段正敏主编《线性代数》习习题解答

1、线性代数习题解答 教材：段正敏，颜军，阴文革:线性代数，高等教育出版社，2010。张应应 胡佩2013-3-1目 录第一章行列式1第二章矩阵22第三章向量组的线性相关性50第四章线性方程组69第五章矩阵的相似对角化91第六章二次型114附录：习题参考答案129第一章 行列式1填空题： （1）3421的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为. （2）517924的逆序数为 7 ；解：该排列的逆序数为. （3）设有行列式=，含因子的项为 -1440，0 ；解：所以含因子的项为-1440和0.（4）若阶行列式；解：行列式中每一行可提出一个公因子，.（5）设，则的根为 1，2，-2 ；解：是一个Vand

2、ermonde行列式，的根为1，2，-2.（6）设是方程的三个根，则行列式 0 ；解：根据条件有比较系数可得：，再根据条件得：原行列式. （7）设有行列式=0，则= 1，2 ；解：.（8）设，则多项式中的系数为 0 ；解：按第一列展开，中最多只含有项，含有的项只可能是不含项，中的系数为0.（9）如果=0，则= 2 ；解：.（10）= -abcd ；解：将行列式按第一行展开：.（11）如果=1，则= 1 ；解：.（12）如=2，则= -16 ，= -4 ，= -4 ；解： .（13）设阶行列式=，且中的每列的元素之和为，则行列式中的第二行的代数余子式之和为=；解：实际上，由上述证明过程可知任意行

3、代数余子式之和. （14）如果=1，则= -1 ，=；解：令，则.（15）设有行列式，则元素的余子式=，元素2的代数余子式=；（16）设=，的代数余子式，则 0 ；解：方法一：可看成中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：. （17）设=，的代数余子式，则 0 ；解：. （18）设，则的系数为 6 ；解：方法一： 方法二：只有一项非0综上所述：的系数为6.（19）设， 且 ，则=；解：方法一：令，则,证明：根据行列式性质2和5，将行列式变成下三角行列式，得到：行列式、的变换和行列式的变换完全相同，得到：分别将、第一次按第一行展开（变成第一行），第二次按第二行展开（

4、变成第一行），总共进行m次第一行展开，得到：；证毕.方法二：设，其中：那么：中依次与对换，使得在下面；依次与对换，使得在下面，在上面；依次与对换，使得在下面，在上面；总共进行了次对换。得到：.（20）=.解：同理可得：，则. 2选择题（1）设多项式=，则多项式的次数为（）（）2 （）3 （）4 （）5解：方法一：多项式次数为3；方法二：多项式次数为3；注意：实际上方法一与方法二思想类似：利用行列式展开定理对行列式降阶，最后求出行列式的值（多项式）.方法三：这四项的最高次项分别为：，多项式次数为3.（2）设为实数且=0，则（）（） （） （）（）解：. （3）设多项式=，则多项式的次数最多为（）

5、（）1 （）2 （）3 （）4解：设，则的次数最多为1.（4），当=（ ）时，0.（）3 （）4 （）5 （）7解：当时，选. （5）为四阶行列式的第列，（=1，2，3，4，），且=，则下列行列式中，等于的是（）.（） （） （）（）解：（）（）方法一：方法二：（）（）3计算下列行列式（1）， （2），（3）， （4） ， （5） ， （6），（7）， （8）.解：（1）（2） （3）（4） （5） （6）方法一： 方法二：（7）（8）方法一：考虑新的行列式，则，即为 的系数，因为将按最后一列展开时，即为 的系数所在项，而由为范德蒙行列式知：因此有：方法二：注：此方法的因式分解有点难！4计算下

6、列阶行列式（1）；（2）， （即）；（3）；（4），其中未写出元素为零；（5），其中未写出元素为零.解：（1） （2）方法一： 方法二： （3） （4） （5）其中： 5证明（1）若行列式中每一个数，则所得行列式与相等；（2）；（3） 证明（1）（2）（3）6证明第三节推论4.证明：设的两行元素对应成比例，则.7证明第三节性质4.证明：证毕.8证明上三角行列式等于对角线上元素的乘积.证明：，由行列式的定义知，第一列只有为非零元，而第二列除第一行外，只有为非零元，同理依次进行.则，其中为逆序数，为0，. 证毕.第二章 矩阵1填空题（1）已知=，则= 0 ； -3 .解：. （2）设则=.解：，.

