传感器误差分析

1、上节主要内容上节主要内容l典型的检测仪表控制系统及工业检测仪表控制系统的一般结构l检测和仪表中常用的基本性能指标 测量范围、上下限、量程；零点迁移和量程迁移；灵敏度和分辨率；误差；精确度；滞环、死区和回差，重复性和再现性l检测仪表技术发展趋势2 误差分析基础及测量不确定度误差分析基础及测量不确定度2.1 检测精度检测精度l精度是相对而言的，被测量对象不同，则精度精度是相对而言的，被测量对象不同，则精度要求不同。要求不同。l测量精度可以用误差来表示。测量精度越高误测量精度可以用误差来表示。测量精度越高误差越小；精度越低误差越大。差越小；精度越低误差越大。l精度高的仪器其使用条件苛刻，维护费用大，

2、精度高的仪器其使用条件苛刻，维护费用大，实际使用时应适当选择测量精度。实际使用时应适当选择测量精度。2.2.1 真值、测量值与误差的关系真值、测量值与误差的关系测量值与其频率密度测量值与其频率密度l进行进行n次测量，横坐标为测量值，纵坐次测量，横坐标为测量值，纵坐标为测得其测量值的频率标为测得其测量值的频率l误差误差x：测量值：测量值M偏离真值偏离真值A0的程度的程度0 xMA0AAl测量值的算术平均值为测量值的算术平均值为 则有限次测量中，测量值的平均值与真值则有限次测量中，测量值的平均值与真值之间的偏差之间的偏差0limnAAl当当n无穷大时无穷大时1iAMn2.2.2 几种误差的定义几种

3、误差的定义l残差：各测量值残差：各测量值Mi与平均值与平均值A的差的差,iivMA22201111nniiiiMAxnn2011niiMAnl协方差与相关系数：协方差与相关系数：两组测量值两组测量值xik和和xjk的平均值分别为的平均值分别为Ai和和Ajl方差：方差：l标准误差标准误差(标准偏差标准偏差)：方差的均方根值，表示：方差的均方根值，表示Mi偏偏离离A0的程度的程度0iv 2.2.2几种误差的定义几种误差的定义l协方差被定义为协方差被定义为211ijnX XikijkjkXAXAn2,ijijX XijXXr XX l相关系数是标准化的协方差相关系数是标准化的协方差2.2.3 测量的

4、准确度与精密度测量的准确度与精密度测量的准确度与精密度测量的准确度与精密度l精密度：测量值之间差异小的测精密度：测量值之间差异小的测量为精密测量，衡量指标为量为精密测量，衡量指标为方差方差l准确度：无数次测量得到的平均准确度：无数次测量得到的平均值与真值之间的偏差大小。即衡值与真值之间的偏差大小。即衡量指标为量指标为误差误差（a）（b）（c）2.2.3 测量的准确度与精密度测量的准确度与精密度2.3 误差原因分析误差原因分析l被检测物理模型的前提条件属理想条件，与实际检测条件被检测物理模型的前提条件属理想条件，与实际检测条件有出入；有出入；l测量器件的材料性能或制作方法不佳使检测特性随时间而测

5、量器件的材料性能或制作方法不佳使检测特性随时间而发生劣化；发生劣化；l电气、空气压、油压等动力源的噪声及容量的影响；电气、空气压、油压等动力源的噪声及容量的影响；l检测线路接头之间存在接触电势或接触电阻；检测线路接头之间存在接触电势或接触电阻；l检测系统的惯性即迟延传递特性不符合检测的目的要求，检测系统的惯性即迟延传递特性不符合检测的目的要求，因此要同时考虑系统静态特性和动态特性；因此要同时考虑系统静态特性和动态特性；2.3 误差原因分析误差原因分析l检测环境的影响，包括温度、湿度、气压、振动、辐射等；检测环境的影响，包括温度、湿度、气压、振动、辐射等；l不同采样所得测量值的差异造成的误差；不

