《线性代数复习》ppt课件

1、线性代数复习线性代数复习本科类本科类1 1、行列式、行列式 本章的重点是注重学会利用行列式的性质及按行(列)展开等根本方法来简化行列式的计算，并掌握两行(列)交换、某行(列)乘数、某行(列)加上另一行(列)的k倍这三类运算。EX1 EX1 计算计算 EX2 k取何值时取何值时 有非零解有非零解03, 02, 02321321321kxxxxxxxxx2 2、矩阵、矩阵矩阵的乘法矩阵的乘法 (),ijm nABCc ()(),ijmnssijAaBb，假设假设规定规定 ms 矩阵矩阵A乘乘sn 矩阵矩阵B得到一个得到一个mn 矩阵矩阵C，C中的第中的第i 行第行第j 列元素列元素cij 由矩阵由

2、矩阵A中第中第i 行的行的s 个元个元素与矩阵素与矩阵B中第中第j 列的列的s 个元素对应相乘相加得到个元素对应相乘相加得到求求 (1) AB + BA, (2) A2 - BT 知矩阵知矩阵 A= ， B = EX1EX1称满足以下两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：称满足以下两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：1 1假设有零行元素全为零的行，位于底部；假设有零行元素全为零的行，位于底部；(1) (1) 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵2 2各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右. .1231001400020000012100050000212101110012000

3、5如如几种要关注的矩阵几种要关注的矩阵 称满足以下三个条件的矩阵为行最简形矩阵：称满足以下三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1 1行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(2) (2) 行最简形矩阵行最简形矩阵2 2各非零行的首非零元均为各非零行的首非零元均为1.1.3 3首非零元所在列其它元素均为首非零元所在列其它元素均为. .0120000100001000010000100001如如000010000000000把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . .Aor A AA设设 为为 阶方阵，假设阶方阵，假设 ，即，即 ，An

4、TAA ijjiaa 那么那么 称为对称矩阵称为对称矩阵. .A 0211223113101101如如,ABBAE 使得使得A 的逆矩阵记作的逆矩阵记作 A-1那么称矩阵那么称矩阵A A是可逆的，并把矩阵是可逆的，并把矩阵B B 称为称为A A 的逆矩阵的逆矩阵对于对于n n 阶矩阵阶矩阵A A，假设有一个，假设有一个n n 阶矩阵阶矩阵B B ，定理定理 A A可逆的充要条件是可逆的充要条件是 |A| 0 |A| 0方阵的逆阵的性质方阵的逆阵的性质 (2)假设A可逆 数0 那么A可逆 且 (A)11A1 (3)假设假设A、B为同型可逆矩阵为同型可逆矩阵 那么那么AB可可逆逆 且且(AB)1B

5、1A1 (4) 假设假设A可逆可逆 那么那么AT也可逆也可逆 且且(AT)-1= (A-1)T逆矩阵逆矩阵 定义定义 下面三种变换称为矩阵的初等行下面三种变换称为矩阵的初等行(列列)变换变换 线性方程组与其增广矩阵相互对应线性方程组与其增广矩阵相互对应 对方程组的变换对应为对方程组的变换对应为对方程组的增广矩阵的初等变换对方程组的增广矩阵的初等变换 (1)对调两行对调两行(列列) (2)以非零数以非零数 k 乘某一行乘某一行(列列)中的一切元素中的一切元素 (3)把某一行把某一行(列列)的的 k 倍加到另一行倍加到另一行(列列)上去上去 定义定义 假设矩阵假设矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经

6、过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵就称矩阵A与与B等价，记作等价，记作AB3、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换用初等行变换法求矩阵的逆用初等行变换法求矩阵的逆 此为求逆矩阵的第二种方法，即初等变换法，也是最常用的方法，此为求逆矩阵的第二种方法，即初等变换法，也是最常用的方法，并且这种方法可以自动判别矩阵的可逆性。并且这种方法可以自动判别矩阵的可逆性。 (A E) (E A1) 另一方法另一方法:伴随矩阵法伴随矩阵法AAAAAAAAAAAAAnnnnnn112122212121111EX1 求下面矩阵的逆矩阵求下面矩阵的逆矩阵100312201A利用初等行变换可把矩阵利用初等行变换可把矩阵A 化