7、（3）若均为3阶方阵，且，则 -16 .解：. （4）为3阶方阵，且=2，=，则= 6 .其中分别为的1、2、3行.解：. （5）已知=（1，1，1），则| |= 0 .解：. （6）设=满足，则.解：两边取行列式得： ， .（7）设=，则=.解：，（8）设矩阵的秩为2，则 3 .解：由的秩为2，则的所有3阶子式为0.（9）设矩阵，且，则 -3 . 解：由知，即若，则，与已知矛盾，故；若，则，因为有一个三阶子式，与已知相符，故.（10）为5阶方阵，且，则 0 .解：关于原矩阵与伴随矩阵秩的关系有如下结论： 此题中，故.证明：若，则，；若，则，有一个阶子式不为0，于是有一个代数余子式不为0，.

8、因为，所以【见书P110：例9】，故；若，则的所有阶子式全为0，于是所有代数余子式全为0，.（11）设为非零方阵，当时，则= n .解：方法一：，由上题结论可知，由已知为非零方阵，则，故；方法二：为非零方阵，故的对角线元素不全为0，从而为非零方阵，则.（12）矩阵 的逆矩阵为 .解：，则（13）设阶可逆方阵满足2，则 .解：由是可逆方阵知，由. （14）设阶方阵满足，则 4 ，=， .解：，（15）为阶方阵，的伴随阵，则.解：. （16）设的伴随阵，则 .解：. （17）设的伴随阵和逆阵，则 .解：. （18）设，为三阶非零矩阵，且,则= -1 .解：首先证明：方法一：由，若，则可逆，两边左乘

9、得，与矛盾，故；方法二：，设，故，即有非零解，故由定理知.综上有. （19）线性方程组，满足条件时有惟一解.解：由克莱姆法则：时有唯一解.（20）当=，线性方程组有非零解.解：有非零解.2选择题（1）设、均为阶方阵，则下面结论正确的是（）（）若或可逆，则必可逆；（）若或不可逆，则必不可逆；（）若、均可逆，则+必可逆；（）若、均不可逆，则+必不可逆.解：可逆，不可逆（）若可逆，不可逆，故不可逆，故（）错误；（）或，故（）正确；（）设可逆，则也可逆，但不可逆，故（）错误；。（），均不可逆，但可逆，故（）错误.（2）设、均为阶方阵，且()=，则（）（）； （）；（）； （）=.解：，两边取行列式，则

10、，故或，故（）正确；（）反例：；（），故（）错；（），故（）错.（3）设、均为阶非零矩阵，且，则和的秩（）（）必有一个为零； （）一个等于，一个小于；（）都等于； （）都小于.解：方法一：，由课本P110例9知：，又、均为非零矩阵，故，同理，故（）正确；方法二：，、均为阶非零矩阵，则、均不可逆，反证：若可逆，则，与矛盾；若可逆，则，与矛盾.（4）设阶方阵经过初等变换后得方阵，则（）（）； （）；（）； （）若,则.解：由题意知，故可逆阵、，使，故（）正确。（）（）（）均不正确，由，可构造、，使（）（）（）不成立.（5）设、均为阶方阵，可逆，则也可逆，且 （）.（）； （）；（）； （）.解：经

11、验证知（）正确，即.（6）设阶方阵满足，则必有（）（）； （）；（）； （）.解：，则、均可逆，且，即，故（）正确.（7）设阶方阵均是可逆方阵，则（）（）； （）；（）； （）.解：，故（）正确.（8）设，若可逆，则（）（）； （）；（）； （）.解：，则，其中，对初等方阵有：故，故（）正确.（9）设是矩阵，是矩阵，则（）（）时必有=0； （）时必有=0； （）时必有0； （）时必有0.解：对（）（）有，故（）正确；对（）（）有，均有可能，故（）（）错误.（10）设=，的伴随阵的秩为1，则（）.（）； （）且；（）； （）且.解：，此题有由若，与矛盾；若，此时，若，则，与矛盾，故. ，故.综上

12、所述，且，（）正确.3写出下列矩阵（1）的3×2矩阵；（2）的的4阶方阵.解：（1）（2）4设矩阵；，求 .解：，5计算下列矩阵的乘积（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）6设，求 (为正整数).解：，猜测用数学归纳法证明：当时，成立；设当时，成立，则当时，成立，故由数学归纳法知7设，求 (为正整数).解：，且，可得：8设，求 (为正整数).解：方法一：，其中，假设，方法二：，假设，则，且9求下列矩阵的秩（1）； （2）（3） （4）解：（1） （2）（3）（4）10求下列矩阵的秩及行的最简形（1）； （2）.解：（1）（2）11求下

