(完整版)概率论基本公式

1、概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、A-B=AB=A-AB;AuB=Au(B-A)例：证明：(AuB)-B=A-AB=AB=A-B.证明：.由(AuB)-B,知B不发生，A发生，贝UAB不发生，从而(AuB)-B=A-AB成立，也即AB成立，也即A-B成立。得证。2、对偶率：AuB=AcB；cB=AuB.3、概率性率：有限可加：A、A为不相容事件，则P(AuA)二P(A)+P(A)121212P(A-B)二P(A)-P(AB),特别，BuA时有：(2)P(A-B)二P(A)-P(B);P(A)>P(B)(3)对任意两个事件有：P(AuB)二P(A)+P(B)-P(AB)例：

2、已知：P(A)=0.5,P(AB)=0.2，P(B)=0.4.求:(1)P(AB);P(A-B);P(AuB);P(AB)解:AB+AB=B,且B、AB是不相容事件，/.P(AB)+P(AB)=P(B)即尸(AB)=0.2.,又P(A)=0.5,P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,P(AB)=PAuB=1-P(AuB)=0.3.4、古典概型例：n双鞋总共2n只，分为n堆，每堆为2只，事件A每堆自成一双鞋的概率解：分堆法：C2=(2n)!，自成一双为：n!，则P(A)=2n(2n-2)!2!C22n5、条件概率P(BIA)=称为在事件A

3、条件下，事件B的条件概率，P(B)称为无条件概率。P(A)乘法公式：P(AB)二P(A)P(BIA)P(AB)二P(B)P(AIB)全概率公式:P(B)二YP(A)P(BIA)i贝叶斯公式：P(AIB)=错iiP(A)P(BIA)ii工P(A)P(BIA)jj例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，(1)求取得红球的概率；(2)如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解:设B=球取自i号罐i=1,2,3。A=取得是红球由题知B、B、B是一个完备事件i123231由全概率公式P(B)=工P(A

4、)P(BIA)，依题意，有：P(AIB)=;P(AIB)=;P(AIB)=.ii132432iP(B)=P(B)=P(B)=1，/.P(A)沁0.639.1233(2)由贝叶斯公式：P(BIA)=P(A1Bi)P(Bi)沁0.348.iP(A)6、独立事件(1)P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p,P(A)=1-p=q(0vpv1,p+q=1)相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理：b(k;n,p)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2)事件

5、A首次发生概率为：P(1P)k-1例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,(1) 进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：(1)设B=“5次独立试验发出指示信号”，则由题意有：P(B)=工Ckpk(1-p)5-k，代入数据得：P(B)=0.1635i=3(2) 设C=“7次独立试验发出指示信号”，则由题意有：P(C)=工Ckpk(1-p)7-k=1-昱Ckpk(1-p)n-k，代入数据，得:P(C)=0.35377i=3i=0第二章7、常用离散型分布(1)两点分布：若一个随机变量X只有两

6、个可能的取值，且其分布为：PX=x=p;PX=x=1-p(0vpv1)则称X服从x、x处参数为p的两点分布。1212特别地若X服从x1=1x2=0处参数为p的两点分布即:则称X服从参数为01分布。其中期望E(X)=p,D(X)=p(1-p)(2)二项分布：若一个随机变量X的概率分布由PX=k=Ckpk(1-p)n-kn(k=0,l,2)给出，则称X服从参数为n,p的二项分布，记为：Xb(n,p)(或B(n,p)其中工PX=k=1，当n=1时变为：PX=k=pk(1-p)1-k(k=0,1),此时为01k=o分布。其期望E(X)=np,方差D(X)=n(1-p)尢k代(3)泊松分布：若一个随机变

7、量X概率分布为：PX=k=e-九,九0,k=0,1,2k!则称X服从参数为九的泊松分布，记为：Xp(九)(或&兀(九)，其中另PX=k=1，k=0九称为泊松流强度。泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为P，如果nTa时，nnPT九(九0的常数)，则对任意给定的k，n有limb(k;n,p)=limCkpk(I-p)z=e-九，这表明，当n很大时，p接近0或1nnnk!nsnTs九k时，有Ckpk(1-p)n-kue-九(九=np)。nnnk!其期望方差相等，即：E(X)=D(X)=九。8、常用连续型分布f(x)=1/(-)ox<b(1) 均匀分布：若连续随机

