方程的解。该齐线性方程的解。 为证为证 y = C1 y1( x )+ C2 y 2( x )也是二阶常系数齐线性也是二阶常系数齐线性方程的解，只需验证其也满足该方程方程的解，只需验证其也满足该方程。 因为因为 y1( x ), ,y 2( x )是齐次线性方程的解，即有是齐次线性方程的解，即有 y1 + p y1 + q( x )y1 = 0 ， y2 + p y2 + q y2 = 0

3、. . 将将 y = C1 y1+ C2 y 2 代入方程代入方程 y + p y + q y = 0 有有 C1 y1 + C2 y2 + p C1 y1 + C2 y2 + q C1 y1 + C2 y2 = C1 y1 + p y1 + q y1 + C2 y2 + p y2 + q y2 = C1 0 + C2 0 = 0 . .故故 y = C1 y1( x )+ C2 y2( x )也是该齐线性方程的解。也是该齐线性方程的解。 这一结果称为齐线性微分方程解的叠加性原理这一结果称为齐线性微分方程解的叠加性原理。 由由解的叠加性原理解的叠加性原理自然会提出这样的问题自然会提出这样的问题

4、： 若若 y1( x ), , y 2( x )是二阶常系数齐线性方程的两个特是二阶常系数齐线性方程的两个特解，那么函数解，那么函数 y = C1 y1( x )+ C2 y2( x )是否是该齐线性方是否是该齐线性方程的通解程的通解？ 若若不是，方程的两个特解不是，方程的两个特解 y1( x ), , y 2( x )需满足什么条件才能构造出二阶常系数需满足什么条件才能构造出二阶常系数齐线性方程的通解齐线性方程的通解？ 举例考察：考虑齐线性方程举例考察：考虑齐线性方程 y - - 2 y + y = 0 易验证易验证 y1 = e x，y2 = 3e x 均是该方程的解。均是该方程的解。 y

5、1 - - 2 y1+ y1 =( e x )- - 2( e x )+( e x ) =( e x )- - 2( e x )+( e x )= 0 ， y2 - - 2 y2+ y2 =( 3e x )- - 2( 3e x )+( 3e x ) =( 3e x )- - 2( 3e x )+( 3e x )= 0 由定理由定理 1， y = C1 y1+ C2 y2 = C1 e x + 3C2 e x 也也是该方是该方程的解，但它显然不是方程的通解。程的解，但它显然不是方程的通解。 因为因为 y = C1 e x + C2 3e x =( C1 + 3C2 )e x = C e x 实

6、际只实际只含有一个独立的任意常数，因而不可能是该二阶方程的含有一个独立的任意常数，因而不可能是该二阶方程的通解。通解。 为弄清为弄清由二阶方程的两个特解能否构造出其通解的由二阶方程的两个特解能否构造出其通解的问题关键在于问题关键在于理解这一问题的本质。理解这一问题的本质。 该问题的实质是，该问题的实质是，由定理由定理 1 1 写出的二阶方程的解写出的二阶方程的解 y = C1 y1( x )+ C2 y2( x )中的任意常数中的任意常数 C1 , ,C2 是否独立。是否独立。 任意常数是否独立问题，本质上是对应方程的两个特任意常数是否独立问题，本质上是对应方程的两个特解解 y1( x ),

7、, y2( x )是否可是否可“合并合并”问题问题。 两个函数是否可两个函数是否可“合并合并”问题本质上是两函数间是问题本质上是两函数间是否具有否具有“倍数倍数”关系，即关系，即 y2( x )= k y1( x ) C1 y1+ C2 y2 = C1 y1+ C2 k y1 = C y1 . .其中其中 C = C1 + C2 k . 如果如果 y1( x ), , y 2( x )是二阶常系数齐次线性方程是二阶常系数齐次线性方程 y + p y + q y = 0 的两个特解，且的两个特解，且 y1( x )/ /y 2( x ) 常数，常数，则则 y = C1 y1( x )+ C2 y

