二项式定理(1)教学设计

1、江苏省西亭高级中学“学讲练探”课堂教学模式教学设计学科：高二数学1.5.1二项式定理(1)学习目标：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。课前导学：1. 在n=1,2,3,4 时，研究(a+b)n的展开式.(a+b) 1=,(a+b)2二，(a+b)3二，(a+b)4二.猜想(a+b) n = ?【数学构建】C：an +cnan* +C；an'b2 + +cnanb+C：bn(a+b) n =这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a+b) n的，其中cn(r=0,1,2, , ,n )叫做，叫做二项展开式的通项，它是展开式的第

2、项，展开式共有个项.【合作探究】/ 1彳 例1求严x+真丿的展开式.【解】 法一：直接利用二项式定理展开并化简:2 x ：= C°(2x)41x+ c1(2x)31x+C4(2x)21x + c4(2 x)° 2+ C4(2 x)法二:8 1=16x2+32x+ 24+ x+ x22 厂+ 1$2* x的展开式.2仮+丄=心4 =如+ 1)4=C0(2x)41° + C4(2x)311 + C：(2x)212 + C4(2x)113 + C4(2x)°14=1(16x4+ 32x3 + 24x2 + 8x + 1)=16x2 + 32x + 24+8+

3、1x x问题探究1 .算式 1 4(x-1)6(x-1)2 4(x-1)3(x-1)4 等于 x4 .2.求证:32n 心32心 C：32z (：32 心乜2 1=10n3 已知 C + 2Cn + 22c2 +, 2ncn= 729,求 U+C2+ , + C：.解：逆用二项式定理得C0+ 2Cn + 22c2 + , + 2ncn = (1 + 2)n= 3n= 729, 即 n= 6,所以 cn+C2+, + Cn=c6+c6+, + c：=26 - C0=64 -1 = 63.展开(1 2x)4(1 2x)4= C014(2x)° +C；13(2x)1 +C：12(2x)2

4、+C：11(2x)3 +C：1°(2x)4234=1 8x 24 x 32 x 16x思考1.第三项的二项式系数是多少？思考2 .第三项的系数是多少?注意：二项式系数与项的系数是两个不同概念.求二项式系数与某项的系数例2求(1+2x)7的展开式中第4项的二项式系数；第4项的系数；含x3的项的系数.(1 2x)7+c7(2xV +C；(2x)2 +C；(2x)3+C；(2x)4 + C；(2x)7【变式】(1)若(2 + x)n的展开式中第三项的二项式系数为 3,求n的值；(2)若在(1 + ax)5的展开式中x3的系数为一80,求a的值.解(1)(2 + x)n的展开式中第三项的二项

5、式系数为C2，由C2 = 3,得 2= 3, 即卩 n2 n 6 = 0,解之得n = 3或n= 2(舍去).(2)在二项展开式中通项公式为：T-+1 = C5(ax)r = C5arx，令 r = 3,得 x3 的系数为 C5a3,由 c5a? = 80,得 a = 2.变式2: (1)写出(x3+2x) 9的展开式的第k项(kk< 10, k nJ ；(2)写出(1-2 x) 6的展开式中含x2的项;求T如展开式中x3的系数.三、求二项式的特定项方法感悟例3求（嗨）6的二项展开式中的常数项（用数字作答）根据通项公式1，对r进行待定.通项公式的主要作用是用来求展开式中的特 定项.求二项

6、展开式的特定项常见题型有：（1）求第k项，Tk= C,k+悅1;求含xr的项（或xpyq的项）；（3）求常数项；（4）求有理项.练习：1、求（VX X）9展开式中的有理项.2、(x 1 ) 8展开式中x5的系数为解：设展开式的第r+1项为彳8 3rr1 =C 8 X8 r(：)r= ( 1) rC8X ".令8斗=5得r=2时，x5的系数为(1) 2 C 8 =28.1. 记准、记熟二项式(a +b)n的展开式，是解答与二项式定理有关问题的前提 条件.对复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.2. 在二项式定理中，展开式的通项公式是一个核心内容，是高考命题的一个重要着眼点；由通项公式求展开式中的特定项是高考中比较固定的一种题型.解题中对展开式中的“项”、“项的系数”、“二项式系数”，指数运算法则、组合数的 计算、项的符号等这些细节中的任何一个都要注意，不能出错.3. 对于幕指数未知的二项式，求特定项的问题时，一般应由题设先求出n的值， 然后再求特定项.在求特定项时，往往利用通项将问题转化为解方程或不等式 (组) 来求出k的值.【课堂练习】1、用二项式定理展开（1 X）5.2、（x2y）7的展开式中第3项的二项式系数是.3、（x1）10的展开式中第6项的系数是.4、（x -1）6的展开式中的常