7、为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵. 一切行等价的矩阵所对应的线性方程组都是同解的一切行等价的矩阵所对应的线性方程组都是同解的 其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的其中行最简形矩阵所对应的线性方程组是最简单的 而且是最容易求解的而且是最容易求解的 在求矩阵和向量组的秩时把矩阵在求矩阵和向量组的秩时把矩阵A 化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵.在解线性方程组时把矩阵在解线性方程组时把矩阵A 化为行最简形矩阵化为行最简形矩阵. 定理定理 矩阵经过初等变换后其秩不变矩阵经过初等变换后其秩不变 即即 假设假设 AB

8、 AB 那么那么 R(A) R(A)R(B)R(B) 求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵梯形矩阵 其中非零行的行数即是该矩阵的秩其中非零行的行数即是该矩阵的秩 定理定理 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数利用初等变换求矩阵的秩利用初等变换求矩阵的秩EX2 求矩阵求矩阵 的秩的秩012153200121极大无关组所含向量的个数极大无关组所含向量的个数r称为向量组称为向量组A的秩的秩 记作记作RA向量组的极大无关组的定义和等价定义向量组的极大无关组的定义和等价定义定理定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的

9、秩等于它的列向量组的秩 也等于它的行向量组的秩也等于它的行向量组的秩 典型例题典型例题 求矩阵求矩阵A的列向量组的一个极大无关组的列向量组的一个极大无关组 并把不属于极大无关组并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示的列向量用极大无关组线性表示方法：对方法：对A施行初等行变换变为行最简形矩阵施行初等行变换变为行最简形矩阵 求得求得R(A) =r 可知列向量组的极大无关组含可知列向量组的极大无关组含r 个向个向量量行最简阵中单位向量所对应的列向量为列向量组的一个极大无关组行最简阵中单位向量所对应的列向量为列向量组的一个极大无关组 将将A的行最简形矩阵中其他向量用单位向量表示，其表示系数即

10、为所求的行最简形矩阵中其他向量用单位向量表示，其表示系数即为所求利用初等变换求向量组的极大无关组利用初等变换求向量组的极大无关组EX3 利用初等变换求以下向量组的一个极大无关组，并把其利用初等变换求以下向量组的一个极大无关组，并把其他列向量用极大无关组线性表示他列向量用极大无关组线性表示281106123913 n个未知数个未知数m个方程的线性方程组个方程的线性方程组 Axb mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111 (1)无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是R(A)R(A b) (2)有独一解的充分必要条件是有独一解的充分必

11、要条件是R(A)R(A b)n (3)有无限多解的充分必要条件是有无限多解的充分必要条件是R(A)R(A b)n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是R(A)n4、线性方程组的解、线性方程组的解v齐次线性方程组解的构造齐次线性方程组解的构造 设设1 2 t为方程为方程Ax0的根底解系的根底解系 那么方程那么方程Ax0的通解为的通解为xc11c22 ctt (c1 c2 ctR) v定理定理 用初等行变换把用初等行变换把n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵的系数矩阵A化为行最简化为行最简形，设形，设R(A)=rv齐次线性方程组求

12、根底解系的方法齐次线性方程组求根底解系的方法 从最简形的同解方程组可以解出根底解系从最简形的同解方程组可以解出根底解系, 根底解系含有根底解系含有n-r个个线性无关的解向量线性无关的解向量, 最后得出通解最后得出通解 设设1 2 n-r为方程为方程Ax0的根底解系的根底解系 那么方那么方程程Ax0的通解为的通解为xc11c22 cn-r n-r (c1 c2 cn-r R) 设设mn矩阵矩阵A的秩的秩R(A)r 那 么那 么 n 元 齐 次 线 性 方 程 组元 齐 次 线 性 方 程 组 A x0 的 解 空 间的 解 空 间 S 的 秩的 秩RSnr EX1 求齐次线性方程组求齐次线性方程