13、列方阵的逆（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）.解：（1） （2），（3） （4），（5） （6），12求解下列矩阵方程（1）；（2）；（3），；（4）设，求.解：（1），其中，（2），（3），其中，（4），其中，13用克莱姆法则求解下列方程组（1）（2）解：（1），可逆（2），并且，14已知线性方程组有非零解，求解下列方程中的参数（1）（2）解：齐次方程组有非零解；齐次方程组有唯一解（零解）（1），或（2）或15下列等式是否正确，说明理由或举反例说明，其中均为阶方阵.（1）=； （2）；（3）.解：对于（2）式，对于（3）式，但对于一般的阶方阵，没有（交换律），故（1）（2

14、）（3）均错误。反例：，则，显然。特殊情形下有： 为数字阵：，； 均为对角阵，。 16下列等式或结论是否正确，说明理由或举反例说明，其中均为阶方阵.（1）如果；（2）如果；（3）如果；（4）方阵和的乘积（其中为零矩阵），且，则；（5）设方阵均可逆，则可逆.解：（1），但；（2），但或；（3），但；（4），；（5），均可逆，但不可逆.17（1）设是矩阵，是矩阵，是否一定有=（2）设、都是矩阵，是否一定有，举例说明.（3）若3阶方阵的秩为2，3阶方阵的秩为3，则的秩为2吗为什么（4）设是阶方阵，已知有非零解，对任意的自然数，方程 是否也有非零解为什么解：（1）不一定. 可以举出例子说明，现举例说明

15、.取，则，；，显然.（2）不一定.可以举例说明，现举例说明设，则，（3）的秩为2. 的秩为3，则为可逆阵，是一系列初等方阵的积，就相当于给实施一系列初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩.（4）方程有非零解. 实际上的非零解即为的非零解.方法一：方法二：有非零解的非零解，为任意的自然数18设矩阵是阶对称阵，是阶方阵，则都是对称阵.证明：已知是阶对称阵，则，；得证都是对称阵.19证明逆阵性质2、3、5.证明：由知：性质2：性质3：性质5：20证明同阶正交阵相乘是正交阵.证明：设和均为阶对称阵，则，故为正交阵.21设，:.证明：由知22设，.证明：又，23设为阶方阵，的伴随阵，证明 . 证明：由方阵A

16、和它的伴随方阵的关系，方阵的行列式运算性质，则=，当时，；当时，=0，如，则可逆，的所有的代数余子式，而，矛盾. 故，有.24设.证明：，即. 25设均为阶方阵，满足，证明：可逆且.证明：，故可逆；故得证.26设方阵满足，证明及可逆.证明:方法一：由已知有，可逆.又由已知有，由知，可逆.方法二：由已知有，可逆，且又由已知有，可逆，且. 27设均为阶方阵，且，证明可逆，并求其逆.证明：，由知，可逆，且. 28若对任意的均有，证明必是零矩阵.证明：成立，特别地，取，则：，且，的任一列均为零向量，即.29设为阶方阵，证明=的充要条件是.证明：必要性：显然；充分性：记，则，记，则，即.30证明的充要条

17、件是存在可逆阵、，使.证明：初等方阵，使可逆阵，可逆阵，使. 31设均为阶方阵，满足=0，证明：=0.证明：，则已知，则或，即.32设为阶方阵，且均可逆，证明：可逆，并求其逆.证明：，为可逆阵的乘积，故可逆，且.第三章 向量组的线性相关性1填空题（1）设向量组线性相关，则 2 .解：方法一：线性相关，则存在不全为0的数，使前三个方程解出，（不全为0）把代入第四个方程得，方法二：线性相关，则由，即方法三：，则的任意三阶子式为0，取的一个三阶子式（2）设向量组线性无关，则必满足关系式.解：，则线性无关，即. （3）设向量组的秩为2，则 -3 .解：当时，矛盾，故；当时，故.（4）向量组线性无关，则

