第二章 符号计算

1、1 第二章第二章 符号计算符号计算2 MATLAB 不仅具有数值运算功能，还开发不仅具有数值运算功能，还开发了在了在MATLAB环境下实现符号计算的工具包环境下实现符号计算的工具包Symbolic Math Toolbox，安装时选择此工具安装时选择此工具包才能使用符号计算功能包才能使用符号计算功能。 在在MATLAB中，数值和数值变量用于数值的中，数值和数值变量用于数值的存储和各种数值计算，而存储和各种数值计算，而符号常数、符号变符号常数、符号变量、符号函数、符号表达式量、符号函数、符号表达式（符号数学表达（符号数学表达式、符号方程和符号矩阵），严格按照代数、式、符号方程和符号矩阵），严格按

2、照代数、微积分等课程中的规则、公式进行运算，并微积分等课程中的规则、公式进行运算，并尽可能给出解析表达式结果。尽可能给出解析表达式结果。 解算数学表达式、方程时，不是在离散解算数学表达式、方程时，不是在离散化的数值点上进行，而是凭借一系列恒化的数值点上进行，而是凭借一系列恒等式和数学定理，通过推理和演绎，获等式和数学定理，通过推理和演绎，获得解析结果。得解析结果。符号计算建立在数值完全准确表达和推符号计算建立在数值完全准确表达和推演严格解析的基础之上，因此所得结果演严格解析的基础之上，因此所得结果是完全准确的。是完全准确的。4 例：例： solve(a*x2+b*x+c=0)ans = -(b

3、 + (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a) -(b - (b2 - 4*a*c)(1/2)/(2*a) 例：例： solve(x2+2*x+2=0)ans = - i - 1 i - 1符号运算的功能符号运算的功能 符号表达式、符号矩阵的创建符号表达式、符号矩阵的创建 符号线性代数符号线性代数 因式分解、展开和简化因式分解、展开和简化 符号代数方程求解符号代数方程求解 符号积分符号积分 符号微分方程符号微分方程 运算对象可以是没赋值的符号变量运算对象可以是没赋值的符号变量 可以获得任意精度的解可以获得任意精度的解 符号运算的特点符号运算的特点7举例举例:计算计算22cos ( ) s

4、in ( )xx8 数值运算中必须先对变量赋值数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。然后才能参与运算。 符号运算无须事先对独立变量符号运算无须事先对独立变量赋值赋值，运算结果以标准的符号形式，运算结果以标准的符号形式表达。表达。9 数值计算是先给出求解区间上的离散点，然后在数值计算是先给出求解区间上的离散点，然后在离散点上计算结果，计算的结果在该点上是准确的。离散点上计算结果，计算的结果在该点上是准确的。但是在处理导数，极限等问题时遇到问题。例如但是在处理导数，极限等问题时遇到问题。例如sin(x)/x。 符号计算建立在公式化简，恒等式代换，数学定符号计算建立在公式化简，恒等式代换，数

5、学定理运用上，最终求出来符号解理运用上，最终求出来符号解(可以是公式也可以是可以是公式也可以是数值数值)。求出的结果准确可信。求出的结果准确可信。2.1 符号对象和符号表达式符号对象和符号表达式 基本符号对象：数字，参数，变量，表达式。基本符号对象：数字，参数，变量，表达式。 凡进行过数值计算的人都知道：数值表达式所用凡进行过数值计算的人都知道：数值表达式所用的变量必须事先被赋过值，否则该表达式无法计的变量必须事先被赋过值，否则该表达式无法计算。算。 Symbolic Math Toolbox 沿用数值计算的这种模式，沿用数值计算的这种模式，规定规定：在进行符号计算时，首先要定义基本的符：在进