6、同采样所得测量值的差异造成的误差；l人为的疏忽造成误读，包括个人读表偏差，知识和经验的深浅，人为的疏忽造成误读，包括个人读表偏差，知识和经验的深浅，体力及精神状态等因素；体力及精神状态等因素；l测量器件进入被测对象，破坏了所要测量的原有状态；测量器件进入被测对象，破坏了所要测量的原有状态；l被测对象本身变动大，易受外界干扰以致测量值不稳定等。被测对象本身变动大，易受外界干扰以致测量值不稳定等。按照误差的特点和性质，误差可分为按照误差的特点和性质，误差可分为系统误差系统误差 、粗大误差、随机误差粗大误差、随机误差。一、系统误差：一、系统误差： 1.1.：相同条件下多次测量同一量时，误差的大小相同

7、条件下多次测量同一量时，误差的大小和符号保持不变，和符号保持不变，或按照一定的规律变化或按照一定的规律变化。 2 2：它是由测量工具或仪器本身或对仪器它是由测量工具或仪器本身或对仪器使用不当而造成的。使用不当而造成的。 3.3.：查明原因可以消除；对测量值进行修正；查明原因可以消除；对测量值进行修正；改善测量条件；改进测量方法等。改善测量条件；改进测量方法等。2.4 误差分类误差分类二二、粗大误差、粗大误差 1.1.：相同条件下多次重复测量同一量时，相同条件下多次重复测量同一量时，明显偏离明显偏离了结果的误差了结果的误差。 2.2.：疏忽大意或不正确的观测、测量条件的：疏忽大意或不正确的观测、

8、测量条件的突然变化、仪器故障等。突然变化、仪器故障等。 3.3.：测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差的测量值称为坏值。的测量值称为坏值。可用统计方法或遵循一些准则判断某可用统计方法或遵循一些准则判断某一测量值是否为坏值，并剔除一测量值是否为坏值，并剔除。2.4 误差分类误差分类三三、随机误差、随机误差 1.：由随机因素引发，一般：由随机因素引发，一般无法排除并难以校正无法排除并难以校正的误的误差。差。 2.：是由测量过程中互相独立的、微小的偶然：是由测量过程中互相独立的、微小的偶然因素引起的。因素引起的。 3.：不能消除，也不能修正，值是随机的。：

9、不能消除，也不能修正，值是随机的。 4.：多次重复测量时，多次重复测量时，总体服从统计规律总体服从统计规律，故可以了，故可以了解它的分布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出解它的分布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出估计，是误差理论的依据。估计，是误差理论的依据。2.4 误差分类误差分类 三种误差可以互相转化三种误差可以互相转化。如尺子的分划误差，在制。如尺子的分划误差，在制造尺子时为随机误差，因为可长可短，无规律，但用它测造尺子时为随机误差，因为可长可短，无规律，但用它测量时，该误差使测量结果始终大些或小些，变成为系统误量时，该误差使测量结果始终大些或小些，变成为系统误差。差。 还

10、可根据误差产生的原因将其分成还可根据误差产生的原因将其分成设备误差、人员设备误差、人员误差、环境误差、方法误差及测量对象变化的误差误差、环境误差、方法误差及测量对象变化的误差等。正等。正确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消除，因确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消除，因此此误差分析只是随机误差的分析误差分析只是随机误差的分析。四、三类误差之间的关系四、三类误差之间的关系2.4 误差分类误差分类l主要内容：主要内容：随机误差函数性质及其表达法随机误差函数性质及其表达法误差的传递误差的传递真值和方差的估计真值和方差的估计2.5 误差分析的统计处理误差分析的统计处理2.5.1 随机误

11、差概率及概率密度函数随机误差概率及概率密度函数l误差函数的有关符号：误差函数的有关符号： yf x p xf x dx2）概率元：误差为）概率元：误差为x的概率的概率1）误差）误差x发生的概率密度：发生的概率密度：2.5.1 随机误差概率及概率密度函数随机误差概率及概率密度函数l误差函数的有关符号：误差函数的有关符号： bap axbf x dx 1pxf x dx 3）误差在）误差在a与与b之间的概率之间的概率4）检测值存在误差的概率为）检测值存在误差的概率为12.5.1 随机误差概率密度函数的性质随机误差概率密度函数的性质l测量次数增多，统计误差频率后，可发现随机误差的性质测量次数增多，统