18、向量组, 是线性 无关 .解：为初等方阵的乘积，初等变换不改变矩阵秩，从而不改变向量组的秩，（线性无关）线性无关.（5）向量组的秩为2，则的秩为 2 .解：为初等方阵的乘积，初等变换不改变矩阵秩，从而不改变向量组的秩，. （6）设三阶矩阵，向量，且满足与线性相关，则 -1 .解：与线性相关与对应分量成比例（7）设是的基，则满足关系式.解：是的基线性无关（8）已知三维线性空间的一组基为，则向量在这组基下的坐标是.解：，.2选择题（1）设为一组维向量，则下列说法正确的是( A )（A）若不线性相关，则一定线性无关；（B）若存在个全为零的数，使得：，则线性无关；（C）若存在个不全为零的数，使得：，则

19、线性无关；（D）若向量组线性相关，则可由线性表示.解：（B）可以线性相关；（C）对任意的个不全为零的数，使得：，则线性无关；（D）P64定理指出：（）线性相关至少存在一个向量可由其余个向量线性表示，但并没有指明是哪一个向量可由其余个向量线性表示.（2）向量组线性相关的充要条件是( C )（A）中有一个零向量；（B）中任意两个向量成比例；（C）中有一个向量是其余向量的线性组合；（D）中任意一个向量都是其余向量的线性组合.解：（C）正确： P64定理；（A）（B）（D）是充分条件.（3）维向量组线性无关的充要条件是( D )（A）存在一组不全为零的数，使；（B）中任意两个向量都线性无关；（C）存在

20、一个向量不能由其余向量线性表示；（D）中任一个向量不能由其余向量线性表示.解：（A）线性相关任意一组不全为0的数；（B）取，则中任意两个向量都线性无关，但是线性相关；P64定理的逆否命题为：（）线性无关不存在一个向量可由其余个向量线性表示任何一个向量都不能由其余个向量线性表示，故（C）错误，（D）正确.（4）设向量组(I)：；向量组(II)：，则必有( A )（A）(I)线性相关(II)线性相关； （B）(I)线性相关(II)线性无关；（C）(II)线性相关(I)线性相关； （D）(II)线性相关(I)线性无关.解：线性相关增加一个向量或者减少一维向量仍线性相关；线性无关减少一个向量或者增加一

21、维向量仍线性无关.（5）已知向量组线性无关，则向量组( C )（A）线性无关；（B）线性无关；（C）线性无关；（D）线性无关.解：一般地，即，若，则可逆，为初等方阵的乘积，初等变换不改变矩阵的秩，从而不改变向量组的秩，从而线性相关线性相关，线性无关线性无关；若，下面用两种方法证明一定线性相关：方法一：，线性相关；方法二：，则一定有非零解，设此非零解为，即，则，线性相关.，故（C）正确；同理，故其余三项错误.（6）设线性相关，线性无关，则( C )（A）线性相关； （B）线性无关；（C）能由线性表示； （D）能由线性表示.解：线性相关线性相关，又线性无关能由线性表示能由线性表示，故（C）正确.（

22、7）设向量能由向量组线性表示但不能由向量组（I）：线性表示，记向量组（II）：，则( B )（A）不能由（I）线性表示，也不能由（II）线性表示；（B）不能由（I）线性表示，但能由（II）线性表示；（C）能由（I）线性表示，也能由（II）线性表示；（D）能由（I）线性表示，但不能由（II）线性表示.解：能由向量组线性表示，使又不能由向量组（I）：线性表示，于是，即能由（II）线性表示；假设能由（I）线性表示，则，使，代入得到能由向量组（I）：线性表示，矛盾，故不能由（I）线性表示. 故选（B）.（8）设矩阵为阶方阵，且，则在的个行向量中( B )（A）任意个行向量线性无关；（B）必有个行向量线

23、性无关；（C）任意个行向量构成极大无关组；（D）任意一个行向量都可以由其中任意个行向量线性表示.解：，为的行向量组，则，的最大无关组的个数为，必有个行向量线性无关，故（B）正确.例如：，则线性无关.（9）设矩阵为阶方阵，且，则矩阵中( C )（A）必有一列元素全为0；（B）必有2列元素对应成比例；（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D）任意一列向量都是其余列向量的线性组合.解：线性相关不全为零的数，使得：一个向量可由其余个向量线性表示，故（C）正确. （A）（B）是的充分条件.（10）设向量组线性无关，向量可由向量组线性表示，而向量不能由向量组线性表示，则对于任意的常数，必有( A )