8、2( x )是该齐线性方程的通解。是该齐线性方程的通解。 此分析结果此分析结果不仅指出了不仅指出了二阶常系数齐线性方程的通二阶常系数齐线性方程的通解结构，同时也给出了求该类方程通解的一般方法。解结构，同时也给出了求该类方程通解的一般方法。 为求二阶常系数齐线性方程的通解，为求二阶常系数齐线性方程的通解，只需设法找出方程的两个不成比例的只需设法找出方程的两个不成比例的特解特解 y1( x ), ,y 2( x )，再通过线，再通过线性组合的方法构造出方程的通解。性组合的方法构造出方程的通解。 由由二阶常系数二阶常系数齐线性方程的通解结构，为求方程的齐线性方程的通解结构，为求方程的通解，只需设法求

9、出其通解，只需设法求出其两个不成比例两个不成比例的特解。的特解。 考察方程考察方程 y + p y + q y = 0 容易看出容易看出，满足方程的满足方程的特解应是求这样的函数特解应是求这样的函数 y = y( x )，该函数与其自身的导该函数与其自身的导数数 y 、y 仅相差仅相差“若干若干”倍数。倍数。 由此容易联想到方程特解应具有形式由此容易联想到方程特解应具有形式 y = e r x 于是求方程特解的问题就归结为求常数于是求方程特解的问题就归结为求常数 r ，使得函使得函数数 y = e r x 能能成为方程成为方程 y + p y + q y = 0 的解。的解。 考虑考虑方程方程

10、 y + p y + q y = 0 特解的计算特解的计算： 由于由于方程总具有形如方程总具有形如 y = e r x 的解，的解，视视 r 为待定系数为待定系数, ,将形式特解将形式特解 y = e r x 代入方程代入方程有有 y + p y + q y =( e r x )+ p( e r x ) + q( e r x )= r 2 e r x + p r e r x + q e r x = e r x( r 2 + p r + q )= 0 . . 因为因为 y = e r x 0 ，故有，故有 r 2 + p r + q = 0 显然，若显然，若 y = e r x 是是齐线性方程齐

11、线性方程 y + p y + q y = 0 的的解，则常数解，则常数 r 必是二次方程必是二次方程 r 2 + p r + q = 0 的根；的根； 反之，若反之，若常数常数 r 是二次方程是二次方程 r 2 + p r + q = 0 的根，则的根，则函数函数 y = e r x 是是齐线性方程齐线性方程 y + p y + q y = 0 的解。的解。 由上讨论有由上讨论有 因此称二次方程因此称二次方程 r 2 + p r + q = 0 为为二阶常系数齐线性二阶常系数齐线性方程方程 y + p y + q y = 0 的的特征方程特征方程。 由于特征方程与常系数齐线性方程的这种由于特征

12、方程与常系数齐线性方程的这种“1- -1 对对应应”关系，使得求解常系数齐线性方程关系，使得求解常系数齐线性方程可不需通过积分而只需用代数方法解可不需通过积分而只需用代数方法解二次方程就可计算。二次方程就可计算。 特征方程的概念及相应特征方程的概念及相应常系数常系数齐线齐线性方程的这种代数解法还可推广至一般性方程的这种代数解法还可推广至一般 n阶齐线性微分方程的情形。阶齐线性微分方程的情形。 考察考察特征方程特征方程 r 2 + p r + q = 0 的根与的根与二阶常系数齐线二阶常系数齐线性方程性方程 y + p y + q y = 0 特解的对应关系特解的对应关系。 二次方程二次方程 r

