朱慈勉结构力学 第五章 虚功原理及结构位移计算1

1、第五章 本章是静定结构静定结构与超静定结构超静定结构的联结部分，一方面有相对的独立性，另一方面又是学习超静定结构的基础。本章的理论基础是虚功原理虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用。变形与变形能变形与变形能材料力学知识材料力学知识：拉压变形（应变）：拉压变形（应变）：llEAF N 弯曲变形（曲率）：弯曲变形（曲率）：1EIM剪切变形（剪切角均值）：剪切变形（剪切角均值）：GAFkQ扭转变形（扭转角）：扭转变形（扭转角）：PGIMZ 结构位移计算概述结构位移计算概述a）验算结构的刚度；）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础；）为超静定结构的内力分析打基础；c）建筑起拱。）建筑起

2、拱。 -t+t不产生内力，产不产生内力，产生变形产生位移生变形产生位移b）温度改变和材料胀缩；）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差）支座沉降和制造误差不产生内力和变不产生内力和变形产生刚体移动形产生刚体移动位移是几何量，自然可用几何法来求，位移是几何量，自然可用几何法来求，但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。但最好的方法是虚功法。其理论基础是虚功原理。a）荷载作用；）荷载作用；2 2、产生位移的主要原因：、产生位移的主要原因： 计算位移时，常假定：计算位移时，常假定：1）=E；2）小变形。即：小变形。即：线弹线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。性体系。荷载与位移

3、成正比，计算位移可用叠加原理。1 1、计算位移目的、计算位移目的：举例,M Q N l/l 22d wdx如屋架在竖向荷如屋架在竖向荷载作用下，下弦载作用下，下弦各结点产生虚线各结点产生虚线所示位移。所示位移。将各下弦杆做将各下弦杆做得比实际长度得比实际长度短些，拼装后短些，拼装后下弦向上起拱。下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。建筑起拱建筑起拱返回返回虚功原理虚功原理荷载由零增大到荷载由零增大到P P1 1，其作用点，其作用点的位移也由零增大到的位移也由零增大到1111，对，对线弹性体系线弹性体系P P与与成正比。成正

4、比。元功元功 dT=Pd在在12过程中，过程中，P1的值不变，的值不变，12与与P1无关无关PP111dTOAB一、静力加载过程一、静力加载过程11111/2QABTdTSPT =P 12121PP112OAB 二、实功与虚功二、实功与虚功 实功：实功：是力在自身引起的位移上所作的功。是力在自身引起的位移上所作的功。 实功恒为正。实功恒为正。 虚功：虚功：是力在其它原因产生的位移上作的功。是力在其它原因产生的位移上作的功。 如力与位移同向，虚功为正，如力与位移同向，虚功为正， 如力与位移反向，虚功为负如力与位移反向，虚功为负kj位移发生的位置位移发生的位置产生位移的原因产生位移的原因三、广义力

5、与广义位移三、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S S；与位有关的因素，称为广义位移；与位有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：系是：它们的乘积是虚功。即：T=ST=ST =P /211111T =P 12121P广义力广义力广义位移广义位移单个力单个力力作用点沿力作用方向上的线位移力作用点沿力作用方向上的线位移单个力偶单个力偶力偶作用截面的转角力偶作用截面的转角等值反向共线的一对力等值反向共线的一对力两力作用点间距的改变，即两力两力作用点间距的改变

6、，即两力作用点的相对位移作用点的相对位移一对等值反向的力偶一对等值反向的力偶两力偶作用截面的相对转角两力偶作用截面的相对转角mPPttABBAT=PA+PB=P（ A+B） =PABmm A BT=m A+m B=m（ A+ B）=m 虚功原理的应用虚功原理的应用1）需设位移求未知力（虚位移原理）需设位移求未知力（虚位移原理）2）需设力系求位移（虚力原理）需设力系求位移（虚力原理） 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。四、刚体虚功原理四、刚体虚功原理5