6、行符号计算时，首先要定义基本的符号对象，然后利用这些基本符号对象去构成新的号对象，然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式，进而从事所需的符号运算。表达式，进而从事所需的符号运算。11生成符号对象的基本规则生成符号对象的基本规则: 任何基本符号对象都必须借助专门的任何基本符号对象都必须借助专门的符号符号函数命令函数命令sym或或syms定义。定义。 在运算中，凡是由包含符号对象的表达式在运算中，凡是由包含符号对象的表达式所生成的衍生对象也都是符号对象。所生成的衍生对象也都是符号对象。2.1.1 符号对象的创建和衍生符号对象的创建和衍生定义格式如下定义格式如下: sym(Num) %创建一个符号

7、数字创建一个符号数字Num sc=sym(Num) %创建一个符号常数创建一个符号常数sc，该常数值准确，该常数值准确 %等于等于Num说明说明: 其中其中Num代表一个具体的数字。代表一个具体的数字。 Num必须处于（英文状态下的）单引号内。必须处于（英文状态下的）单引号内。 数值常量作为函数命令数值常量作为函数命令sym()的输入参量，就建立了一的输入参量，就建立了一个符号常量，看上去的一个数值量，但它已是一个符个符号常量，看上去的一个数值量，但它已是一个符号对象。号对象。 符号数字符号数字13a=pi+sqrt(5)sa=sym(pi+sqrt(5)Ca=class(a)Csa=clas

8、s(sa)vpa(sa-a)例例2.1-1a = 5.3777sa = pi+sqrt(5)Ca = doubleCsa = symans = .138223758410852e-16 定义基本符号对象的指令：定义基本符号对象的指令：sym, syms sym的常用使用格式：的常用使用格式：sym(arg) 把数字、字符串或表达式把数字、字符串或表达式arg转换为符号对转换为符号对象象f=sym(arg) 把数字、字符串或表达式把数字、字符串或表达式arg转换为符号转换为符号对象对象ff=sym(argv, Flagv) 按按Flagv指定的要求把字符串指定的要求把字符串argv定义为符号对象

9、定义为符号对象符号参数和符号变量符号参数和符号变量15 syms的常用使用格式：的常用使用格式：syms argv 定义符号对象定义符号对象argv syms argv Flagv 定义符号对象并指定符号对象的定义符号对象并指定符号对象的属性为属性为Flagvsyms(argv1,argv2, argvk ) 定义定义argv1，argv2，argvk为基本符号对象为基本符号对象syms argv1 argv2 argvk 上述格式的简洁形式上述格式的简洁形式syms argv1 argv2 argvk Flagv 定义定义argv1,argv2，argvk 为具有为具有Flagv指定属性的基

10、本符号对象指定属性的基本符号对象符号参数和符号变量符号参数和符号变量16 positive: 表示那些符号对象取正实数；表示那些符号对象取正实数； real:表示那些符号对象限定为实数；表示那些符号对象限定为实数； unreal:表示那些符号对象为不限定的复数。表示那些符号对象为不限定的复数。Flagv: positive, real, unreal17syms和和sym区别之一区别之一 syms可以同时定义多个符号变量，可以同时定义多个符号变量，sym一一次定义一个符号变量；次定义一个符号变量； sym可以在定义时，同时把变量赋给另外一可以在定义时，同时把变量赋给另外一个符号变量！如个符号变

11、量！如p=sym(q)18 syms是定义符号变量，是定义符号变量，sym是将数字、字符、是将数字、字符、（字符串）或者表达式转换为符号对象。（字符串）或者表达式转换为符号对象。 比如：比如：syms x y %定了符号变量定了符号变量x、y，以后，以后x、y就可以直接使用了，有他们参与运算出来的结果也就可以直接使用了，有他们参与运算出来的结果也是符号变量。是符号变量。 当然上面的也可以当然上面的也可以x=sym(x), y=sym(y) 。sym(a+b) %将将a+b转化为符号表达式转化为符号表达式syms和和sym区别之二区别之二19 两者有不同的使用场合两者有不同的使用场合 比如符号变