13、 2 + p r + q = 0 的根可有三种不同情形，这的根可有三种不同情形，这三种情形取决其判别式三种情形取决其判别式 = p 2 - - 4 q 的符号，为此就的符号，为此就特征特征方程判别式方程判别式的符号的不同情形讨论的符号的不同情形讨论其与其与二阶常系数齐线性方程特解二阶常系数齐线性方程特解的对应关系及相应齐线性方程的对应关系及相应齐线性方程的通解形式。的通解形式。 此时此时特征方程特征方程 r 2 + p r + q = 0 有两个相异有两个相异的实根，的实根，相应地，相应地，二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程 y + p y + q y = 0 有两个有两个特解特解 y1

14、 = e r1 x，y 2 = e r2 x y1/ /y 2 = e r1 x/ /e r2 x = e( r2 x- - r1 x ) 常数，常数， 因此，因此，方程的方程的两个两个特解特解 y1 = e r1 x，y 2 = e r2 x 可构成可构成方方程的通解程的通解，通解形式为通解形式为 Y = C1 y1 + C2 y2 = C1 e r1 x + C2 e r2 x 221244 .22ppqppqrr, 22140rrpq 由由于于所所以以, 此时此时特征方程特征方程 r 2 + p r + q = 0 有两个相等有两个相等的实根，的实根， r1 = r2 = - - p /

15、 /2，相应可确定相应可确定方程方程 y + p y + q y = 0 的一个的一个特解特解 y1 = e r1 x 为求二阶为求二阶常系数常系数齐线性方程通解，还需设法再找出齐线性方程通解，还需设法再找出其另一个特解其另一个特解 y2 ，使其满足，使其满足 y2 / /y1 常数。常数。 不妨设不妨设 y2 = u( x )y1 = u( x )e r1 x于是于是求特解求特解 y 2 的问的问题转化为求待定函数题转化为求待定函数 u( x )的问题。的问题。为此可将形式特解为此可将形式特解 y2 = u( x )e r1 x 代入微分方程以确定代入微分方程以确定 u( x ) 为将为将

16、y 2 代入方程，先计算代入方程，先计算 y 2 的导数：的导数： y2 = u( x )e r1 x = u ( x )e r1 x + r1u( x )e r1 x， y2 = u ( x )e r1 x + r1u( x )e r1 x = u ( x )e r1 x + r1u ( x )e r1 x + r1 u ( x )e r1 x + r1u( x )e r1 x = u ( x )+ 2r1u ( x )+ r12u( x )e r1 x 将将 y2 代入齐线性方程有：代入齐线性方程有： y 2+ p y 2 + q y2 = u ( x )+ 2r1u ( x )+ r12

17、u( x )e r1 x + p u ( x )+ r1u( x )e r1 x + q u( x )e r1 x= u ( x )+( 2r1+ p )u ( x )+( r12 + pr1+ q )u( x )e r1 x = 0 . 因为因为 e r x 0 ，故上式等价于故上式等价于 u ( x )+ 2r1+ p u ( x )+ r12 + p r1 + q u( x )= 0 . 因为因为 r1 是特征方程的根，所以是特征方程的根，所以 r12 + p r1 + q = 0 . . 因为因为 r1 是特征方程的二重根，即是特征方程的二重根，即 2r1 + p = 0 ，因此因此方

18、程化为方程化为 u ( x )= 0，解得，解得 u( x )= D1 x + D2，即有，即有 y2 = u( x )e r1 x =( D1 x + D2 )e r1 x . 取取 D1 = 1, , D2 = 0，可求得齐线性方程另一个特解可求得齐线性方程另一个特解 y2 = x e r1 x，满足，满足 y2 / /y1 = x 常数。常数。 于是可写出常系数齐线性方程的通解为于是可写出常系数齐线性方程的通解为 y = C1 e r1 x + C2 x e r1 x =( C1 + C2 x )e r1 x =( C1 + C2 x )e p/ /2 x . 此时此时特征方程特征方程