12、计误差频率后，可发现随机误差的性质1）对称性：大小相同符号相反的误差发生的概率相同）对称性：大小相同符号相反的误差发生的概率相同2）抵偿性：由对称性可知，当测量次数趋于无穷大时，全体误差）抵偿性：由对称性可知，当测量次数趋于无穷大时，全体误差的代数和为零，即的代数和为零，即3）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差发生的概率大）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差发生的概率大4）有界性：绝对值非常大的误差基本不发生）有界性：绝对值非常大的误差基本不发生1lim0ninix2.5.1 随机误差概率密度函数的性质随机误差概率密度函数的性质l具有上述特性的随机误差的概率密度分布曲线具有上述特性的随

13、机误差的概率密度分布曲线f(x)则则应该满足如下各条件：应该满足如下各条件：1）对于所有的误差）对于所有的误差x，都有，都有f(x)0；2） f(x)为偶函数，正负对称分布；为偶函数，正负对称分布；3） x=0时时f(x)取最大值；取最大值；4）随）随x0， f(x)单调减小；单调减小；5） f(x)曲线在误差曲线在误差x较小时呈上凸，在较小时呈上凸，在x较大时呈下凸较大时呈下凸l图示为正态分布函数，表达式为图示为正态分布函数，表达式为2.5.2 正态分布函数及其特征点正态分布函数及其特征点 22212xyf xe误差法则误差法则 从检测的角度看，正态分布常用从检测的角度看，正态分布常用N(A

14、0,2) 表示。表示。A0 和和分分别为测量的真值和标准误差。设测量值别为测量的真值和标准误差。设测量值M作为随机变量，作为随机变量，它服从正态分布，则有：它服从正态分布，则有： ),(21)(202220 ANeMfAM 0AMt )1 ,0(21)(22Netft 实际数据分析中，常把实际数据分析中，常把N(A0,2) 变成标准正态分布变成标准正态分布N(0,1)处理。只需令处理。只需令使分布密度函数变为：使分布密度函数变为：2.5.2 正态分布函数及其特征正态分布函数及其特征dxxfx)(22 22)( dxxfxl算术平均误差算术平均误差 ：误差绝对值的平均值。：误差绝对值的平均值。l

15、标准误差（标准偏差标准误差（标准偏差）：是方是方差差2的平方根，它表示随机误差相的平方根，它表示随机误差相对于中心位置的离散程度对于中心位置的离散程度。2.5.2 正态分布函数及其特征正态分布函数及其特征l最大值最大值l拐点拐点 6745.05 .0)( dxxfl概率概率(或然或然)误差误差 ：随机误差：随机误差落在该范围内外的概率相等。落在该范围内外的概率相等。l极限误差：极限误差： 随机误差以给定随机误差以给定概率（通常较大）落在极限误概率（通常较大）落在极限误差的范围内。极限误差通常为差的范围内。极限误差通常为标准误差的标准误差的2倍或倍或3倍。倍。2.5.2 正态分布函数及其特征正态

16、分布函数及其特征置信区间置信区间：定义为随机变量的取值范围，用正态分布的标定义为随机变量的取值范围，用正态分布的标准误差准误差的倍数来表示，即的倍数来表示，即zz，z z叫置信系数。叫置信系数。置信概率：随机变量在置信区间置信概率：随机变量在置信区间zz内取值的概率内取值的概率。 dxezxpzzx022222l置信度置信度：把置信区间和置信概率结合起来称之为置信度，即把置信区间和置信概率结合起来称之为置信度，即可信程度。说明测量结果的可信度。可信程度。说明测量结果的可信度。l置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。 zxpzz12.5.