13、组 0377023520432143214321xxxxxxxxxxxx的根底解系与通解的根底解系与通解 设设*是方程组是方程组Axb的一个特解的一个特解 1 2 nr是对应齐次方程组是对应齐次方程组Ax0的根底解系的根底解系 那么方程组那么方程组Axb的通解为的通解为xk11k22 knr nr* (k1 knr R) v非齐次线性方程组解的构造非齐次线性方程组解的构造 求解线性方程组求解线性方程组Axb的步骤的步骤 (1)把它的增广矩阵把它的增广矩阵B化成行阶梯形化成行阶梯形 从从B的行阶梯形可同时看的行阶梯形可同时看出出R(A)和和R(B) 假设假设R(A) R(B) 那么方程组无解那么

14、方程组无解 (2)假设假设R(A)R(B) 那么进一步把那么进一步把B化成行最简形化成行最简形 (3)从最简形的同解方程组得出特解从最简形的同解方程组得出特解,并从对应的齐次方程组中并从对应的齐次方程组中解出根底解系解出根底解系,最后得出通解最后得出通解 EX2 知线性方程组知线性方程组 (1)问问 取何值时方程组有解取何值时方程组有解 (2) 有解时求出它的通解并写出对应的根底解系有解时求出它的通解并写出对应的根底解系5 5、类似矩阵及二次型、类似矩阵及二次型v向量的内积向量的内积内积的性质内积的性质1 1对称性：对称性： , 2 2线性性：线性性： , ,kk 设设 为为n 维向量维向量

15、k为实数为实数 那那么么 3 3非负性：当非负性：当0 0 时时, 0 ; , 0 ; 当当=0 =0 时时, , =0 ;=0 ;设有设有n n 维实向量维实向量，称为向量，称为向量与与的内积的内积记记 假设向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，那么假设向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，那么这个向量组称为正交向量组，简称正交组这个向量组称为正交向量组，简称正交组. .由单位向量组成的正交组称为规范正交组由单位向量组成的正交组称为规范正交组. .v规范正交组规范正交组 两两正交：两两正交：ai , aj = aiTaj = 0 规范规范: |ai| = 1正交阵正交阵正交阵的列正交阵的

16、列(行行)向量都是单位向量向量都是单位向量 且两两正交且两两正交, 即正交阵的列即正交阵的列(行行)向量构成规范正交组向量构成规范正交组ATAE (即即A1AT)类似矩阵类似矩阵那么称那么称B是是A的类似矩阵的类似矩阵 或说矩阵或说矩阵A与与B类似类似设设 A A B B 都 是都 是 n n 阶 矩 阵阶 矩 阵 假 设 有 可 逆 矩 阵假 设 有 可 逆 矩 阵 P P 使使 P P1AP1APB B2、特征值、特征向量、特征值、特征向量 n阶矩阵阶矩阵A 数数和和n维非零向量维非零向量x, 使关系式使关系式A的对应于特征值的对应于特征值的特征向量：的特征向量：(E-A)x0的非零的非零

17、解解x A的特征值：特征方程的特征值：特征方程|E-A|0的根的根数数称为方阵称为方阵A A的特征值的特征值 x x称为对应于特征值称为对应于特征值的特征向的特征向量量 Axx 成立成立求矩阵求矩阵A的特征值的特征值和特征向量的方法：和特征向量的方法：(1) 求特征方程求特征方程|E-A|0的根得的根得A的特征值的特征值(2) 对每个特征值对每个特征值 解解(E-A)x0得根底解系得根底解系 假设假设n阶矩阵阶矩阵A与与B类似类似 那么那么A与与B的特征多项式一样的特征多项式一样 从而从而A与与B的特征值也一样的特征值也一样 假设假设n n阶矩阵阶矩阵A A与对角矩阵与对角矩阵diag(dia