8、变量x的概率密度为0,其他则称X在区间j+生f(x)dx1(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b)。其中丿'丿，分布函数为：-a0,x<aF(x)=<(x一a)/(b一a),a<x<b.1,x>b.a+b(b-a)2其期望E(X)=-，方差D(X)=12。门、险张,x>0f(x)=1八，九>0(2) 指数分布：若随机变量的概率为°,其他，则称X服从参数为九的指数分布，简记为Xe(九).其分布函数:1-e-人,x>00,其他，311其期望E(X)二厂力差D(X)=-九九2(3)正态分布：若随机变量X的概率密度为f(X)_(x-

9、卩)2e272，xxv+s,则称x服从参数为卩和2的正态分布，记为XN(U,72),其中卩和7(70)都是常数。分布函数为：1(卩)2F(x)二IVXV+oQJ27p当卩=o,7=1日寸,称为标准正态分布，概率密度函数为：1辺1_t22，分布函数为：(x)=2=iXe2dt2itg定理：设XN(卩Q2),则Y=匸上N(0,1)7其期望E(X)=u,D(X)=72。9、随机变量函数的分布(1)离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值y.(i=1,2,)来确定Y的概率分布。(2)连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数

10、F(x)或者概率密度f(x),则XX随机变量Y=g(X)的分布函数F(y)二PY<y二Pg(X)<y二PXg,其中厂l()<F(y)=PXgC=If(x)dx砧八C=xIg(x)<y,yyX，进而可通过Y的分yCCy布函数Fy(y)，求出Y的密度函数。例：设随机变量X的密度函数为f(x)=XJlIxI,1vxV10,其他求随机变量Y二X2+1的分布函数和密度函数。X5解：设F(y)和/(y)分别是随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则由-1<x<1得：YY1<y<2,那么当y<1时F(y)=PY<y=PX2+1<y=P3)=0,

11、当1<y<2时，得：Y(y)=PY<y=PX2+1<y=P口<X<七口=L匕(1Ixl)dx=J0_(1+力"+Yy1y10(1x)dx=2*y1(y1),当y>2时,fy(y)=PY<y=Px2+1<y=J10dx+J1(1IXI)dx+卜0dx=1,所以,11_0,y<1F(y)=y-1(y-1),1<y<2,1,yn21,1<y<2：y10,其他10设随机变量XN(卩Q2),Y=aX+b也服从正态分布.即Y=aX+bN(ap+b,(ac)2)。11、联合概率分布(1)离散型联合分布：HP-1ij

12、ijy1yjPX=xip1jXPx1p11j1jxPPXPi订ij/(/PY=y.jXP订XPij1ii(2)连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量(X,Y)的密度函数f(X,y)=p(X+y),0<X<2,0<y<20,其他求f(x),f(y),E(X),E(Y),cov(X,Y)，p打D(X+Y).解：当0WxW2时由fX(x)二Jx1/8(x+y)dy，得0f(x)=1/8x2+1/4x，当x<0X或x>2时，J00dy+卜a20dy=0，所以,f(X)=1/8x2+1/4x,0<x<2X0,其他f(V)=1/8y2+1/4y,0<

13、y<2同理可求得:Y0，其他E(X)=J2xf(x)dx二7/6,由对称性同理可求得,E(Y)=7/6。0X因为E(XY)=xyf(x,y)dxdy二J2l/8x/(x+y)dxdy二4/3.0所以，cov(X,Y)=E(XY)-玖X)E(Y)=4/3-(7/6)2=-1/36。D(X)=E(X2)-E(X)2=J2J2x2f(x，y)dxdy(；)2=110063611cov(X,Y)1同理得D(Y)二，所以，P=36XYJD(X)D(Y)115D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=912、条件分布/(X|A)=PXX|A=,称尸(x|A)为在A发生条件下'X的

14、条件分布函数13、随机变量的独立性：由条件分布设A=YWy,且PYWy>0,则：F(x|Y'y=%护=阳，设随机变量(X'Y)的联合分布概率为(xy)，边缘分布概率为F(x)、F(y)，若对于任意x、y有：XYPX<x,Y<y=PX<xPY<y，即:F(x,y)=F(x)F(y)，则称X和Y独立。XY14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),边缘概率密度函数为f(x)、f(y)，则对于一切使f(x)>0的x,定义在X=x的条件下YXYX的条件密度函数为：f(y|x)=f(x；，同理得到定义在Y