17、3 置信区间与置信概率置信区间与置信概率置信概率P置信区间22x)(xf置信区间、置信概率和置信区间、置信概率和置信水平置信水平之间的关系如之间的关系如图所示。置信水平越高，图所示。置信水平越高，置信概率越小，误差范置信概率越小，误差范围越小，测量的精度要围越小，测量的精度要求越高，测量的可靠性求越高，测量的可靠性越低。实际测量中，置越低。实际测量中，置信概率信概率95%95%可靠性就可以可靠性就可以了。了。问题描述问题描述：当间接检测量：当间接检测量Y与与相互独立的相互独立的直直接检测量接检测量X1,X2,有如下的函数关系：有如下的函数关系：21222y并且并且X1,X2, ,的标准方差分别

18、为的标准方差分别为 ， ，时，如何求时，如何求Y的标准方差的标准方差 ？ 求解过程由简单到一般分成了三种情况：求解过程由简单到一般分成了三种情况：21XXY 2221 Y1 1、简易情况：、简易情况：2.6.1 误差传递法则误差传递法则12(,)YXX2 2、任意线性结合的情况：、任意线性结合的情况：KXaXaXaYnn 22112222222121nnYaaa 3 3、一般情况、一般情况：假设假设Y Y与与n n个独立测量的量有函数关系。个独立测量的量有函数关系。 该式被称为该式被称为误差传递法则误差传递法则。注意：尽管在间接检测函数中有差的结合方式，但注意：尽管在间接检测函数中有差的结合方

19、式，但求标准误差的公式中方差均为和的形式。求标准误差的公式中方差均为和的形式。2.6.1 误差传递法则误差传递法则nnnnnnnAnA 所所以以：222222222122111例例1 1：一组测量值的算术平均值一组测量值的算术平均值为为 ，测量值之间相互独立，测量值之间相互独立，测量的标准误差同为测量的标准误差同为 时，求其平均值的标准误差。时，求其平均值的标准误差。 nMMMAn/)(21 ：根据误差传递公式：根据误差传递公式： 根据上式可知平均值的标准误差为根据上式可知平均值的标准误差为 。这意味着多次测量。这意味着多次测量时，取其平均值作为测量结果时，误差相对变小，可提高测量时，取其平均

20、值作为测量结果时，误差相对变小，可提高测量精度精度 倍。倍。n n2.6.1 误差传递法则误差传递法则例例2 2：用弓高弦长法间接测量圆的大直径用弓高弦长法间接测量圆的大直径D D，如图。已，如图。已知知s s和和d d，利用公式，利用公式 计算出计算出D D。求直径的标准。求直径的标准误差误差D D 。S=500mm,S=500mm,s s=0.05mm=0.05mm，d=50mm,d=50mm,d d =0.1mm =0.1mm，ddsD 42Dsd55025002 dssD解解：241504500142222 dsdDmmdDsDdsD41. 21 . 02405. 0522222222

21、 2.6.1 误差传递法则误差传递法则mmnnnppp:2121 若各种检测方法精度相同，但测量次数不同，可得：若各种检测方法精度相同，但测量次数不同，可得：权重权重权重衡量测量结果可靠程度。权重衡量测量结果可靠程度。2）加权平均）加权平均思考题：根据误差传递法则，加权平均值的标准偏差？思考题：根据误差传递法则，加权平均值的标准偏差？2.6.2 不等精度测量的加权及其误差不等精度测量的加权及其误差1）权重的大小）权重的大小：权重的大小是相对的，一般用方差的倒数权重的大小是相对的，一般用方差的倒数的比值表示。若的比值表示。若m组测量数据各自的方差分别为组测量数据各自的方差分别为则则22221,.

22、,m 22221211:1:1:mmppp 解：解：4:9:3691:41:111:1:1:232221321 ppp取取p p1 1=36, =36, p p2 2=9, =9, p p3 3=4=4 35. 149364392361 05. 13494249914936222222232222212 i3i2i1ppppppX例例：已知已知3, 3; 2, 2; 1, 1332211 XXX求加权平均值和加权标准偏差。求加权平均值和加权标准偏差。2.6.2 不等精度测量的加权及其误差不等精度测量的加权及其误差2.7 误差估计误差估计20,/AN An1iAMn 01iE AE MAn222

23、21Annl每个测量结果每个测量结果 服从服从 正态分布时正态分布时iM20,N Al平均值平均值A2.7.1 平均值的误差表示法平均值的误差表示法2.7.2 真值与标准误差的无偏估计真值与标准误差的无偏估计l数据平均值为真值数据平均值为真值A0的无偏估计：的无偏估计： 01iE AE MAn22220iiiSvMAxn AA 21E Sn21SEn21Sn残差的平方和残差的平方和l标准误差的无偏估计：标准误差的无偏估计：求期望求期望21ivn方差的无偏估计方差的无偏估计无偏标准误差无偏标准误差2.7.2 真值与标准偏差的无偏估计真值与标准偏差的无偏估计l数据平均值方差的无偏估计：数据平均值方