24、（A）线性无关； （B）线性相关；（C）线性无关； （D）线性相关.解：可由向量组线性表示一定线性无关若线性相关， 线性无关，则矛盾，故线性无关；当时，线性无关；当时，线性相关。当时，若线性相关， 线性无关，则，矛盾，故线性相关；当时，故线性相关.3设，求.解： 4设，且，求.解：5讨论下列向量组的线性相关性：（1）向量组1：；（2）向量组2：；（3）向量组3：；（4）向量组4：；（5）向量组5：.解：（1），向量组1线性无关.（2），向量组2线性相关.（3）对应分量不成比例，向量组3线性无关.（4）方法一： ，向量组4线性相关.方法二：与线性相关（），线性相关.（5）由定理知任意4个3维向量

25、必定线性相关，向量组5线性相关.6分别求下列向量组的秩及其一个最大的线性无关组：（1）向量组1：；（2）向量组2：.解：（1），为一个极大无关组.（2），显然矩阵的前两个列向量线性无关，的前两个列向量线性无关为一个极大无关组.7设，则：（1）为何值时，向量组线性相关线性无关（2）为何值时，向量组线性相关线性无关解：（1）向量组线性相关的充要条件是对应分量成比例，即当时，对应分量不成比例，此时向量组线性无关.综上所述：当时，线性相关；当时，线性无关.（2）向量组线性无关且向量组线性相关或综上所述：当或时，线性相关；当且时，线性无关. 8设向量组的秩为2，求的值.解：方法一：，要使，则与必线性相关

26、：方法二：，容易找到一个二阶子式不为0，的所有三阶子式为0，则9设向量组线性无关，问满足什么条件时，线性无关.解：即，故当时，线性相关；当时，可逆，此时等价，从而，线性无关；总结：线性相关线性无关 线性无关线性相关从而线性相关，线性无关 故当时，向量组线性无关.10设向量组线性无关，向量能由向量组线性表示，而向量不能由向量组线性表示，对任意的实数，问（1）向量组是否线性相关，为什么（2）向量组是否线性相关，为什么解：可由向量组线性表示（1）一定线性无关.若线性相关， 线性无关，则矛盾，故线性无关；（2）当时，线性无关；当时，线性相关.当时，若线性相关， 线性无关，则，矛盾，故线性相关；当时，故

27、线性相关.11验证矩阵和矩阵是否为正交阵.解：方法一：直接根据正较阵定义进行验证，即，过程略；方法二：根据定理，为正交阵的行（列）向量组是标准正交向量组 对于矩阵，的列向量组不是标准正交向量组，矩阵不是正交阵；对于矩阵， ，是单位列向量又，是标准正交向量组，矩阵是正交阵.12分别将以下向量组正交化（1）向量组1：；（2）向量组2：.解：（1）（2）13设，且线性无关，证明向量组线性无关.证明：设，代入有：有： 线性无关， ，由定义知：线性无关.14设向量能由向量组线性表示，且表示式惟一，证明线性无关.证明：设，且，两式相加有：的表达式唯一，即线性无关15设向量组线性相关，向量组线性无关，证明：

28、能由线性表示，而不能由线性表示.解：线性无关，线性无关，又线性相关，存在不全为0的数，必有，否则不全为0，且与线性无关矛盾，即能由线性表示.反证：若能由线性表示，由于可由线性表示，能由线性表示，与线性无关矛盾，不能由线性表示.16设维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，证明向量组线性无关.证明：由于可由维单位坐标向量组线性表示，因此由题目知与可相互线性表示，即二者等价，由于的秩为n，所以的秩也为n，即线性无关.17是维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都能由它们线性表示.证明：必要性：任取向量，是线性无关的维向量组，必线性相关，因此可由线性表示；充分性：若任意一个维向量均可由

29、线性表示，则维单位坐标向量组可由线性表示，由16题知线性无关.18设为阶矩阵，为为列向量，若存在正整数，使得：，但是，证明向量组线性无关.证明：当时，则线性无关，结论正确；当时，设 （1）（1）式两端左乘，则，又，代入（1）得： （2）（2）式两端左乘，则，代入（2）得 （3）（3）式两端左乘，则以此类推，得到，从而线性无关.19设向量组(I)：的秩为，向量组(II)：，的秩为，向量组(III)：的秩为，证明.证明：显然（I）可由（III）线性表示，即，同理（II）可由（III）线性表示，即，所以；同时记为的极大无关组，为的极大无关组，则（III）可由，线性表示，综上所述：.20设是矩阵，是矩