7、-1 应用虚力原理求刚体体系的位移 目的：目的：理解虚功原理在位移计算中的应用虚力原理，能利用单位荷载法正确的计算静定结构在支座移动下的位移。1、 推导位移计算一般公式的基本思路支座移动引起的位移局部变形引起的位移刚体体系的虚力原理整体变形引起的位移叠加原理结构位移计算的一般公式整 零已知1c求由虚功方程设虚力状态如图所示，根据平衡条件110bR aP bRa 1110R c1cab得：结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力，利用虚力原理列出虚功方程进行求解。由于在所求位移处设置单位荷载，这种解法又称为单位荷载法。如图所示的静定粱，支座A向上移动了一个已知距离c1,现在求B

8、处的位移。abABC1c?P=1ABCab1R4 支座移动时静定结构的位移计算静定结构中支座移动并不引起内力及应变，其位移计算属刚体体系的位移计算问题，可用刚体体系的虚功原理求解。单位位移法：虚设拟求力的对偶位移，如单位线位移、单位 转角位移 单位荷载法：虚设拟求位移的对偶荷载，如单位竖向荷载、 单位力偶荷载 （1）C点的竖向位移点的竖向位移c（2）杆）杆CD的转角的转角l3l 23lABCDABCD11343ABCD112ll2l 23例：已知位移例：已知位移cA求求:cAc 11103cAc Acc31 02112AclAcl 21 所得正号表明位移方所得正号表明位移方向与假设的单位力方向

9、向与假设的单位力方向一致。一致。求解步求解步骤骤（1）沿所求位移方向加单位荷载，求出虚支反力；）沿所求位移方向加单位荷载，求出虚支反力；（3）解方程得）解方程得kkcR 定出方向。定出方向。（2）建立虚功方程）建立虚功方程01kkcR例题例题三铰刚架，支座三铰刚架，支座B B发生如图所示的位移发生如图所示的位移: :a=5cm, b=3cm, l=6m, h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角求由此而引起的左支座处杆端截面的转角 A。解：解：在要求位移方向上加单位力（图在要求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移），求出支座反力后依求位移公式计算位移：公式计算位移：（图（图

10、1）（图（图2）KAKRC )05. 0101()03. 061( ).(01. 0 rad5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算一般属于变形体体系的位移计算问题，仍采用虚功法。推导位移计算公式的两种途径由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导局部到整体。1 局部变形时静定结构的位移计算举例局部变形时静定结构的位移计算举例设静定结构的某微段出现局部变形，微段两端截面发生相对位移，其余部分仍为刚体。aaBAdmdBAaamii 例1、图示悬臂梁在B处两个相邻截面产生相对转角相对转角d，试求A点在ii方向的位移 。m铰铰B实际位移状态刚体体系位移状态5-2 结构位移计算的一般公式1aaAB

11、MaMsin1虚功方程：虚功方程：01dMm由虚设单位力1，得：dMmBAiiBAQdQ1AQsin1Q01dQQdQQ例2、图示悬臂梁在B处两个相邻截面产生相对剪位移相对剪位移d，试求A点在ii方向的位移Q 。定向支座定向支座 例3、图示悬臂梁在B截面产生轴向位移d ，试求A点在方向的位移NBABAii NNBA 1NN由平衡条件：由平衡条件：cos1N虚功方程：虚功方程：01dNNdNN 当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三者的叠加，有：即是三者的叠加，有：dNdQdMNQMd5-2 结构位移计算的一般公式2 局部

12、变形时的位移计算公式局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsdddRii ddsddsddR0dsR10（1）三种变形：）三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds为变形体，分析局部变形所引起的位移。为变形体，分析局部变形所引起的位移。5-2 结构位移计算的一般公式dsRdsddsd0dds（2）微段两端相对位移：）微段两端相对位移：BRdsdddiid 1Q,N,M续基本思路：续基本思路：设设ds0，将微段变，将微段变形集中化，以截面形集中化，以截面B左右两端的相对左右两端的相对位移的形式出现，位移的形式出现，即刚体位移即刚体位移，于是，于是可以利用刚体虚功原理求位移。可以利

13、用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移）应用刚体虚功原理求位移d 即前例的结论。即前例的结论。MNQdMdNdQd 或或0()dMNQds B5-2 结构位移计算的一般公式3 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式ii0()dMNQds 由叠加原理，一根杆件各个微段变形引起的位移总和：由叠加原理，一根杆件各个微段变形引起的位移总和：0()dMNQds 如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：0()MNQds若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：0()kkMNQdsR c