19、r 2 + p r + q = 0 有一对共扼复根有一对共扼复根， r1, ,2 = i ，其中，其中相应可确定相应可确定二阶常系数齐线性方程二阶常系数齐线性方程 y + p y + q y = 0 的的两个两个特解特解 y1 = e( + i )x，y2 = e( - - i )x 由于由于 y2 / / y1 = e( - - i )x/ /e( - - i )x = e - -2 i x 常数，常数， 故可求得故可求得常系数常系数齐线性方程的通解为齐线性方程的通解为 Y = C1 e r 1 x + C2 e r 2 x = C1 e( + i )x + C2 e( - - i )x 2

20、422qpp , . . 由于由于此时齐线性方程的两个特解均是此时齐线性方程的两个特解均是“复值解复值解”，不符合微积分在实数范围内讨论的要求，还需寻求相应不符合微积分在实数范围内讨论的要求，还需寻求相应的实值解。的实值解。 由欧拉公式有由欧拉公式有 e i x = cos x + i sin x，e - - i x = cos x - - i sin x，于是方程的两个特解可表为于是方程的两个特解可表为 y1 = e( + i )x = e x e i x = e x( cos x + i sin x )， y2 = e( - - i )x = e x e - - i x = e x( co

21、s x - - i sin x )， 由齐线性方程解的叠加性原理由齐线性方程解的叠加性原理 也是方程的解。也是方程的解。 *1212121122yyyyyyi , , 将以上两特解已是实值解，具体写出就是：将以上两特解已是实值解，具体写出就是： y1* = e x/ /2( cos x + i sin x )+( cos x - - i sin x ) = e x cos x ， y2* = e x/ /2i( cos x + i sin x )- -( cos x - - i sin x ) = e x sin x . . 由于由于 y2*/ /y1* = e x sin x / /e x

22、cos x = tan x 常数常数, ,故求得当故求得当 p 2 - - 4 q 0 时时方程的实值通解为方程的实值通解为 y = C1 y1* + C2 y2* =( C1 cos x + C2 sin x )e x . . 由以上讨论知，二阶常系数齐线性方程的通解与其由以上讨论知，二阶常系数齐线性方程的通解与其特征方程的根有着确定的对应关系，可根据特征方程根特征方程的根有着确定的对应关系，可根据特征方程根的不同情形直接由代数法写出微分方程通解。二阶常系的不同情形直接由代数法写出微分方程通解。二阶常系数齐线性方程的这种解法称为特征方程法。数齐线性方程的这种解法称为特征方程法。 由给定二阶方

23、程写出对应的特征方程由给定二阶方程写出对应的特征方程 y + p y + q y = 0 r 2 + p r + q = 0 ， 由特征方程的根写出微分方程的两个特解及通解由特征方程的根写出微分方程的两个特解及通解 若特征方程有两个相异的实根若特征方程有两个相异的实根 r1, ,r2，则则微分方程的微分方程的两个特解为两个特解为 y1 = e r1 x，y2 = e r2 x，此时方程的通解为此时方程的通解为 Y = C1 e r1 x + C2 e r2 x 若特征方程有两个相等的实根若特征方程有两个相等的实根 r1 = r2，则则微分方程的微分方程的两个特解为两个特解为 y1 = e r1

24、 x，y2 = x e r1 x，此时方程的通解为此时方程的通解为 Y =( C1 + C2 x )e r1 x 若特征方程有一对共轭复根若特征方程有一对共轭复根 r1, ,2 = i ，则则微分方微分方程的两个特解为程的两个特解为 y1 = e x cos x，y2 = e x sin x，此时方此时方程的通解为程的通解为 Y = e x( C1cos x + C2 sin x ). . 由于常系数齐线性方程总有形如由于常系数齐线性方程总有形如 y = e r x 的解，因的解，因而上述特征方程法可用于求解一般的而上述特征方程法可用于求解一般的 n 阶常系数齐线性阶常系数齐线性微分方程，即对