30、阵，证明：.证明：将和列分块，记，则，且，由19题知：.21设都是矩阵，证明：.证明：将和列分块，记，则：，可由线性表示，由19题知：.22设是矩阵，是矩阵，证明：.证明：设，行分块为，行分块为，可由线性表示，同理可证，即，证毕.23设是维单位列向量，令，证明：是对称的正交阵.证明：，是对称阵；又，注意到是维单位列向量，即，即是正交阵；综上所述，是对称的正交阵.24设都是阶正交阵，证明也是正交阵.证明：已知均为正交阵，则，故也是正交阵.25设，验证是否是向量空间.解：是向量空间.易验证对加法和数乘封闭：，则，故；，故.不是向量空间.，故不是向量空间.26证明由向量组所生成的向量空间就是.证明：

31、，线性无关，是的一组基，.27证明为的一组基，并求向量在这组基下的坐标.解：，线性无关，是的一组基.设，则，.第四章 线性方程组1填空题（1）若齐次方程组只有零解，则参数应满足.解：只有零解；有非零解；且.（2）若方程组有解，则常数满足.解：有解；则.（3）若方程组无解，则.解：则无解；，则当时，此时无解.（4）若方程组有无穷多解，则 -2 .解：，则 有一解；有0，解；当时，故无解；当时，故有无穷解；综上所述：.（5）若方程组有惟一解，则满足.解：，对无要求，即. （6）若阶矩阵的每一行元素之和为零，且，则齐次线性方程组的基础解系为.解：，即为的非零解向量；记为的解空间，则，则的任何一个线性

32、无关的解向量均是的基础解系，从而的基础解系是.（7）设为非齐次线性方程组的两个不同解，其中为矩阵，且，则的通解为.解：记为的解空间，则，则的任何一个线性无关的解向量均是的基础解系，为非齐次线性方程组的两个不同解，则是的一个非零解，从而线性无关，那么是的基础解系，则的通解为： 或者. （8）设为矩阵，则非齐次线性方程组有惟一解的充要条件是.解：有唯一解；无解；有无穷解.（9）设为阶方阵，若齐次线性方程组的解都是齐次线性方程组的解，则.解：记为的解空间，为的解空间，由已知，则.（10）若，且三条不同直线相交于一点，则矩阵的秩满足.解：三条不同直线相交于一点有唯一解，令则，则与等价，从而，则.2选择

33、题（1）齐次线性方程组仅有零解的充要条件是( A )（A）矩阵的列向量组线性无关；（B）矩阵的列向量组线性相关；（C）矩阵的行向量组线性无关；（D）矩阵的行向量组线性相关.解：只有零解线性无关，故选（A）.（2）设是矩阵，是与非齐次线性方程组相对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( D )（A）若仅有零解，则有惟一解；（B）若有非零解，则有无穷多解；（C）若有无穷多解，则仅有零解；（D）若有无穷多解，则有非零解.解： 只有零解；有非零解；对，若，则有解，且有唯一解，有无穷解；对，有：有零解或唯一解（可能无解，当），有无穷解或零解（可能无解，当）.（A）仅有零解有零解或唯一解，故（A）错误；

34、（B）有非零解有无穷解或零解，故（B）错误；（D）有无穷解有非零解，故（D）正确.(3) 设是矩阵，且，则( A )(A) 时，非齐次线性方程组有解；(B) 时，非齐次线性方程组有惟一解；(C) 时，非齐次线性方程组有解；(D) 时，非齐次线性方程组有无穷解.解：（A）且有解，故（A）正确；（B）有零解或唯一解；（C）当时，无解；（D）有无穷解或零解.(4) 设为非齐次线性方程组的两个不同解，则( B )是的解.(A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：，（A）；（B），故选（B）；（C）；（D）.(5) 当矩阵等于( A )时，都是齐次线性方程组的解.(A) ； (B) ； (C)

35、； (D) .解：显然，线性无关，记为的解空间，则，故（A）正确.可简单验证：，.(6) 设矩阵的秩为，为阶单位矩阵，则下列结论正确的是( C )(A) 矩阵的任意个列向量必线性无关；(B) 矩阵的任意阶子式必不等于0；(C) 若矩阵满足，则必有；(D) 矩阵通过初等行变换，必可化成的形式.解：，则线性无关，线性相关.（A）（B）存在阶子式不等于0，设此子式对应矩阵为，则线性无关；（D）行最简形标准形；（C）方法一：由，不妨设，且可逆，；方法二：，则线性无关；方法三：由书16题知，记，则，即可逆，（两边右乘）（两边右乘）.综上：（C）正确.(7) 设为阶方阵，且，而为非齐次线性方程组的两个不同