24、差的无偏估计：l数据平均值标准偏差的无偏估计数据平均值标准偏差的无偏估计2(1)ASn n(1)ASn n2.7.3 测量次数少的误差估计测量次数少的误差估计l误差分布为正态分布，测量次数足够多的情况下，可误差分布为正态分布，测量次数足够多的情况下，可以采用前面的误差估计方法。以采用前面的误差估计方法。l当测量次数不多时，应该用当测量次数不多时，应该用t分布等进行估计。分布等进行估计。2.8 粗大误差检验粗大误差检验l检验方法：检验方法：1) 简单检验方法：先将可疑值除外，计算简单检验方法：先将可疑值除外，计算其余数据的平均值其余数据的平均值 及及平均残差平均残差 ， 计算可疑值与计算可疑值与

25、 的残差的残差v，如果如果 则剔除。则剔除。X|ivnX| | 4vX /nvl检验原则：设置一定的置信概率，看这个可疑值的误差是检验原则：设置一定的置信概率，看这个可疑值的误差是否还在置信区间内，即剔除那些概率很低的粗大误差。否还在置信区间内，即剔除那些概率很低的粗大误差。2) 格罗布斯（格罗布斯（Grubbs）检验方法：先算出包括可疑值在内的这组数）检验方法：先算出包括可疑值在内的这组数据的平均值据的平均值 及其标准残差及其标准残差 ，若，若 ，则剔除。，则剔除。标准偏差。标准偏差。值和值和除，求剔除前后的平均除，求剔除前后的平均是否应该剔除。若要剔是否应该剔除。若要剔，试判断可疑值试判断

26、可疑值，例例：有一组测量数据：有一组测量数据 20102097332 17.561097332 X解解：3617. 51017. 5917. 5717. 5317. 5317. 521 nvi 12483.1417. 52020 Xv 487. 312 nvi 此此时时故故此此可可疑疑值值应应该该剔剔除除。 281. 6129. 72 nvXi ，剔剔除除前前： 高高。可可见见，剔剔除除后后的的精精度度要要2.8 粗大误差检验粗大误差检验2.9 测量不确定度测量不确定度l由来：由来： 测量误差客观存在，测量结果常常伴随有随机误差，造成了测量的测量误差客观存在，测量结果常常伴随有随机误差，造成了

27、测量的不确定性不确定性或或不准确性不准确性，但真值大多数情况下未知，但真值大多数情况下未知l作用：作用： 测量不确定度表示测量结果的不可信程度，测量不确定度表示测量结果的不可信程度，是仅是仅与测量结果相关联与测量结果相关联的的参数，但是不反应与测量结果与真值的接近程度参数，但是不反应与测量结果与真值的接近程度l标准化工作：标准化工作： 国家技术规范：测量不确定度的评定导则国家技术规范：测量不确定度的评定导则2.9.1 测量不确定度的表示测量不确定度的表示基于标准偏差的三种表示方法：基于标准偏差的三种表示方法：l1）标准不确定度：用标准偏差表示，）标准不确定度：用标准偏差表示，UA类评定：用统计

28、方法评定类评定：用统计方法评定 (UA)l由一系列的测量结果根据概率统计，得到测量结果的标准偏差由一系列的测量结果根据概率统计，得到测量结果的标准偏差B类评定：用非统计方法评定类评定：用非统计方法评定 (UB)l根据资料或假定的根据资料或假定的概率分布概率分布得到标准偏差值得到标准偏差值2.9.1 测量不确定度的表示测量不确定度的表示l2）合成标准不确定度）合成标准不确定度 (UC) 由各不确定度分量合成的标准不确定度。类似于间接测量由各不确定度分量合成的标准不确定度。类似于间接测量测量不确定度传递法则测量不确定度传递法则直接检测量相互独立直接检测量相互独立 U(Xi)为各分量的标准不确定度；