15、=y条件下X的条件概率密Y|Xf(x)X度函数为：几(x>y)=，若f(x,y)=fX("(y)几乎处处成立，则称X'Y相互Y独立。例：设二维随机变量(Xf(x,y)ce(2x+y),x>0,y>00,其它Y)的概率密度函数为：求(1)确定常数c；(2)X,Y的边缘概率密度函数；(3)联合分布函数F(x,y);(4)PYWX;(5)条件概率密度函数f|(x|y)；(6)PX<2|Y<1X|Y解:由J"J"f(x,y)dxdy=卜卜ce-(2x+y)dxdy=c卜e-2xdx=c=1,.c=2000002(2)由c=2得到：f(

16、x,y)=2""y>0，贝y：当x>0时，f(x)=J+®2e-(2x+y)dy=2e-2xI0,其它X0蔦其它S>0时，fY(y)t2dx=e-y7(y)=f0其它0(3)当x>0,y>0时，F(x,y)=JxJy2e-(2x+y)dxdy=Jx(2e-2x一2e-(2x-y)dx=(1-e-2x)(1-e-y)000当x<0,y<0时，F(x,y)=MOdxdy=0,F(x,y)=|(1-”心)(1一丁厂>y>000I0,其它(4) PY<X=J+8Jx2e-(2x+y)dxdy=卜(2e-2x-2e

17、-3xdx=丄；0003(5) 当x>0,y>0时，f(xIy)=f:)=2e一2x，/.f(xIy)=电"；二°'y>0.X|Yf(y)X|YI0，其它(6)F(y)=Jye-ydy=1-e-yY0PX<2IY<1=PX<2'Y<1=空=1-e-4.PY<1F(1)YY15、数学期望：(1)离散型：E(X)仝xpiii=1(2)连续型：E(X)=J+Wxf(x)dx，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机-3变量都有数学期望。数学期望的性质：E(CX)=CE(X)E(X+X)=E(X)+E(X)设X,

18、Y独立，1212贝E(XY)=E(X)E(Y).例：10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E(X)(设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立)附:二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果:A和A,且P(A)=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则Xb(n,p),若记X为第i次试验中结果A出现的次数,i即:X=|1第次试验A出现i0,第i次试验A不出现其中：X=X+X+X12i|1,第i号房间有人；.解：引入随机变門讣，第】号房间没人；=1，2,3,15易知X=X+X+X1215由

19、题意，任意房间没有人的概率为15，则10个人都不在第i号房间的概率为：(罟)0,那么在第i号房间有人的概率为1-(善)0，即：1414，15Px=0=()10,Px=1=1-(一)io,i=1,2,3,i15i1514E(x)=1-(一)0,i=1,2,3,15.i1514E(X)=E(X+X+X)=E(X)+E(X)+E(X)=151-()io沁7.4812151151516、方差：(1)D(X)二EX-E(X)2二E(X2)-E(X)2(2)方差性质:D(CX)=C2D(X);若X.Y相互独立，则:D(X土Y)=D(X)+D(Y)17、协方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E

20、(Y)特另X,Y独立时，有：cov(X,Y)=0.(2)协方差性质：cov(X,X)=D(X);cov(aX,bY)=abcov(X,Y);cov(C,Y)=0;cov(X+X,Y)=cov(X,Y)+cov(X，Y)随机变量和的方差与协方差的关系1212D(X土Y)=D(X)+D(Y)土2cov(X,Y).cov(X,Y)相关系数Pv=，性质：1PV1;若X和Y相互独立，则P=0，XY寸D(X)D(Y)XYXY即X和Y不相关。若D(X)>0，D(Y)>0，则当且仅当存在常数a，b(a丰0)，使：PY=aX+b=1时，丨p|=1，而且a>0时，p=1；当a<0时，p=-

21、1.XYXYXYp=0时，只能说明Y与X之间不是线性关系，但可能有其他函数关系，附注：XY附从而不能推注Y与X独立。设e=EY-(aX+b)2,称为用aX+b来近似Y的均方差，贝V：设D(X)>0，D(Y)>0，有:cov(X,Y)a=,b=E(Y)-aE(X),使均方误差达到最小。0D(X)0018、切比雪夫不等式:设随机变量X的期望E(X)=u,方差D(X)=b2,则对于给定任意正数e,CJ2讥b2有：P|X-卩|>8<，或者为：P|X-卩|<e>1-.e2e219、大数定理：设随机变量X,X,X相互独立，且具有相同的期望和方差：12nE(X)二卩,D(