36、解，为任意实数，则齐次线性方程组的通解为( C )(A) ； (B) ； (C) ； (D) .解：，则的任何一个非零解向量均为的基础解系，由是的两个不同解是的非零解，则是的基础解系，的通解为：，选（C）.(8) 设为非齐次线性方程组的两个不同解，而为对应的齐次线性方程组的基础解系，为任意实数，则的通解为( AB )(A) ； (B) ；(C) ； (D) .解：非齐次方程组通解=非齐次方程组特解+齐次方程组通解非齐次方程组特解可选：（）齐次方程组通解可选择：注意：不一定是的通解，因为可能与相关综上：选（A）（B）.(9) 设为矩阵，为矩阵，对于齐次线性方程组，以下结论正确的是( D )(A)

37、 当时仅有零解；(B) 当时必有非零解；(C) 当时仅有零解；(D) 当时必有非零解.解：（A）（B），则有非零解，只有零解，故有非零解或者只有零解均有可能，故（A）（B）错误；（C）（D）有非零解，故（D）正确.3求解以下方程组(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 解：（1），方程组有无穷多解同解方程组为，即得通解； （2） ，方程组无解；（3），方程组有唯一解； （4），同解方程组为即得通解； （5）同解方程组为，通解为；（6）同解方程组为，通解为；（7），方程组无解；（8），方程组有唯一解；（9），同解方程组为，通解为； （10）同解方程组为，

38、通解为.4求参数取何值时，下列方程组有惟一解、无解或有无穷多个解. 当有无穷多个解时，求其一般解.(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1）当且时，由克莱姆法则知方程组有唯一解：；当时，无解；当时，若，即时，无解；若时，有无穷多解，此时，通解为：.（2）当，即且时，无解.当，即或时，有无穷多解，且：时，通解为：；时，通解为：；（3）当时，无解；当时，有无穷多解，同解方程组为，通解为：； （4）当时，无解；当时，方程组有无穷多解，此时，通解为：； 当且时，有唯一解，此时：方程组解为：；（5）当或时，无解；当且时，有无穷多解，通解为：；（6）当且时，有唯一解；当时，无解；当时，无解

39、；当时，有无穷多解，通解为：.5对于向量组；试讨论参数满足什么条件时，(1) 可由线性表出，且表示方式惟一；(2) 可由线性表出，但表示方式不惟一；(3) 不能由线性表出.解：有唯一解可由线性表出，且表达式唯一；有无穷解或无解；有无穷解可由线性表出，且表达式不唯一；无解不能由线性表出；且（1）可由线性表出，且表达式唯一且；（2）当时，此时有无穷解，可由线性表出，且表达式不唯一；（3）当时，此时无解，不能由线性表出.6设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是2，并已知该方程组的三个解向量是求该方程组的通解.解：，则的任何两个线性无关的解向量均是它的一组基础解系；由为非齐次方程组的三个解向量知：，

40、为的两个线性无关的解向量，故为的一组基础解系；故的通解为.7设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，且已知它的三个解满足： 求该方程组的通解.解：，故的任何两个线性无关的解向量均是它的一组基础解系；，则，又，为非齐次方程组特解；， 为的两个线性无关的解向量，故为的一组基础解系；故为的通解.注意：此题中非齐次方程组的特解、齐次方程组的基础解系找法不唯一.8设矩阵，矩阵为3阶非零矩阵，且，求的值.解：，由P110例9知：，又是非零矩阵，则；.9设矩阵，为三阶非零矩阵，且满足，求及.解：，由P110例9知：，又是非零矩阵，即不满秩，则；或；当时，与不能同时为0，此时，；当时，此时，.10设是非齐次线

41、性方程组的个解，为实数，满足，证明也是方程组的解.证明：由已知： 故也是方程组的解.11试证方程组 有解的充要条件是，并在有解的情况下，求出它的全部解.证明：有解；当时，同解方程组为，通解为.12设为元非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：(1) 向量组线性无关；(2) 向量组线性无关.证明：（1）设，则，为的基础解系，有，是非齐次方程组，即，代入有，线性无关，即，线性无关；（2）设，则，由（1）知：线性无关，线性无关.13设元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，且是它的个解，证明：(1) 是齐次方程组的一个基础解系；(2) 的通解为，其中.证明：（1）首先我们证