12、量涉及的个数比较少，但是使用频率比比如符号变量涉及的个数比较少，但是使用频率比较高，那么就是使用较高，那么就是使用syms；但是如果个数多，但；但是如果个数多，但是使用频率比较少则使用是使用频率比较少则使用sym。syms和和sym区别之三区别之三20符号表达式中符号变量（自由变量）的确定符号表达式中符号变量（自由变量）的确定 确定自由符号变量的规则：在专门指定变量确定自由符号变量的规则：在专门指定变量名的符号运算中，解题一定围绕指定变量名名的符号运算中，解题一定围绕指定变量名进行进行。在没有指定变量名的符号运算中，在没有指定变量名的符号运算中，MATLATB将按照与小写字母将按照与小写字母x

13、的的ASCII码距离码距离自动识别出自由符号变量。自动识别出自由符号变量。21符号表达式中符号表达式中符号变量（自由变量）符号变量（自由变量）的确定的确定 为符号操作和计算的需要，为符号操作和计算的需要，MATLAB提供一个提供一个findsym和和symvar指令，可实现对表达式中所有自指令，可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数目的独立自变量的自动认定。由符号变量或指定数目的独立自变量的自动认定。 a*x2+b*x+c=0 一共一共4个参数，围绕谁求解？个参数，围绕谁求解？findsym(EXPR)或者或者symvar(EXPR)确认表达式确认表达式EXPR中所有中所有“自由自由”符号符

14、号“变量变量”findsym(EXPR,N)或者或者symvar(EXPR,N)从表达式从表达式EXPR中确认出靠中确认出靠x最近的最近的N个独立自个独立自 变量。变量。22 注意注意： EXPR可以是符号矩阵。此时，该指令对自由变可以是符号矩阵。此时，该指令对自由变量的确认是对整个矩阵进行的，而不是对矩阵元量的确认是对整个矩阵进行的，而不是对矩阵元素逐个进行的。素逐个进行的。 在在MATLAB符号计算中，符号计算中，x是首先符号变量，其是首先符号变量，其后的次序排列规则：与后的次序排列规则：与x的的ASCII码值之差的绝对码值之差的绝对值小的字母优先；差绝对值相同时，值小的字母优先；差绝对值

15、相同时，ASCII码值大码值大的字母优先。的字母优先。 注意字母的大小写。在此认为大写字母离小写注意字母的大小写。在此认为大写字母离小写x的的距离总大于所有小写字母离距离总大于所有小写字母离x的距离。的距离。 自动识别符号变量时，字母的优先次序为自动识别符号变量时，字母的优先次序为x,y,w,z,v等。等。23例例2.1-22.1-2syms u v w z %定义定义4个符号参数和变量个符号参数和变量Eq=u*z2+v*z+w; %构成符号表达式构成符号表达式Eqresult_1=solve(Eq) %采用自动识别变量解方程采用自动识别变量解方程 %*z2+v*z+w=0findsym (E

16、q,1) %自动识别出符号变量，结果为自动识别出符号变量，结果为wresult_2=solve(Eq,z) %对于指定变量对于指定变量z解方程解方程符号表达式、符号函数与符号方程符号表达式、符号函数与符号方程 由符号常量、符号参数、符号变量、符号函数用由符号常量、符号参数、符号变量、符号函数用运算符或专用函数连接而成的符号对象。符号表运算符或专用函数连接而成的符号对象。符号表达式有两种：达式有两种：符号函数和符号方程符号函数和符号方程。区别在于后。区别在于后者有等号。者有等号。 syms n x t w c; f1=n*xn/x classf1=class(f1) f2=sym(log(t)2