14、5-2 结构位移计算的一般公式对杆长积分对各杆求和力的叠加原理力的叠加原理变形的叠加原理变形的叠加原理 ？内虚功内虚功Wi0()kkMNQdsR c 适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。5-2 结构位移计算的一般公式4 位移计算的一般步骤位移计算的一般步骤:1c2c1t2tKK 11R2R实际变形状态虚力状态0()kkMNQdsR c (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位荷载

15、；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位荷载；(2) 求虚力状态下的内力及支反力求虚力状态下的内力及支反力.kM N Q R;(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。kR.Q.N.M5-2 结构位移计算的一般公式5-2 结构位移计算的一般公式5 广义位移的计算广义位移的计算拟求位移可引申为广义位移广义位移，线位移、角位移及相对位移。与广义位移相共轭的为广义单位荷载广义单位荷载F。（课本表（课本表5-1示例）示例）广义荷载和广义位移互为共轭指广义荷载在广义位移上所作的功：广义荷载和广义位移互为共轭指广义荷载在广义位移上所作的功： W=F 5-3 荷载

16、作用下的位移计算研究对象：静定结构、弹性材料。研究对象：静定结构、弹性材料。重点在于解决由荷载引起的应变重点在于解决由荷载引起的应变 的表达式的表达式,计算顺序为计算顺序为荷载荷载内力内力应力应力应变应变0、 、0()kkMNQdsR c 1 计算步骤计算步骤（1）根据荷载）根据荷载P计算各截面的计算各截面的PPPQ.N.M（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知0PPPMNQkEIEAGAk-为截面形状系数为截面形状系数1.29101AA(3) 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式dsGAQQkdsEANNdsEIMMPPP5-

17、3 荷载作用下的位移计算内力正负号规定： 轴力拉力为正 剪力微段顺时转动为正 弯矩乘积 的正负号。 使杆件同侧受拉乘积为正PMMPMM与2 2 各类结构的位移计算公式各类结构的位移计算公式（1 1）梁与刚架）梁与刚架dsEIMMP（2 2）桁架）桁架EAlNNdsEANNdsEANNPPP（3 3）拱）拱dsEANNdsEIMMPP5-3 荷载作用下的位移计算5-3 荷载作用下的位移计算3 3 截面平均切应变截面平均切应变 和系数和系数0k0()QNddMs 剪切变形虚功0ddiQWQs0diQW若已知可diQW 如何求？课本p1385-3 荷载作用下的位移计算举例1. 梁的位移计算梁的位移计

18、算 试计算悬臂梁试计算悬臂梁A点的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切变形点的竖向位移，并比较弯曲变形与剪切变形对位移的影响对位移的影响q2l2lACB(a) 实际状态实际状态xP=1ACB2l2l(b) 虚设状态虚设状态AC段段2lx0CB段段lx2l0NP0QP0NP0MP0NxM1Q2P2lx2qM2lxqQPxEIC1）列出两种状态的内力方程：）列出两种状态的内力方程：AB段段0 xl5-3 荷载作用下的位移计算举例2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段段2lx0在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段段

19、lx2lllPP2l2ldxGAQQkdxEIMMl2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44 l2lPQ2l2lGA20ql3GAdx2lxq12 . 1dxGAQQkGA20ql3EI384ql724QM设梁为矩形截面设梁为矩形截面 k=1.25-3 荷载作用下的位移计算举例3）讨论）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。24223. 83847203GAlEIEIqlGAqlMQ设材料的泊松比设材料的泊松比 , 由材料力学公式由材料力学公式 。 1382 13EG设矩形截面的宽度为设矩形截面的宽度为b、高

20、度为、高度为h，则有，则有,12bhI ,bhA3代入上式代入上式22283. 11213823. 823. 8lhlhGAlEIMQ%32. 7,51%;83. 1,101MQMQlhlh时当时当2. 桁架的位移计算桁架的位移计算5-3 荷载作用下的位移计算举例2P2PPm/NqP4qlP 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5N2P2P0.25l0.25l0.222l0.278lADCEFGB1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5NEAlNNPCADDCDE材料杆件PNNlAEAlNNPEAlNNP钢筋砼钢筋CEAEEGccAEPl97. 1ccAEPl81. 3ssAEPl63. 0ssAEPl13. 1ssccCEAEAPl13. 181. 32ABCDEFGP74