29、为各分量的标准不确定度； Uc(Y)为合成不确定度。为合成不确定度。直接检测量相关直接检测量相关 r为相关系数，是标准化的协方差。为相关系数，是标准化的协方差。 2221nCiiiuYuXX 2122111,nnnCiijijiij niijuYuXu X u Xr X XXXX 2.9.1 测量不确定度的表示测量不确定度的表示例子：已知压力和液位观测值，求液体密度的合成不确定度例子：已知压力和液位观测值，求液体密度的合成不确定度（见表（见表2.3） 方法一：根据不确定度传递法则，基于式方法一：根据不确定度传递法则，基于式(2-46)求合成求合成不确定度不确定度 （缺点：存在近似，且需要求相关

30、系数）（缺点：存在近似，且需要求相关系数） 方法二：根据关系式先求出每组数据对应的密度值，方法二：根据关系式先求出每组数据对应的密度值，然后然后A类标准不确定度类标准不确定度 （缺点：测量参数数目相等且一一对应）（缺点：测量参数数目相等且一一对应）2.9.1 测量不确定度的表示测量不确定度的表示l3）扩展不确定度）扩展不确定度(U) 用包含因子乘以合成标准不确定度，得到以一个区间的半宽度来表示用包含因子乘以合成标准不确定度，得到以一个区间的半宽度来表示的测量不确定度的测量不确定度其中包含因子其中包含因子 k 通常取通常取23之间的数值，决定了扩展不确定度的置信概率之间的数值，决定了扩展不确定度

31、的置信概率扩展不确定度的其它表示方法：扩展不确定度的其它表示方法：基于置信概率的表示方法：基于置信概率的表示方法： UP相对不确定度：相对不确定度：(1),rrXxUUU x,CUkuUxXUx2.9.2 测量不确定度的评定测量不确定度的评定l1）A类标准不确定度的评定方法类标准不确定度的评定方法相同条件下相同条件下，对被测量，对被测量X进行进行n次重复测量得测量值次重复测量得测量值Xi，算术平，算术平均值为均值为 总体标准偏差：总体标准偏差：实验标准偏差实验标准偏差(贝塞尔公式贝塞尔公式)：11niiXXn2011niiXXn2111niiXXn2.9.2 测量不确定度的评定方法测量不确定度

32、的评定方法l真值的最佳估计是平均值，测量结果标准偏差的最佳真值的最佳估计是平均值，测量结果标准偏差的最佳估计是实验标准偏差，自由度为估计是实验标准偏差，自由度为 ，平均值的，平均值的 标准偏差是任何单次测量结果标准偏差的标准偏差是任何单次测量结果标准偏差的 ，用，用 均值作为被测量的估计值，其标准偏差称为均值作为被测量的估计值，其标准偏差称为A类标准类标准不确定度不确定度1/n1nX2111nAiiUXXn n2.9.2 测量不确定度的评定方法测量不确定度的评定方法l2）B类标准不确定度的评定方法类标准不确定度的评定方法 依据仪器厂商的技术资料或校准证书所提供的数据进行评定，通常依据仪器厂商的

33、技术资料或校准证书所提供的数据进行评定，通常需要进行换算，且需要注意概率分布和和置信水平的判断需要进行换算，且需要注意概率分布和和置信水平的判断直接给出标准不确定度和自由度直接给出标准不确定度和自由度给出扩展不确定度和包含因子：给出扩展不确定度和包含因子：UB=U/k给出扩展不确定度和置信水平：给出扩展不确定度和置信水平：默认为正态分布，根据置信水平求出包含因子默认为正态分布，根据置信水平求出包含因子给出置信区间的上下限给出置信区间的上下限落入该区间的概率为落入该区间的概率为1，测量值满足均匀分布，测量值满足均匀分布a,b，UB=(b-a)/2*sqrt(3)2.9.2 测量不确定度的评定方法测量不确定度的评定方法l3）合成标准不确定度和扩展标准不确定度的评定方法）合成标准不确定度和扩展标准不确定度的评定方法合成标准不确定度可以按照不确定度合成法则即不确定度传递法合成标准不确定度可以按照不确定度合成法则即不确定度传递法则求得（式则求得（式2.252.27）其