17、*t) clasf2=class(f2) e1=sym(a*x2+b*x+c=0) class1=class(e1)25符号表达式、符号函数与符号方程符号表达式、符号函数与符号方程 隐含的生成方式隐含的生成方式提示：提示：Matlab中很少使用双引号中很少使用双引号 ”,更多地使用更多地使用 。符号矩阵符号矩阵 元素是符号对象（符号变量和符号常量）的称作元素是符号对象（符号变量和符号常量）的称作符号矩阵。符号矩阵。m1=sym(ab bc cd;de ef fg;h l j)class1=class(m1) m2=sym(1 12;23 34)class2=class(m2)m3=sym(a

18、b;c d)class3=class(m3)符号矩阵的创建符号矩阵的创建 数值矩阵数值矩阵A=1,2;3,4 A=a,b;c,d 不识别不识别用用matlab函数函数sym创建矩阵创建矩阵（symbolic 的缩写的缩写)命令格式命令格式：A=sym( ) 符号矩阵内容同数值矩阵符号矩阵内容同数值矩阵 需用需用sym指令定义指令定义 用用 标识标识例如例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 这就完成了一个符号矩阵的创建。这就完成了一个符号矩阵的创建。注意：符号矩阵显示每一行的两端都有方注意：符号矩阵显示每一行的两端都有方 括号，这是与括号

19、，这是与 matlab数值矩阵的数值矩阵的 一个区别一个区别。2.1.2 符号计算中的符号计算中的算符算符 基本运算符基本运算符 算符算符“+”、“-”、“ * ”、“ ”、“ / ”、“ ”： 矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。 算符算符 “.* ”、“. ”、“./ ”、“. ”：“元素对元素对元素元素”的数组乘、左除、右除、求幂运算。的数组乘、左除、右除、求幂运算。 算符算符“ ”、“ . ” ：矩阵的共轭转置、非共轭：矩阵的共轭转置、非共轭转置转置。 关系运算符关系运算符 算符算符“ = ”、“ = ” ：对算符两边的对象进：对算符两边的对

20、象进行行“相等相等”、“不等不等”的比较。当事实为的比较。当事实为“真真”时，比较结果用时，比较结果用1表示；当事实为表示；当事实为“假假”时，比时，比较结果则用较结果则用0表示表示。2.1.3 符号计算中的基本函数符号计算中的基本函数 借助于重载技术，把具有相同函数计算功能借助于重载技术，把具有相同函数计算功能的文件采用同一个函数名加以保存，从形式的文件采用同一个函数名加以保存，从形式上看，数值运算函数和符号计算的函数没有上看，数值运算函数和符号计算的函数没有什么区别。什么区别。 符号计算函数库分符号计算函数库分3个层次，一般我们掌握个层次，一般我们掌握基本函数即可。基本函数即可。 需要注意

21、函数对数据类型的要求，比如需要注意函数对数据类型的要求，比如plot不能用符号类参数。不能用符号类参数。312.1.4 符号对象的识别符号对象的识别 class(var) isa(var,Obj) whos问题：问题：a=1;b=2;c=3;d=4;Mn=a,b;c,dMc=a,b;c,d %Mc是符号矩阵吗？是符号矩阵吗？Ms=sym(Mc)察看例程察看例程2.1-52.2 符号数字及表达式操作符号数字及表达式操作 2.2.1.数值数字与符号数字之间的转换数值数字与符号数字之间的转换 sym(num, r)即即sym(num) sym(num, d) 在符号运算中，在符号运算中，“双精度数字

22、双精度数字”都会自动地按都会自动地按sym(num, r)格式转换为符号数字。格式转换为符号数字。 注意：注意：sym(num)和和sym(num)的差别：在的差别：在sym(num)中中num可能是一长串数字表达式组合，可能是一长串数字表达式组合，sym(num)并并不计算出来；不计算出来；sym(num)是将是将num数字以双精度表示数字以双精度表示结果符号化，也就是是否立即计算的问题。结果符号化，也就是是否立即计算的问题。 如如a=sym(1/3+1/7+sqrt(5)和和b=sym(1/3+1/7+sqrt(5) 数值、符号、字符是数值、符号、字符是MATLAB中的三种不同的数中的三种