18、g(1 1 2 2 n)n)类似类似 那么那么1 1 2 2 n n即是即是A A的的n n个特征值个特征值 EX1 求矩阵求矩阵 的特征值的特征值 201034011A EX2 设设 ，求，求A的特征值与的特征值与BAUU1特征向量，并求矩阵特征向量，并求矩阵U,U,使得使得 为对角阵为对角阵144241422217A二、三阶行列式 对角线法那么 四阶及四阶以上的行列式 展开定理 nkkjkjnkikikAaAaD11常用：利用性质6化零，利用展开定理降阶相结合 或：利用性质6化为上三角行列式 1性质1 2性质2 3性质3 4性质3推论1 5性质5 6性质6 保值 判零 7性质2推论 8性质

19、4 9性质3推论2 00022112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa假设 ， 假设 ， 0D那么 有独一解 那么 只需零解 njDDxjj, 2, 1 0D假设 有非零解，那么 0D642781694154321111DEX1 EX1 EX2 EX2 用克拉默法那么求解用克拉默法那么求解 10321322321321321xxxxxxxxx矩阵及其运算习题课 一、矩阵运算一、矩阵运算 1线性运算 nmijaA nmijbBnmijijbaBAnmijkakA2乘法 smijaA nsijbB 那么那么 nmCABskkjikijbac

20、1其中 二、矩阵的行列式二、矩阵的行列式 A为为n阶方阵，阶方阵， A表示A的行列式 1 BABABA2 AkkAn3 AAT 三、矩阵转置三、矩阵转置 TAAATTTTTABAB假设 AAT，那么A为对称阵. 四、逆矩阵四、逆矩阵 1定义，存在性，独一性 假设假设AB=BA=E，那么，那么A与与B互为逆矩阵互为逆矩阵.即即 BA1AB1 2性质与转置性质对照性质与转置性质对照 1 AA11AATT 2 111ABABTTTABAB 3 111AATTAA 4 不成立不成立 TTTBABA 5 AA11AAT 6 TTAA11 3求逆方法求逆方法伴随矩阵法伴随矩阵法 A可逆可逆 0AAAAA1

21、01，A为非奇特的 4运用运用 1解线性方程组 2求解矩阵方程 CAXCAX11CBXCXB11CBAXCAXB例 设n阶方阵A与B满足 A+B=AB 1证明 A-E为可逆矩阵 2知 ,求A200012031B矩阵的初等变换习题课 一、初等变换行 jirr ji ikr0kjirkr jik , 0互换变换 倍乘变换 倍加变换 二、矩阵的秩 R(A)=r A中非零子式的最高阶数 求法：1定义 2初等变换法化为行阶梯阵 三、初等矩阵 单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵 方式：互换阵、倍乘阵、倍加阵 作用：1对A进展一次行初等变换相当于以相应的初等阵去左乘A 对A进展一次列初等变换相当于以相应的初

22、等阵去右乘A 2定理 任一非奇特矩阵经过一系列初等变换可化为单位阵 求逆方法： 112AEEAPPPl行1AEEA行例1 求解 X343122321341352Ch4 习题课习题课 一、线性组合一、线性组合kk2211为 k,21的线性组合 存在组合系数，使得 二、线性相关二、线性相关02211kkk,21不全为0 线性相关线性相关 0,21k当且仅当 线性无关线性无关 三、极大线性无关组三、极大线性无关组向量组向量组A中能选出中能选出r个向量个向量r,21满足满足 (1)向量组向量组B 线性无关线性无关 r,212向量组向量组A中任何向量都可由向量组中任何向量都可由向量组B线性表示线性表示r,21为向量组为向量组A的一个极大无关组的一个极大无关组 四、向量组的秩四、向量组的秩向量组向量组A中极大无关组的个数称为向量组的秩中极大无关组的个数称为向量组的秩 矩阵矩阵A的秩的秩=其行向量组的秩其行向量组的秩=其列向量组的秩其列向量组的秩判别线性相关、无关的方法判别线性相关、无关的方法 1引入待定系数 k,21求解齐次线性方程组02211kk 有非零解 k,21不全为零 相关 只需零解 0,21k无关 2当向量“个数=维