25、于微分方程，即对于 n 阶常系数齐线性微分方程阶常系数齐线性微分方程 y( n )+ p1 y( n - - 1 )+ + pn - - 1 y + pn y = 0 ，其其特征方程为特征方程为 r n + p1 r n - - 1 + + pn - -1 r + pn = 0 . . 由此由此特征方程的相异特征方程的相异实实根可写出对应根可写出对应 n 阶常系数齐阶常系数齐线性微分方程的通解。线性微分方程的通解。例：例：求方程求方程 y + 7 y = 0 的通解的通解。 这这是个二阶方程求通解问题是个二阶方程求通解问题宜根据方程特点选择合适的解法宜根据方程特点选择合适的解法。 首先注意到该

26、方程是一个常系数齐首先注意到该方程是一个常系数齐线性方程，因而可用特征方程法求解。线性方程，因而可用特征方程法求解。 此外，该方程既不显含此外，该方程既不显含 y 又不显含又不显含 x因此又可通过变量代换法降阶求解，因此又可通过变量代换法降阶求解，故本例至少可有三种解法故本例至少可有三种解法。 方程方程 y + 7 y = 0 所所对应的特征方程为对应的特征方程为 r 2 + 7 r = r( r + 7 )= 0 ， 求得特征方程有两个相异实根求得特征方程有两个相异实根 r = 0，r = - - 7 . 方程的两个特解为方程的两个特解为 y = e 0 = 1，y = e - -7 x，

27、二阶常系数齐线性方程的通解为二阶常系数齐线性方程的通解为 Y = C1 + C2 e - -7 x. 视方程视方程 y + 7 y = 0 为形如为形如 y = f( x , ,y )的方程。的方程。 令令: : y = p( x )，则，则 y = p ( x )，给定二阶方程化为，给定二阶方程化为 分离变量有分离变量有 解得解得 l n p = - - 7 x + l n C1 ， 于是又得可分离变量方程于是又得可分离变量方程 p = y = C1 e - -7 x， 方程两边积分有方程两边积分有 y = C1 e - -7 xd x = - - 7C1e - -7 x + C 2方程通解

28、可写方程通解可写为为 y = C1e - -7x + C 2，( C1 = - - 7C1). d70dppx, d7dpxp , 视方程视方程 y + 7 y = 0 为形如为形如 y = f( y, ,y )的方程。的方程。 令令: : y = p( x )，并将二阶导数改写为，并将二阶导数改写为 于是给定二阶方程化为于是给定二阶方程化为 显然显然 p = 0，即，即 y = C 是方程的一个平凡解，求解该是方程的一个平凡解，求解该方程主要考虑其非平凡解。方程主要考虑其非平凡解。 ddddddddppypypxyxy, dd770ddpppppyy. 当当 p 0 时，方程化为时，方程化为

29、解得解得 y = p = - -7( y + D1 ). . 这又是一个可分离变量方程，这又是一个可分离变量方程，分离变量有分离变量有 解得解得 ln( y + D1 )= - - 7 x + D2，即有，即有 y = e D2e - -7 x - - D1. . 记：记：C1 = - - D1，C2 = e D2 ，则方程通解可写为，则方程通解可写为 y = C2 e - -7 x + C1 这一通解形式也包含了方程的平凡解。这一通解形式也包含了方程的平凡解。 1d7dyxyD, d7dpy ,例：例：求方程求方程 y - - y - - 2 y = 0 满足初始条件满足初始条件 y( 0 )= 0 , , y ( 0 )= 1 的特解的特解。 这是个二阶方程的初值问题。给定方程是一个常系这是个二阶方程的初值问题。给定方程是一个常系数齐线性方程，同时方程不显含数齐线性方程，同时方程不显含 x 从计算简洁考虑宜从计算简洁考虑宜采用特征方程法求解。采用特征方程法求解。 该常系数齐线性方程所该常系数齐线性方程所对应的特征方程为对应的特征方程为 r 2 - - r - - 2 =( r - - 2