23、不同的数据类型。据类型。 MATLAB为每种数据类型提供了各自特定的生成为每种数据类型提供了各自特定的生成指令和操作指令。指令和操作指令。 为实现不同数据类型的交互，为实现不同数据类型的交互，MATLAB提供了一提供了一系列的转换指令。系列的转换指令。 数值型数值型符号结果符号结果符号常数符号常数 符号量（表达式）符号量（表达式）数值数值字符串（表达式）字符串（表达式）ASCII码码vpavpadoubledoublesymcharsymdoublecharstr2num str2double sscanfint2str num2str mat2str sprintfv将数值矩阵转化为符号矩阵

24、将数值矩阵转化为符号矩阵 函数调用格式函数调用格式：sym(A)A=1/3,2.5;1/0.7,2/5A = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000sym(A)ans = 1/3, 5/210/7, 2/5 符号矩阵与数值矩阵的转换符号矩阵与数值矩阵的转换v将符号矩阵转化为数值矩阵将符号矩阵转化为数值矩阵函数调用格式函数调用格式： double(A)A = sym(1/3, 5/2;10/7, 2/5)double(A)ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 2.2.3 符号表达式符号表达式的操作的操作 符号运算中有许多操作指令。符号运算中有许多操作

25、指令。collect（合并同类项）（合并同类项）expand（对指定项展开）（对指定项展开）factor（进行因式或因子分解）（进行因式或因子分解）horner（转换成嵌套形式）（转换成嵌套形式）numden（提取公因式）（提取公因式）simplify（恒等式简化）（恒等式简化）pretty（习惯方式显示）（习惯方式显示）37 其中最常用的是其中最常用的是simple(EXPR)：运用包括：运用包括simplify在内的各种指令把在内的各种指令把EXPR转换成最简短形式。转换成最简短形式。 注注：EXPR可以是符号表达式或矩阵。在这种情况可以是符号表达式或矩阵。在这种情况下，这些指令将对该矩阵

26、的元素逐个进行操作。下，这些指令将对该矩阵的元素逐个进行操作。 f=sym(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3)f =(12/x + 6/x2 + 1/x3 + 8)(1/3) g=simple(f)g =(2*x + 1)3/x3)(1/3)。例：简化32381261xxxf382.2.4 表达式中的表达式中的置换操作置换操作 公因子法简化表达式公因子法简化表达式 通用置换指令通用置换指令 39 符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是：有符号计算结果显得烦冗的一个重要原因是：有些子表达式会多次出现在不同地方。些子表达式会多次出现在不同地方。 RS=subexpr(S, w) 从从S中自

27、动提取公因子，记它为中自动提取公因子，记它为w，并采用，并采用w重写重写S为为RS。 把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符号代替，使表达简洁。个符号代替，使表达简洁。 置换原则：只有比较长的子表达式才被置换。置换原则：只有比较长的子表达式才被置换。公因子法简化表达式公因子法简化表达式 40 syms x f=(x+1)2+(x+1)3 f =(x + 1)2 + (x + 1)3 RS=subexpr(f, w) w = x + 1 RS =w3 + w2【例2.2-3】对符号矩阵进行特征向量分解。 clear allsyms a b c d W

28、V,D=eig(a b;c d)RVD,W=subexpr(V;D,W) 42 通用置换指令通用置换指令RES=subs(ES,old,new)用用new置换置换ES中的中的old后产生后产生RES ，重写，重写ES为为RES。RES=subs(ES, new) 用用new置换置换ES中的自由变量中的自由变量后产生后产生RES ，重写，重写ES为为RES。【例2.2-4】2.3 符号微积分符号微积分 与数值计算相比，一般说来，符号计算需要消与数值计算相比，一般说来，符号计算需要消耗更多的计算机资源，但这并不意味着符号计耗更多的计算机资源，但这并不意味着符号计算可有可无。在某些场合，符号计算处理