22、X)=2，i=1,2,3，记Y二-EX，则对于任意£>0,有：iinnii=1limpiy-卩i<£=1,推论limpi2-pi<£=i(其中n为n重伯努利中nnA20、中nsnsA发生的次数，p为概率。心极限定理；(1)设随机变量X,X,X相互独立，服从同一分布，且12nE(X)=卩,D(X)=2，i=1,2,3，贝9：ii瓦X,-n卩1EXlimP亠<x=Jxe-t2/2dt一个结论：4N(0,1)ng°、n-8,-2兀b£n(2)棣莫佛一拉普拉斯定理：设随机变量X,X,X相互独立，并且都服从参数为p12nEX-np

23、1的两点分布，则对任意实数X,有：limPt<x=Jxe-t2/2dt=0(x)gn*"P(1P)-八N第二部分数理统计21、由于样本方差(或样本标准差)很好的反应总体方差(或标准差)的信息，因此，当方差b2未知时，常用S2去估计，而总体标准差b则常用样本标准差S去估计。22、常用统计分布(1)分位数：设随机变量X的分布函数F(X),对给定的实数a(0<a<1),若实数F满足PX>F=a,则称F为随机变量X分布的水平a的上侧分位数,aaa若实数T满足P|X|>T=a,则称T为随机变量X分布的a的双侧分位数。a、2a、2a、2X2分布：设X,X,.X是取自

24、总体N(0,1)的样本，称统计量12nX2=X2+X2+.+X2服从自由度为n的X2分布。E(X2)=n,D(X2)=2n，12nXt分布XN(0,1),Yx2(n),且X和Y相互独立，则称T=V'Y/n服从自由度为n的t分布。(4)F分布：设XX2(m),YX2(n),且X与Y相互独立，则称F=X/m=兰Y/nmY22、服从自由度为(m,n)的F分布，记：FF(m,n)抽样分布A、单正态总体抽样分布(1)设总体XN(，°2),X，X，.X是取自X的一个样本，1,2n9X为该样本的样本均值，则有：XN(卩，c2/n);U=N(0,1)c/Qn设总体XN(卩，c2),X,X,.

25、X是取自X的一个样本,X与S2分别是该样本均值1,2nn1和样本方差，则有：X2二S2咒2(n1);X与S2相互独立。c2设总体XN(卩，c2),X，X，.X是取自X的一个样本,X与S2分别是该样本1,2n均值和样本方差，则有：X2=丄Y(X卩)2-X2(n);T=兰二匕t(n1).c2iS/Jni=1B、双正态总体抽样分布：(n-1)S2+(n-1)S2则(1、口(X-Y)(卩-卩)M(01)S2=112则U=土2N(0,1)wn+n一2c2/n+c2/n12'1122丄F(n1,n1);当c2=c2=c2时，T=""i2t(n+n2)S21212Sj1/n+2/

26、n122w12fc)2匕1丿23、参数估计点估计：设X，X，.X是取自X的一个样本，x,x,x是相应的一组样本值,1,2n12ne是总体分布的未知参数，为估计未知参数e,需要构造一个适当的:e(x,x,x)，然后观察值：e(x,x,x)来估计e，e(x,x,x)称为12n12n12ne的估计量，e(x,x,.x)称为e的估计值，估计量和估计值统称为点估计。12n设e(x,x,.x)是未知参数e的估计量，若e()=e，则称介为e的无偏估计量，12n设X，X，.X是取自X的样本，总体X的均值为卩，方差为c2，贝y：1,2n样本均值X是卩的无偏估计量，样本方差S2是c2的无偏估计量，样本二阶中心矩(

27、XX)2是c2的无偏估计量。nii=124、点估计常用方法(1)矩估计法：先求E(X)，得到一个E(X)与未知参数的式子，用E(X)表示未知参数，再把E(X)用乂代替即可。例：已知总体X的概率分布为PX=k=Ck(1e)ke2-k,k=0,1,2,求参数e的矩估计。解：E(X)=YxPX=k=0x02+1x2(1-0)0+2(1-0)2=2-20,0=1-i2i=1X用样本均值X代替E(X)得到0的矩估计为：=1-(2)最大似然估计：一般方法：a、写出最大似然函数L(x,x,x;0)；b令d(°)=0或dI：?0)=0,求出驻点；、判断并求出最大12nd0d0值点,在最大值点得表达式