42、明是的解.，为解；其次我们证明线性无关.设，则，线性无关，线性无关，为的一个基础解系；（2）由（1）知：的解为：，取，则. 证毕.14设A为n阶矩阵()，证明.证明： 若，则，；若，不可逆，则，有一个阶子式不为0，于是有一个代数余子式不为0，. 因为，所以【见书P110：例9】，故；若，则的所有阶子式全为0，于是所有代数余子式全为0，. 证毕.15设为阶矩阵，且，证明.证明：，可逆，设，则，设，易知可由线性表示，故，综上：.16设为矩阵，证明.证明：由方程解与秩的关系知：只须证明与同解即可. 事实上，若，则，的解必为的解；反之，若，则，即 ，为列向量，的解必为的解；与同解，证毕.17设为维列向

43、量，证明齐次线性方程组与有公共非零解的充要条件是：.证明：与有公共非零解，使，使，即有非零解.18若阶方阵，其中为矩阵，为矩阵，且，证明齐次线性方程组只有零解.证明：只有零解.，故能由线性表示，则，得，又，. 证毕.第五章 矩阵的相似对角化1填空题（1）设为阶奇异矩阵，则一定有特征值 0 .解：方法一：0是的特征值；方法二：，即0是的特征值.（2）阶矩阵的元素全为1，则的特征值为 n-1个0和 n .解：方法一：（重）或，即的特征值为个0和n；方法二：0是的特征值，易知， 0是的重特征根，设的另一特征值为x，由P122性质1（2）有，的特征值为个0和n.（3）已知3阶矩阵满足则的相特征值为 0

44、，1，1 .解：设，即是的特征值，是的对应于的特征向量，由P110例9有：，的特征向量为的非零解，的特征向量为的非零解， .（4），已知的特征值为2，3，3，则为 .解：由P122性质1有，故此题有问题.（5）已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，则的特征值为. 解：的特征值为1，2，3，则行列式；，由P123性质2的推广知：是的特征值，即的特征值为.（6）已知3阶矩阵的特征值为1，2，-2，则值为 -6 .解：设，则矩阵对应的特征值为，则行列式.（7）已知矩阵与相似，则为，为 1 .解：与相似，则与特征值相同，得且，即，得，.（8）为n阶矩阵，有特征值2，则一定有特征值 5 .解：有特征值2，则

45、使，（否则，矛盾），两边左乘得：，2是的特征值，是的2对应的特征向量，由是的特征值知：2+3=5是的特征值.（9）已知相似于，且，则.解：相似于，则存在可逆阵使，.（10）可相似对角化，则与的关系为. 解：因为相似于对角阵，所以必有3个线性无关的特征向量，其中对应于一个特征向量，对应于必有2个线性无关的特征向量，的特征向量是的非零解，只有当时，故与之间的关系是.2选择题（1）与可逆阵必有相同特征值的矩阵是（ C ）.（A） （B） （C） （D）解：是的特征值是的特征值，故（A）（B）（D）均错误；（C）：，故与有相同特征值，正确.（2） 设为2阶实矩阵，则矩阵 （ A ）.（A）可对角化 （

46、B）不可对角化 （C）与反对称阵相似 （D）以上都不对解：方法一：，有两个不同的特征值，由P128推论2知与对角阵相似，故（A）正确；方法二：或有两个不同的特征值.（3）已知是3阶方阵，是的互不相等的特征值，对应特征向量分别为，则向量组（ B ）（A）线性相关 （B）线性无关 （C）可能线性相关，可能线性无关 （D）以上都不对解：互不相同，由互不相同特征向量线性无关，向量组线性无关，故（B）正确.（4）设是的特征值，分别是的特征向量，则（ C ）（A）时，一定成比例 （B）时，若是特征值，则对应的特征向量是（C）时，不可能是特征向量 （D）有解：（A）：时，是的二重根，对应于的特征向量可能是二维的，即对应于可能有两个线性无关的特征向量，故（A）错误；（C）：，设是对应于的特征向量，即，线性无关，则与已知矛盾，故不是的特征向量，（C）正确.（5）设为阶方阵，且与相似，则（ D ）（A） （B）与有相同的特征值与特征向量 （C）与都相似于同一对角阵 （D）对任意常数，有与相似解：与相似，则存