29、问题算可有可无。在某些场合，符号计算处理问题反比数值计算更为简明快捷。反比数值计算更为简明快捷。 符号极限符号极限 符号微分符号微分 符号序列的求和符号序列的求和 符号积分符号积分 Taylor级数展开级数展开符号极限符号极限 极限是微积分的基础。在极限是微积分的基础。在MATLAB中，极限的求解中，极限的求解由由limit函数实现。函数实现。 limit(F,x,a) 计算符号表达式计算符号表达式F在在xa条件下的极限条件下的极限 limit(F, a) 计算符号表达式计算符号表达式F中默认自变量趋向于中默认自变量趋向于a条件下条件下 的极限的极限 limit(F)计算符号表达式计算符号表达

30、式F在默认自变量趋向于在默认自变量趋向于0时的极限时的极限 limit(F,x,a,right)和和limit(F,x,a,left) 计算符号表达式计算符号表达式 F在在xa条件下的右极限和左极限条件下的右极限和左极限 例例2.3-1；符号微分符号微分 求导数、高阶导数、偏导数是数学分析的重要求导数、高阶导数、偏导数是数学分析的重要内容。由机器实现求导的内容。由机器实现求导的MATLAB指令如下：指令如下： dfdvn=diff(f,v,n) 注意：注意： f是矩阵时，求导对元素逐个进行，但自变量定义在是矩阵时，求导对元素逐个进行，但自变量定义在整个矩阵上。整个矩阵上。 v缺省时，自变量会自

31、动缺省时，自变量会自动由由findsym确认；确认；n缺省时，缺省时，默认默认n=1。 注意注意：在数值计算中，指令：在数值计算中，指令diff是用来求差分的。是用来求差分的。 例例2.3-2；例；例2.3-4nndvvfd)(符号序列的求和符号序列的求和 通式求和通式求和 问题问题 s=symsum(f,v,a,b) 求通式求通式f在指定变量在指定变量v取遍取遍a,b中所有整数时的和。中所有整数时的和。 注意：注意： f是矩阵时，求和对元素逐个进行，但自变量定义是矩阵时，求和对元素逐个进行，但自变量定义 在整个矩阵上。在整个矩阵上。 v确省时，确省时，f中的自变量中的自变量由由findsym

32、自动辨识；自动辨识；b可可 以取有限整数，也可以取无穷大。以取有限整数，也可以取无穷大。 a,b可同时缺省，此时默认求和的自变量区间为可同时缺省，此时默认求和的自变量区间为 0,v-1。 例例2.3-8bavvf)(符号积分符号积分 积分有不定积分、定积分和重积分等。积分有不定积分、定积分和重积分等。 与数值积分相比，符号积分指令简单，适应性与数值积分相比，符号积分指令简单，适应性强，但可能占用机器时间很长。强，但可能占用机器时间很长。 intf=int(f,v) 给出给出f对指定变量对指定变量v的（不带积分常数的（不带积分常数的）不定积分的）不定积分 intf=int(f,v,a,b)给出给

33、出f对指定变量对指定变量v的定积分的定积分 例例2.3-9；例；例2.3-102.4 微分方程的符号解法微分方程的符号解法 求微分方程符号解的一般指令求微分方程符号解的一般指令S=dsolve(eq1, eq2, ,eqn,cond1,cond2,condn,v)S=dsolve(eq1,eq2,eqn,cond1,cond2,condn,v)输入量包括微分方程，初始条件，指定独立变量。输入量包括微分方程，初始条件，指定独立变量。微分方微分方程是必不可少的内容，其余视需要而定，可有可无。程是必不可少的内容，其余视需要而定，可有可无。输入量以字符串形式编写。输入量以字符串形式编写。如果不指定如果

34、不指定v，则默认以，则默认以t为自为自变量变量(独立变量独立变量)。 例如：求例如：求dx/dt=y,dy/dt=-x的解。的解。 s=dsolve(Dx=y,Dy=-x)例例2.4-1解微分方程解微分方程求解函数：求解函数：dsolve 注意：当注意：当y是是“因变量因变量”时，用时，用“Dny”表示表示“y的的n阶导数阶导数”。当。当t为独立变量时，为独立变量时，Dy表示表示dy/dt。其中其中的的D表示微分表示微分，D2、D3表示二阶、三阶导表示二阶、三阶导数数。任何。任何D后面跟的是因变量。后面跟的是因变量。 方程方程d2y/dx2=0表示表示为为D2y=0; 可以给定可以给定初始条件

35、初始条件，如果没有初始条件，解中，如果没有初始条件，解中有系数。初始条件写成有系数。初始条件写成y(a)=b,Dy(c)=d等形式。等形式。 输出量输出量S是构架对象，如果是构架对象，如果y是因变量，那么关是因变量，那么关于它的解在于它的解在S.y中。中。50求( )5*( )6* ( )( ),( )2*, (0)2,(0)1ty ty ty tf tf teyy 的解。dsolve(D2y+5*Dy+6*y=2*exp(-t),Dy(0)=-1,y(0)=2)( )5*( )6* ( )( ),( )10*cos( ), (0)2,(0)0y ty ty tf tf ttyy求的解。dso

36、lve(D2y+5*Dy+6*y=10*cos(t),Dy(0)=0,y(0)=2)2.5 符号变换和符号卷积符号变换和符号卷积 Fourier变换及其反变换变换及其反变换 Fw=fourier(ft,t,w)求时域函数求时域函数ft的的fourier变换变换Fw ft=ifourier(Fw,w,t)求频域函数求频域函数Fw的的Fourier反变换反变换ft例例2.5-1；例；例2.5-2; Laplace变换及其反变换变换及其反变换 Fs=laplace(ft,t,s)求时域函数求时域函数ft的的laplace变换变换Fs ft=ilaplace(Fs,s,t)求频域函数求频域函数Fs的的

37、laplace反变换反变换ft例例2.5-4； Z变换及其反变换变换及其反变换ztrans(fn,n,z)和和iztrans(Fz,z,n)符号卷积符号卷积dthfty)()()(已知,求)()(tetut输入下的响应syms T t taout=exp(-t);ht=exp(-t/T)/T;uh_tao=subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao);yt=simple(simple(int(uh_tao,tao,0,t)% yt =-(exp(-t)-exp(-t/T)/(T-1) 例2.5-7)(1)(/teTthTt2.6 符号矩阵分析和代数方程解符号矩阵分析和代数方程

38、解det(A)求行列式的值求行列式的值diag(A)取对角元构成向量，或据向量构成对角阵取对角元构成向量，或据向量构成对角阵eig(A)特征值分解。特征值分解。例：求矩阵例：求矩阵A=a11 a12;a21 a22的行列式、逆和特征根。的行列式、逆和特征根。syms a11 a12 a21 a22;A= a11 a12 ;a21 a22Da=det(A)Ia=inv(A)EA=eig(A)符号矩阵分析符号矩阵分析符号代数方程符号代数方程的求解的求解 一般代数方程组的解一般代数方程组的解 一般代数方程包括线性一般代数方程包括线性(Linear)、非线性、非线性(Nonlinear)和超越方程和超越方程(Transcedental equation)等，求解指令等，求解指令是是solve。S=solve(eq1,eq2,，eqn,v1,v2,vn)求方程组求方程组eq1,eq2关于指定变量关于指定变量v1,v2的解的解（推荐格式）（推荐格式）eq1,eq2或是符号表达的方程，或是字符串表或是符号表达的方程，或是字符串表达式，达式，v1,v2是字符串表达的求解变量名。是字符串表达的求解变量名。S=solve(exp1,exp2,，expn,v1,v2,vn) 求方程组关于指定变量的解（可用格式）求方